苏科版九年级上册2.1 圆复习练习题

重难点02“四点共圆”模型

1.识别几何模型。

2.利用“四点共圆”模型解决问题

一．填空题（共3小题）

1．（2021秋•南京期中）如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠C＝100°，BC＝CD，则∠A+∠D＝　      　°．

2．（2022•靖江市二模）如图，AB⊥BC，AB＝5，点E、F分别是线段AB、射线BC上的动点，以EF为斜边向上作等腰Rt△DEF，∠D＝90°，连接AD，则AD的最小值为 　                  　．

3．（2022秋•大丰区期中）如图，△ABC中，AD⊥BC，∠B＝45°，∠C＝30°．以AD为弦的圆分别交AB、AC于E、F两点．点G在AC边上，且满足∠EDG＝120°．若CD＝4+2，则△DEG的面积的最小值是 　                　．

二．解答题（共7小题）

4．（2022秋•宿城区期中）如图，BD，CE是△ABC的高，BD，CE相交于点F，M是BC的中点，⊙O是△ABC的外接圆．

（1）点B，C，D，E是否在以点M为圆心的同一个圆上？请说明理由．

（2）若AB＝8，CF＝6，求△ABC外接圆的半径长．

5．（兴化市校级期中）已知：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AD、CD的中点．

（1）线段AF与BE有何关系．说明理由；

（2）延长AF、BC交于点H，则B、D、G、H这四个点是否在同一个圆上．说明理由．

6．（2022秋•建湖县期中）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，DB＝DC，∠DAE是四边形ABCD的一个外角．

（1）若∠DAE＝75°，则∠DAC＝　     　°；

（2）过点D作DE⊥AB于E，判断AB、AE、AC之间的数量关系并证明；

（3）若AB＝6、AE＝2，求BD2﹣AD2的值．

7．（2023•淮安区一模）综合与实践

“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．

提出问题：

如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．

探究展示：

如图2，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE，则∠AEC+∠D＝180°（依据1）

∵∠B＝∠D

∴∠AEC+∠B＝180°

∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）

∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上（依据2）

∴点A，B，C，D四点在同一个圆上

反思归纳：

（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？

依据1：　             　；依据2：　                  　．

（2）如图3，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，则∠4的度数为 　      　．

拓展探究：

（3）如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD．作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE．

①求证：A，D，B，E四点共圆；

②若AB＝2，AD•AF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．

8．（2022秋•靖江市期末）小明在学习了《圆周角定理及其推论》后，有这样的学习体会：在Rt△ABC中，∠C＝90°，当AB长度不变时，则点C在以AB为直径的圆上运动（不与A、B重合）．

[探索发现]

小明继续探究，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB长度不变．作∠A与∠B的角平分线交于点F，小明计算后发现∠AFB的度数为定值，小明猜想点F也在一个圆上运动．请你计算∠AFB的度数，并简要说明小明猜想的圆的特征．

[拓展应用]

在[探索发现]的条件下，若AB＝2，求出△AFB面积的最大值．

[灵活运用]

在等边△ABC中，AB＝2，点D、点E分别在BC和AC边上，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，试求出△ABF周长的最大值．

9．（2022秋•鼓楼区期中）以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？

Ⅰ．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图1、2）；

Ⅱ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图3）；

Ⅲ．若线段同侧两点与线段两端，点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图4）．

（1）在图1、2中，取AC的中点O，根据 　                  　得OA＝OB＝OC＝OD，即A，B，C，D共圆；

（2）在图3中，画⊙O经过点A，B，D（图5）．假设点C落在⊙O外，BC交⊙O于点E，连接DE，可得 　          　＝180°，所以∠BED＝　          　，得出矛盾；同理点C也不会落在⊙O内，即A，B，C，D共圆．结论Ⅲ同理可证．

（3）利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点．

已知：如图6，锐角三角形ABC的高BD，CE相交于点H，射线AH交BC于点F．

求证：AF是△ABC的高．（补全以下证明框图，并在图上作必要标注）

（4）如图7，点P是△ABC外部一点，过P作直线AB，BC，CA的垂线，垂足分别为E，F，D，且点D，E，F在同一条直线上．求证：点P在△ABC的外接圆上．

10．（2022秋•仪征市期中）【问题提出】

苏科版九年级（上册）教材在探究圆内接四边形对角的数量关系时提出了两个问题：

（1）小明发现问题1中的∠A与∠C、∠ABC与∠ADC都满足互补关系，请帮助他完善问题1的证明：

∵BD是⊙O的直径，

∴　            　，

∴∠A+∠C＝180°，

∵四边形内角和等于360°，

∴　                 　．

（2）请回答问题2，并说明理由；

【深入探究】

如图（3），⊙O的内接四边形ABCD恰有一个内切圆⊙I，切点分别是点E、F、G、H，连接GH，EF．

（3）直接写出四边形ABCD边满足的数量关系 　              　；

（4）探究EF、GH满足的位置关系；

（5）如图（4），若∠C＝90°，BC＝3，CD＝2，请直接写出图中阴影部分的面积．

一．选择题（共3小题）

1．（2022•思明区二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点E为边CD上任意一点（不与点C，点D重合），连接BE，若∠A＝60°，则∠BED的度数可以是（　　）

A．110° B．115° C．120° D．125°

2．（2023•泾阳县模拟）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，已知⊙O的半径为2，则⊙O的内接正六边形ABCDEF的面积为（　　）

A．6 B． C． D．

3．（2023•蜀山区校级模拟）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，∠BDC＝120°，连接BD，CD并延长分别交AC，AB于点E和点F，若DE＝6，，则BD的长为（　　）

A．10 B．12 C．15 D．16

二．填空题（共2小题）

4．（2023•银川校级二模）如图，在直径为AB的⊙O中，点C，D在圆上，AC＝CD，若∠CAD＝28°，则∠DAB的度数为 　      　．

5．（2023•海曙区校级一模）如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，将该纸片翻折，使得点C落在边AB的F处，折痕为DE，D，E分别在边BC，AC上，∠AFD＝∠DEF，若DE＝4，BD＝9，则DF＝　   　，△ABC的面积为 　                  　．

三．解答题（共7小题）

6．（2022秋•南关区校级期末）【问题情境】如图①，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，求证：A、B、C、D四点共圆．

小吉同学的作法如下：连结AC，取AC的中点O，连结OB、OD，请你帮助小吉补全余下的证明过程；

【问题解决】如图②，在正方形ABCD中，AB＝2，点E是边CD的中点，点F是边BC上的一个动点，连结AE，AF，作EP⊥AF于点P．

（1）如图②，当点P恰好落在正方形ABCD对角线BD上时，线段AP的长度为 　                  　；

（2）如图③，过点P分别作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，连结MN，则MN的最小值为 　                  　．

7．（2023•萍乡模拟）如图，点A，B，C在⊙O上，且∠ABC＝120°，请仅用无刻度的直尺，按照下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法）

（1）在图（1）中，AB＞BC，作一个度数为30°的圆周角；

（2）在图（2）中，AB＝BC，作一个顶点均在⊙O上的等边三角形．

8．（2022•芜湖一模）如图，在正方形ABCD中，P是边BC上的一个动点（不与点B，C重合），作点B关于直线AP的对称点E，连接AE，再连接DE并延长交射线AP于点F，连接BF和CF．

（1）若∠BAP＝α，则∠AED＝　        　（用含α的式子直接填空）；

（2）求证：点F在正方形ABCD的外接圆上；

（3）求证：AF﹣CF＝BF．

9．（2021秋•鹿城区校级期中）如图，△ABC内接于⊙O，CD⊥AB，CB＝10cm，CD＝8cm，AB＝14cm．

（1）∠A度数 　      　．（直接写出答案）

（2）求的长度．

（3）P是⊙O上一点（不与A，B，C重合），连结BP．

①若BP垂直△ABC的某一边，求BP的长．

②将点A绕点P逆时针旋转90°后得到A′，若A′恰好落在CD上，则CA'的长度为 　   　.（直接写出答案）

10．（2021秋•永泰县期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，将△ABC绕A点顺时针旋转得到△ADE，使D点落在BC边上．

（1）求∠BAD的度数；

（2）求证：A，D，B，E四点共圆．

11．（2022秋•新华区校级期末）如图△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP＝AC，PD＝3．

（1）求证：PA是⊙O的切线；

（2）求⊙O的直径；

（3）当点B在CD下方运动时，直接写出△ABC内心的运动路线长是 　                 　．

12．（2021秋•固始县月考）阅读材料并完成相应任务：

婆罗摩笈多是一位印度数学家与天文学家，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位．其中就包括他提出的婆罗摩笈多定理（也称布拉美古塔定理）．

婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边．

下面对该定理进行证明．

已知：如图（1），四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于点P，

PM⊥BC于点M，延长MP交AD于点N．

求证：AN＝ND．

证明：∵AC⊥BD，PM⊥BC，

∴∠BPM+∠PBM＝90°，∠PCB+∠PBC＝90°，

∴∠BPM＝∠PCB．

……

任务：

（1）请完成该证明的剩余部分；

（2）请利用婆罗摩笈多定理完成如下问题：如图（2），已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，BC，AC分别交⊙O于点D，E，连接AD，BE交于点P．过点P作MN∥BC，分别交DE，AB于点M，N．若AD⊥BE，求NP的长．