苏科版九年级上册2.1 圆练习题

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重难点07两垂一圆构造直角三角形模型

1.识别几何模型。
2.利用“两垂一圆构造直角三角形”模型解决问题

平面内有两点A，B，再找一点C，使得ABC 为直角三角形

分类讨论:
若∠A=90°,则点C在过点A 且垂直于AB 的直线上(除点A外);
若∠B=90°,则点C在过点B且垂直于AB的直线上(除点B外);
若∠C=90°,则点C在以AB为直径的圆上(除点A,B外).
以上简称“两垂一圆”.
“两垂一圆”上的点能构成直角三角形,但要除去A,B两点.

一．选择题（共12小题）
1．已知点A（﹣4，0），B（2，0）．若点C在一次函数的图象上，且△ABC是直角三角形，则点C的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据已知可求得直线与两轴的交点，分别过点B作垂线，可得出符合题意的点C．
【解答】解：由题意知，直线y＝x+2与x轴的交点为（﹣4，0），与y轴的交点为
（0，2），如图：
过点B作BC垂直于直线于点C，作C′B⊥AB垂足为B，
故共有2个点能与点A，点B组成直角三角形．
故选：B．

【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
2．在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，2）、B（7，8）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为直角三角形，则满足条件的C点的个数共有（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】过点A作AB的垂线，交x轴于点C1，交y轴于点C2；过点B作AB的垂线，交x轴于点C3，交y轴于点C4；根据直径所对的圆周角为直角，以AB为直径作圆，根据A和B的坐标求出AB的长度，即为圆的直径，可得出半径的长，进而判断得出圆与x轴相离，可得出圆与x轴有1个交点，与y轴交于2点．所以满足条件的点共有7个．
【解答】解：分三种情况考虑：当A为直角顶点时，过A作AC⊥AB，交x轴于点C1，交y轴于点C2，此时满足题意的点为C1，C2；
当B为直角顶点时，过B作BC⊥AB，交x轴于点C3，交y轴于点C4，此时满足题意的点为C3，C4；
当C为直角顶点时，以AB为直径作圆，由A（﹣1，2），B（7，8），可得此圆与x轴相切，
则此圆与x轴有1个交点，与y轴有2个交点，分别为C5，C6，C7．
综上，所有满足题意的C有7个．
故选：B．
【点评】此题考查了圆周角定理，勾股定理，以及坐标与图形性质，利用了分类讨论及数形结合的思想．注意：若△ABC是直角三角形，则它的任意一个顶点都有可能为直角顶点．
3．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（2，6），点C在坐标轴上，若△ABC为直角三角形，则满足条件的点C共有（　　）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
【分析】过点A作AB的垂线，交x轴于点C1，交y轴于点C2；过点B作AB的垂线，交x轴于点C3，交y轴于点C4；根据直径所对的圆周角为直角，以AB为直径作圆，根据A和B的坐标求出AB的长度，即为圆的直径，可得出半径的长，进而判断得出圆与x轴相离，可得出圆与y轴交于2点．所以满足条件的点共有6个．
【解答】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：
分三种情况考虑：当A为直角顶点时，过A作AC⊥AB，交x轴于点C1，交y轴于点C2，此时满足题意的点为C1，C2；
当B为直角顶点时，过B作BC⊥⊥AB，交x轴于点C3，交y轴于点C4，此时满足题意的点为C3，C4；
当C为直角顶点时，以AB为直径作圆，由A（﹣1，2），B（2，6），得到AB＝5，可得此圆与x轴相离，
则此圆与x轴没有交点，与y轴有2个交点，分别为C5，C6．
综上，所有满足题意的C有6个．
故选：C．

【点评】此题考查了圆周角定理，勾股定理，以及坐标与图形性质，利用了分类讨论及数形结合的思想．注意：若△ABC是直角三角形，则它的任意一个顶点都有可能为直角顶点．
4．在平面直角坐标系中，点A（﹣4，0），点B（2，0），若点C在一次函数y＝﹣的图象上，且△ABC为直角三角形，则满足条件的点C有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据已知可求得直线与两轴的交点，①分别过点A、点B作垂线，可得出符合题意的点C，②利用圆周角定理，可得出符合条件的两个点C．
【解答】解：由题意知，直线y＝﹣x+2与x轴的交点为（4，0），与y轴的交点为（0，2），如图：
当∠A＝90°时，
过点A作垂线与直线的交点C1（﹣4，4）；
当∠B＝90°时，过点B作垂线与直线的交点C2（2，1）；
当∠C＝90°时，
过AB中点E（﹣1，0），作垂线与直线的交点为F（﹣1，2.5），则EF＝2.5＜3，
所以以3为半径，以点E为圆心的圆与直线必有两个交点，
设C3（x，﹣x+2），
则AC2+BC2＝AB2，即（x+4）2+2（﹣x+2）2+（x﹣2）2＝36，
解得x＝±，
当x＝时，y＝﹣+10；
当x＝﹣时，y＝+10．
故C3（，﹣+10），C4（﹣，+10）．
综上所述，点C的坐标为：C1（﹣4，4），C2（2，1），C3（，﹣+10），C4（﹣，+10）．
故选：C．

【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
5．在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（3，0），点P在反比例函数y＝的图象上．若△PAB为直角三角形，则满足条件的点P的个数为（　　）
A．2个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】设点P的坐标为（x，y），分∠APB＝90°、∠PAB＝90°和∠PBA＝90°三种情况考虑：当∠APB＝90°时，以AB为直径作圆，由圆与双曲线无交点可知此时点P不存在；当∠PAB＝90°时，可找出x＝﹣3，进而可得出点P的坐标；当∠PBA＝90°时，可找出x＝3，进而可得出点P的坐标．综上即可得出结论．
【解答】解：设点P的坐标为（x，y），
当∠APB＝90°时，以AB为直径作圆，如图所示，
∵圆与双曲线无交点，
∴点P不存在；
当∠PAB＝90°时，x＝﹣3，
y＝＝﹣3，
∴点P的坐标（﹣3，﹣3）；
当∠PBA＝90°时，x＝3，
y＝＝3，
∴点P的坐标为（3，3）．
综上所述：满足条件的点P有2个．
故选：A．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及直角三角形，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键．
6．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上．在格点上确定点C，使△ABC为直角三角形，且面积为4，则这样的点C的共有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据三角形的面积求出点C到AB的距离，再判断出点C的位置即可．
【解答】解：点C的位置如图所示，共有3个．
故选：C．

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形面积，判断出AB∥x轴是解题的关键．
7．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（3，0），点P在反比例函数y＝的图象上，若△PAB为直角三角形，则满足条件的点P的个数为（　　）
A．2个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】分类讨论：①当∠PAB＝90°时，则P点的横坐标为﹣3，根据反比例函数图象上点的坐标特征易得P点有1个；②当∠APB＝90°，设P（x，），根据两点间的距离公式和勾股定理可得（x+3）2+（）2+（x﹣3）2+（）2＝36，此时P点有4个，③当∠PBA＝90°时，P点的横坐标为3，此时P点有1个．
【解答】解：①当∠PAB＝90°时，P点的横坐标为﹣3，把x＝﹣3代入y＝得y＝﹣，所以此时P点有1个；
②当∠APB＝90°，设P（x，），PA2＝（x+3）2+（）2，PB2＝（x﹣3）2+（）2，AB2＝（3+3）2＝36，
因为PA2+PB2＝AB2，
所以（x+3）2+（）2+（x﹣3）2+（）2＝36，
整理得x4﹣9x2+4＝0，所以x2＝，或x2＝，
所以此时P点有4个，
③当∠PBA＝90°时，P点的横坐标为3，把x＝3代入y＝得y＝，所以此时P点有1个；
综上所述，满足条件的P点有6个．
故选：D．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
8．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB的距离为5，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．8个
【分析】当∠A＝90°时，满足条件的C点2个；当∠B＝90°时，满足条件的C点2个；当∠C＝90°时，满足条件的C点2个．所以共有6个．
【解答】解：∵点A，B的纵坐标相等，
∴AB∥x轴，
∵点C到AB距离为5，AB＝10，
∴点C在平行于AB的两条直线上．
∴过点A的垂线与那两条直线有2个交点，过点B的垂线与那两条直线有2个交点，以AB为直径的圆与那两条直线有只有2个交点（这两个两点在线段AB的垂直平分线上）．
∴满足条件的C点共，6个．
故选：C．
【点评】用到的知识点为：到一条直线距离为某个定值的直线有两条．△ABC是直角三角形，它的任意一个顶点都有可能为直角顶点．
9．在平面直角坐标系中有两点A（﹣2，2），B（3，2），C是坐标轴上的一点，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点共有（　　）
A．1个 B．2个 C．4个 D．6个
【分析】因为A，B的纵坐标相等，所以AB∥x轴．因为C是坐标轴上的一点，所以过点A向x轴引垂线，过点B向x轴引垂线，分别可得一点，以AB为直径作圆可与坐标轴交于4点．所以满足条件的点共有6个．
【解答】解：∵A，B的纵坐标相等，
∴AB∥x轴，AB＝3﹣（﹣2）＝5．
∵C是坐标轴上的一点，过点A向x轴引垂线，可得一点，过点B向x轴引垂线，可得一点，以AB为直径作圆可与坐标轴交于4点．
∴根据直径所对的圆周角是90°，满足条件的点共有4个，为C，D，E，H．加上A、B共6个．
故选：D．

【点评】用到的知识点为：若△ABC是直角三角形，则它的任意一个顶点都有可能为直角顶点．
10．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，0），B（2，0），若点C在一次函数y＝﹣x+2的图象上，且△ABC为直角三角形，则满足条件的点C有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据已知可求得直线与两轴的交点，①分别过点A、点B作垂线，可得出符合题意的点C，②利用圆周角定理，可得出符合条件的两个点C．
【解答】解：由题意知，直线y＝﹣x+2与x轴的交点为（4，0），与y轴的交点为
（0，2），如图：
过点A作垂线与直线的交点W（﹣4，4），
过点B作垂线与直线的交点S（2，1），
过AB中点E（﹣1，0），作垂线与直线的交点为F（﹣1，2.5），
则EF＝2.5＜3，
所以以3为半径，以点E为圆心的圆与直线必有两个交点
∴共有四个点能与点A，点B组成直角三角形．
故选：D．

【点评】本题利用了直角三角形的性质和直线与圆的位置求解．
11．如图，已知A（2，6）、B（8，﹣2），C为坐标轴上一点，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有（　　）个．

A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】过点A作AB的垂线，交x轴于点C1，交y轴于点C2；过点B作AB的垂线，交x轴于点C3，交y轴于点C4；根据直径所对的圆周角为直角，以AB为直径作圆，根据A和B的坐标求出AB的长度，即为圆的直径，可得出半径的长，进而判断得出圆与y轴相切，可得出圆与y轴有1个交点，与x轴交于2点．所以满足条件的点共有7个．
【解答】解：分三种情况考虑：
①当A为直角顶点时，过A作AC⊥AB，交x轴于点C1，交y轴于点C2，此时满足题意的点为C1，C2；
②当B为直角顶点时，过B作BC⊥AB，交x轴于点C3，交y轴于点C4，此时满足题意的点为C3，C4；
③当C为直角顶点时，以AB为直径作圆，由A（2，6）、B（8，﹣2），可得此圆与y轴相切，
则此圆与y轴有1个交点，与x轴有2个交点，分别为C5，C6，C7．
综上，所有满足题意的C有7个．
故选：B．

【点评】此题考查了圆周角定理，直角三角形以及坐标与图形性质，利用了分类讨论及数形结合的思想．注意：若△ABC是直角三角形，则它的任意一个顶点都有可能为直角顶点．
二．填空题（共3小题）
12．如图，已知点A（﹣6，0），B（2，0），点C在直线y＝﹣x+3上，则使△ABC是直角三角形的点C的个数为 　4　．

【分析】（方法一）设点C的坐标为（m，﹣m+3），利用两点间的距离公式找出AC2，BC2，AB2的值，分∠BAC＝90°、∠ABC＝90°及∠ACB＝90°三种情况找出m的值（或利用根的判别式确定m解的个数）；
（方法二）过点A作AC1⊥x轴，交直线y＝﹣x+3于点C1，此时∠BAC1＝90°；过点B作BC2⊥x轴，交直线y＝﹣x+3于点C2，此时∠ABC2＝90°；以AB为直径作圆，交直线y＝﹣x+3于点C3，C4，此时∠AC3B＝∠AC4B＝90°．
【解答】解：（方法一）设点C的坐标为（m，﹣m+3），
则AC2＝（m+6）2+（﹣m+3）2＝m2+m+45，BC2＝（m﹣2）2+（﹣m+3）2＝m2﹣m+13，AB2＝（﹣6﹣2）2＝64．
①当∠BAC＝90°时，BC2＝AC2+AB2，
即m2﹣m+13＝m2+m+45+64，
∴m＝﹣6；
②当∠ABC＝90°时，AC2＝BC2+AB2，
即m2+m+45＝m2﹣m+13+64，
∴m＝2；
③当∠ACB＝90°时，AB2＝AC2+BC2，
即64＝m2+m+45+m2﹣m+13，
整理，得：25m2﹣8m﹣48＝0．
∵△＝（﹣8）2﹣4×25×（﹣48）＝4864＞0，
∴关于m的方程25m2﹣8m﹣48＝0有两个不等实根，
∴此时点C有两个．
综上所述：使△ABC是直角三角形的点C的个数为4．
故答案为：4．
（方法二）过点A作AC1⊥x轴，交直线y＝﹣x+3于点C1，此时∠BAC1＝90°；
过点B作BC2⊥x轴，交直线y＝﹣x+3于点C2，此时∠ABC2＝90°；
以AB为直径作圆，交直线y＝﹣x+3于点C3，C4，此时∠AC3B＝∠AC4B＝90°（此处需验证线段AB的中点到直线y＝﹣x+3的距离小于4）；
综上所述：使△ABC是直角三角形的点C的个数为4．
故答案为：4．

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理的逆定理，解题的关键是：（方法一）利用勾股定理，找出关于m的方程；（方法二）利用数形结合，找出点C的位置．
13．如图，在平面直角坐标系中，已知A（4，0），B（0，3），以AB为一边在△AOB外部作等腰直角△ABC．则点C的坐标为 　（7，4）或（3，7）或（）　．

【分析】分三种情形讨论求解即可．当AB＝AC，∠BAC＝90°时，作CE⊥x轴于E．由△AOB≌△CEA（AAS），推出AE＝OB＝3，CE＝OA＝1，可得C点坐标，同法可得，当AB＝BC′，∠ABC′＝90°，C′（3，4），当AB是等腰直角三角形的斜边时，C″是BC的中点，C″（2，2）．
【解答】解：如图，当AB＝AC，∠BAC＝90°时，作CE⊥x轴于E．

∵∠BAC＝∠AOB＝∠AEC＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝90°，∠OAB+∠CAE＝90°，
∴∠ABO＝∠CAE，
∵AB＝AC，
∴△AOB≌△CEA（AAS），
∴AE＝OB＝3，CE＝OA＝4，
∴C（7，4），
同法可得，当AB＝BC′，∠ABC′＝90°，C′（3，7），
当AB是等腰直角三角形的斜边时，C″是BC的中点，C″（，），
综上所述，满足条件的点C的坐标为（7，4）或（3，7）或（，）．
故答案为：（7，4）或（3，7）或（，）．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、中点坐标公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
14．如图，已知点A（﹣1，0）和点B（1，2），在y轴正半轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，则满足条件的点P的坐标为 　（0，3）或（0，1+）　．

【分析】分两种情况进行讨论，过B作BP⊥AB，交y轴于P，过B作BD⊥CP于D，则∠ABP＝90°，BD＝1，依据△BCP是等腰直角三角形，即可得到点P的坐标；当∠APB＝90°时，△ABP是直角三角形，依据C为AB的中点，AB＝2，即可得到点P的坐标．
【解答】解：如图，过B作BP⊥AB，交y轴于P，过B作BD⊥CP于D，则∠ABP＝90°，BD＝1，

∵点A（﹣1，0）和点B（1，2），
∴直线AB的表达式为y＝x+1，
令x＝0，则y＝1，
∴C（0，1），即OC＝1＝OA，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠ACO＝45°＝∠BCP，
∴△BCP是等腰直角三角形，
∴CP＝2BD＝2，
∴OP＝1+2＝3，
∴P（0，3）；

如图，当∠APB＝90°时，△ABP是直角三角形，

∵点A（﹣1，0），点B（1，2），点C（0，1），
∴C为AB的中点，AB＝2，
∴CP＝AB＝，
∴OP＝1+，
∴P（0，1+），
综上所述，点P的坐标为（0，3）或（0，1+）．
故答案为：（0，3）或（0，1+）．
【点评】本题主要考查了坐标与图形的性质和直角三角形的判定．要把所有的情况都考虑进去，不要漏掉某种情况．
三．解答题（共1小题）
15．图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸的每个小正方形的边长均为1，点A，B在小正方形的顶点上．
（1）在图1中画出△ABC（点C在小正方形的顶点上），使△ABC为直角三角形，并且面积为4；（画一个即可）
（2）在图1中画出△ABC（点C在小正方形的顶点上），使△ABC为钝角三角形，并且面积为4．（画一个即可）

【分析】（1）根据三角形的面积公式可知，做一个长为4，宽为2的直角三角形即可；
（2）根据网格结构和钝角三角形的定义做一个钝角三角形使它的底为2，高为4即可；
【解答】解：（1）如图1：
（2）如图2：

【点评】本题考查了应用与设计作图，熟练掌握并利用网格结构是解题的关键，做这类题时，注意要严格按要求来做．