山东省青岛市2023-2024学年高一上学期9月强基计划学生选拔测试数学试题

2023年青岛市高一数学强基计划学生选拔测试题

（时间：100分钟，满分120分）

一、填空题（共64分，其中每个小题8分）

1．已知关于的方程||有解，则的取值范围是______．

2．如图，直线与轴，轴分别交于点，与反比例函数的图象交于点．若，则的值为______．

3．实数，且满足，，则的值为______．

4．如图，在中，为上一点，连接，，，，则的面积是______．

5．已知实数满足，且，则的最大值为______．

6．在同一平面直角坐标系中，直线与函数的图象恰好有三个不同的交点，则的取值范围是______．

7．设是正整数，且是15的倍数，．已知是完全平方数，是完全立方数，是完全5次方数，则的最小值是______．

8．将形如和为正整数）的正整数从小到大排列，并依次记为若第个数，则的值为______．

二、解答题（共56分，其中第9题16分，第10题20分，第11题20分）

9．（本题满分16分）

如果实数满足，用表示，，的最大值，求的最大值．

10．（本题满分20分）

若一个两位正整数的个位数为4，则称为“好数”．

（1）求证：对任意“好数”一定为20的倍数；

（2）若，且为正整数，则称数对为“友好数对”，规定：，例如，称数对为“友好数对”，则，求小于70的“好数”中，所有“友好数对”的的最大值．

11．（本题满分20分）

如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与交于点，与轴交于点．

（1）若，求抛物线的表达式；

（2）在（1）的条件下，点是第一象限内抛物线对称轴上一点，且，求点的坐标．

2023年青岛市高一数学强基计划学生选拔测试题评分细则

一、填空题（共64分，其中每个小题8分）

1．  2．  3．－23　　4．　　　5．　　　6．

7．　　　　8．684

二、解答题（共56分，其中第9题16分，第10题20分，第11题20分）

9．（本小题满分16分）

不妨设，则，令，，则，

由

可知，，

∴，化简得，

∵，∴，

∴，∴．

10．（本小题满分20分）

（1）证明：设，且为整数，

∴

∵，且为整数，∴是正整数，

∴一定是20的倍数；

（2）∵，且为正整数，∴，

当时，，没有满足条件的，

当时，，

∴满足条件的有或，

解得或，∴或，

当时，，没有满足条件的，

当时，，

∴满足条件的有，解得，∴，

当时，，没有满足条件的，

当时，，

∴满足条件的有或，

解得或，∴或，

∴小于70的“好数”中，所有“友好数对”的的最大值为．

11．（本小题满分20分）

解析：（1）∵抛物线解析式为，

∴抛物线的对称轴是直线，

∵抛物线与轴交于两点，∴点；

当时，，∴点，

∵抛物线，与轴交于点C，

∴点，又∵点，∴直线的解析式为，

当时，，∴点，

∵，∴，∴，

∴抛物线的解析式为；

（2）如图，

∵点，点，点，

∴，，，，∴，

又∵，∴，∴，

∵，∴，

∴点，点，点，点四点共圆，

∵，∴，∴

∴是直径，∴点是圆心，∴，∴点