重难点04“垂径定理”模型 讲义（老师版+学生版）

重难点04“垂径定理”模型

1.识别几何模型。

2.利用“垂径定理”模型解决问题

垂径定理:

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.

垂径定理中的五个元素:

1. 过圆心;2垂直弦3平分弦(不是直径);4平分优;平分劣弧

这五个元素，知二推三

一．选择题（共3小题）

1．（2022秋•南京期中）如图，C是的中点，弦AB＝8，CD⊥AB，且CD＝2，则所在圆的半径为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．10

2．（2022秋•南通期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝10，CD＝8，则AE的长是（　　）

A．2 B．1 C． D．

3．（2022秋•盱眙县期中）把半径长为2.5的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知CD＝4，则EF＝（　　）

A．2 B．2.5 C．4 D．5

二．填空题（共6小题）

4．（2022秋•邗江区校级期末）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，凯凯在读完《九章算术》卷九勾股定理篇记载的“圆材埋壁”问题后，突发灵感，设计了一个数学题如图，CD为圆O的直径，弦AB⊥CD于点E，ED＝4，AB＝16，则直径CD的长是 　     　．

5．（2023春•大丰区月考）如图，⊙O的弦AB＝8，过点O作OP⊥AB于点C，交⊙O于点P，若OC：CP＝3：2，则⊙O的半径为 　   　．

6．（2022秋•江都区月考）如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F．当点E从点D出发逆时针运动到点C时，点F所经过的路径长为 　              　．

7．（2023•常州模拟）对于⊙P及一个矩形给出如下定义：如果⊙P上存在到此矩形四个顶点距离都相等的点，那么称⊙P是该矩形的“等距圆”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A的坐标为（4，6），顶点C、D在x轴上，且OC＝OD．若矩形ABCD的“等距圆”⊙P始终在矩形内部（含边界），则⊙P的半径r的取值范围是 　                  　．

8．（2022秋•秦淮区期末）如图，在以O为圆心半径不同的两个圆中，大圆和小圆的半径分别为6和4，大圆的弦AB交小圆于点C，D．若AC＝3，则CD的长为 　                 　．

9．（2022秋•邗江区期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC、BD交于点P，∠BAC+∠ACD＝∠CAD+∠ACB，⊙O的半径为1，当5≤AC2+BD2≤6时，则OP的取值范围 　                  　．

三．解答题（共8小题）

10．（2022秋•仪征市校级月考）如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E点，若AB＝10，DE＝2，求CD的长．

11．（2022秋•江阴市校级月考）如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O．

（1）求证：AB＝AC；

（2）若BC＝8，⊙O的半径为5，求△ABC的面积．

12．（2022秋•大丰区期中）如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点C、D．

（1）若∠AOD＝50°，求∠DOB的度数；

（2）若AB＝2，ED＝1，求⊙O的半径长；

13．（2022秋•梁溪区校级期中）关于x的方程ax2+cx+b＝0，如果a、b、c满足a2+b2＝c2且c≠0，那么我们把这样的方程称为“顾神方程”．请解决下列问题：

（1）请写出一个“顾神方程”：　                  　；

（2）求证：关于x的“顾神方程”ax2+cx+b＝0必有实数根；

（3）如图，已知AB、CD是半径为6的⊙O的两条平行弦，AB＝2a，CD＝2b，且关于x的方程ax2+6x+b＝0是“顾神方程”，请直接写出∠BAC的度数．

14．（2022秋•启东市校级月考）如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E．

（1）求证：四边形ADOE是正方形；

（2）若AC＝2cm，求⊙O的半径．

15．（2021秋•海门市期末）已知：如图，AM为⊙O的切线，A为切点，过⊙O上一点B作BD⊥AM于点D，BD交⊙O于C，OC平分∠AOB．

（1）求∠AOB的度数；

（2）若⊙O的半径为2cm，求∠ODB的正切值．

16．（2022秋•盐都区期中）请仅用无刻度的直尺作图．

（1）如图1，△ABC是⊙O的内接三角形，点P在⊙O上一点，且＝．画出△ABC中∠BAC的平分线；

（2）如图2，△ABC是⊙O的内接三角形，D是BC的中点．画出△ABC中∠BAC的平分线；

（3）如图3，⊙O为△ABC的外接圆，BC是非直径的弦，D是BC的中点，E是弦AB上一点，且DE∥AC，请画出△ABC的内心I．

17．（2022秋•江阴市期末）已知：在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝m．

（1）如图1，当时，以AB为直径的⊙G交CD于M、N两点，求此时MN的长；

（2）如图2，若⊙O经过A、B两点，且与CD相切，当其半径不大于时，求m的取值范围．

一．选择题（共7小题）

1．（2023•冀州区校级模拟）如图，在⊙O中，尺规作图的部分作法如下：①分别以弦AB的端点A、B为圆心，适当等长为半径画弧，使两弧相交于点M；②作直线OM交AB于点N．若OB＝10，AB＝16，则tanB等于（　　）

A． B． C． D．

2．（2023•梁园区校级四模）如图，点C为圆O上一个动点，连接AC，BC，若OA＝1，则阴影部分面积的最小值为（　　）

​

A． B． C． D．

3．（2023•仁怀市模拟）如图，点A、B、C三点在⊙O上，点D为弦AB的中点，AB＝8cm，CD＝6cm，则OD＝（　　）

A．cm B．cm C．cm D．cm

4．（2023•大同模拟）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，半径OA＝3，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，使点O恰好落在AB上的点D处，折痕为BC，则阴影部分的面积为（　　）

A． B．﹣3 C． D．

5．（2023•玉州区一模）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB交⊙O于点E，垂足为点D，AE，CB的延长线交于点F．若OD＝6，AB＝16，则FC的长是（　　）

A．8 B．12 C．16 D．20

6．（2023•瑶海区校级一模）如图，直线AB与⊙O相切于点A，CD是⊙O的一条弦，且CD∥AB，连接AC．若⊙O的半径为2，，则阴影部分的面积为（　　）

A． B．4π C． D．

7．（2023•宝鸡模拟）如图，△ABC内接于⊙O，E是的中点，连接BE，OE，AE，若∠BAC＝70°，则∠OEB的度数为（　　）

A．70° B．65° C．60° D．55°

二．填空题（共5小题）

8．（2023•安徽模拟）如图，AE是⊙O的直径，点C、点B在⊙O上，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点D，若AD＝2，AB＝4，AE垂直于BC，CD垂直于AB，则CD＝　              　．

9．（2023•杭州一模）如图是以点O为圆心的圆形纸片，AB是⊙O的弦，将该圆形纸片沿直线AB折叠，劣弧恰好经过圆心O．若AB＝6，则图中阴影部分的面积为 　                 　．

10．（2022秋•香坊区期末）如图，在⊙O中，AB是圆O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，且点E是OB的中点，CD＝6，则⊙O的半径为 　              　．

11．（2023•昌邑市校级二模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点O在AB上，⊙O的半径为3，AC＝2，若点D是圆上的动点，则点D到BC距离的最大值为 　   　．

12．（2023•岳阳县一模）如图，在⊙O中，已知AB是直径，P为AB上一点（P不与A、B两点重合），弦MN过P点，∠NPB＝45°．

（1）若AP＝2，BP＝6，则MN的长为 　               　；

（2）当P点在AB上运动时（保持∠NPB＝45° 不变），则＝　                　．

三．解答题（共8小题）

13．（2022秋•临平区期末）如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．

（1）求证：AC＝BD．

（2）若CD＝8，EF＝2，求⊙O的半径．

14．（2022秋•白云区期末）如图，AB，CD是⊙O的两条弦，AB＝CD，OE⊥CD，OF⊥AB，垂足分别为E，F．比较CE和AF的大小，并证明你的结论．

15．（2022秋•中山区期末）如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，AC＝2．求BD的长．

16．（2022秋•西城区期末）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是AB的中点，连接OC并延长交劣弧AB于点D，连接OB，DB．若AB＝4，CD＝1，求△BOD的面积．

17．（2022秋•兰山区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，且BC∥OD，过点D作DE⊥AB于点E．

（1）求证：BD平分∠ABC；

（2）若BC＝6，DE＝4，求⊙O的半径．

18．（2023•前郭县二模）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，OD⊥BC于E，∠D＝∠B．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若AB＝CD＝2，求BC的长．

19．（2023•青岛三模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，＝，过点A作AD∥BC交⊙O于点D，连接CD，延长DA到点E，连接CE，∠D＝∠E．

（1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）若CE＝8，AE＝5，求⊙O半径的长．

20．（2022秋•自贡期末）在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的限距点的定义如下：若P′为直线PC与⊙C的一个交点，满足r＜PP'≤2r，则称P'为点P关于⊙C的限距点，如图1为点P及其关于⊙C的限距点P'的示意图．

（1）当⊙O的半径为时．

①分别判断点M（3，4），N（3，0），关于⊙O的限距点是否存在？若存在，求其坐标；

②如图2，点D的坐标为（2，0），DE，DF分别切⊙O于点E，F，点P在△DEF的边上．若点P关于⊙O的限距点P'存在，求点P'的横坐标的取值范围．

（2）保持（1）中D，E，F三点不变，点P在△DEF的边DE，DF上沿F→D→E的方向运动，⊙C的圆心C的坐标为（1，0），半径为r，若点P关于⊙C的限距点P'不存在，则r的取值范围为 　                  　．