重难点05 “阿基米德折弦定理”模型 讲义（老师版+学生版）

重难点05 “阿基米德折弦定理”模型

1.识别几何模型。

2.利用“阿基米德折弦定理”模型解决问题

一．解答题（共5小题）

1．（2023•东港区校级一模）如图：已知点A、B、C、D顺次在圆O上，AB＝BD，BM⊥AC，垂足为M．证明：AM＝DC+CM．（阿基米德折弦定理）

2．（2021•方城县模拟）阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．

下面是运用“截长法”证明CD＝AB+BD的部分证明过程．

证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．

∵M是的中点，

∴MA＝MC

任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

（2）填空：如图（3），已知等边△ABC内接于⊙O，AB＝2，D为上一点，∠ABD＝45°，AE⊥BD于点E，则△BDC的周长是　                　．

3．（2021秋•海州区校级期中）某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：

【问题发现】如图1，AD，BD为⊙O的两条弦（AD＜BD），点C为的中点，过C作CE⊥BD，垂足为E．

求证：BE＝DE+AD．

【问题探究】小明同学的思路是：如图2，在BE上截取BF＝AD，连接CA，CB，CD，CF．……

请你按照小明的思路完成上述问题的证明过程．

【结论运用】如图3，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D是上一点，∠ACD＝45°，连接BD，CD，过点A作AE⊥CD，垂足为E．若AB＝，则△BCD的周长为 　                　．

【变式探究】如图4，若将【问题发现】中“点C为的中点”改为“点C为优弧的中点”，其他条件不变，上述结论“BE＝DE+AD”还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出BE、AD、DE之间的新等量关系，并加以证明．

4．（2023•海口一模）【问题呈现】阿基米德折弦定理：阿基米德（archimedes，公元前287﹣公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD＝DB+BA的部分证明过程．

证明：如图2，在CD上截取CG＝AB，连接MA、MB、MC和MG．

∵M是的中点，

∴MA＝MC，

又∵∠A＝∠C，BA＝GC，

∴△MAB≌△MCG，

∴MB＝MG，

又∵MD⊥BC，

∴BD＝DG，

∴AB+BD＝CG+DG即CD＝DB+BA．

【理解运用】如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB＝4，BC＝6，点M是的中点，MD⊥BC于点D，则BD＝　   　；

【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明．

【实践应用】如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半径为5，则AD＝　                  　．

5．（2021•深圳四模）先阅读命题及证明思路，再解答下列问题．

命题：如图1，在正方形ABCD中，已知：∠EAF＝45°，角的两边AE、AF分别与BC、CD相交于点E、F，连接EF．求证：EF＝BE+DF．

证明思路：

如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE′．∵AB＝AD，∠BAD＝90°，∴AB与AD重合．∵∠ADC＝∠B＝90°，∴∠FDE′＝180°，点F、D、E′是一条直线．

根据SAS，得证△AEF≌△AE′F，得EF＝E′F＝E′D+DF＝BE+DF．

（1）特例应用

如图1，命题中，如果BE＝2，DF＝3，求正方形ABCD的边长．

（2）类比变式

如图3，在正方形ABCD中，已知∠EAF＝45°，角的两边AE、AF分别与BC、CD的延长线相交于点E、F，连接EF．写出EF、BE、DF之间的关系式，并证明你的结论．

（3）拓展深入

如图4，在⊙O中，AB、AD是⊙O的弦，且AB＝AD，M、N是⊙O上的两点，∠MAN＝∠BAD．

①如图5，连接MB、MD，MD与AN交于点H，求证：MH＝BM+DH，DM⊥AN；

②若点C在（点C不与点A、D、N、M重合）上，连接CB、CD分别交线段AM、AN或其延长线于点E、F，直接写出EF、BE、DF之间的等式关系．

一．填空题（共1小题）

1．已知M是弧CAB的中点，MP垂直于弦AB于P，若弦AC的长度为x，线段AP的长度是x+1，那么线段PB的长度是 　       　．（用含有x的代数式表示）

二．解答题（共12小题）

2．如图，已知ABCD是某圆的内接四边形，AB＝BD，BM⊥AC于M，求证：AM＝DC+CM．

3．问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD＝AB+BD的部分证明过程．

证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．

∵M是的中点，

∴MA＝MC

……

请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

实践应用：

（1）如图3，已知△ABC内接于⊙O，BC＞AB＞AC，D是的中点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为　           　．

（2）如图4，已知等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，D为AB上一点，连接DB，∠ACD＝45°，AE⊥CD于点E，△BDC的周长为4+2，BC＝2，请求出AC的长．

4．如图，已知圆内接△ABC中，AB＞AC，D为的中点，DE⊥AB于E，求证：BD2﹣AD2＝AB•AC．

5．问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD＝AB+BD的部分证明过程．

证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG

∵M是的中点，

∴MA＝MC

……

请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

实践应用：

（1）如图3，已知△ABC内接于⊙O，BC＞AB＞AC，D是的中点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为　           　；

（2）如图4，已知等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，D为上一点，连接DB，∠ACD＝45°，AE⊥CD于点E，△BCD的周长为4+2，BC＝2，请求出AC的长．

6．【问题呈现】阿基米德折弦定理：

如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD＝DB+BA的部分证明过程．

证明：如图2，在CD上截取CG＝AB，连接MA、MB、MC和MG．

∵M是的中点，

∴MA＝MC①

又∵∠A＝∠C②

∴△MAB≌△MCG③

∴MB＝MG

又∵MD⊥BC

∴BD＝DG

∴AB+BD＝CG+DG

即CD＝DB+BA

根据证明过程，分别写出下列步骤的理由：

①　             　，

②　             　，

③　                  　；

【理解运用】如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB＝4，BC＝6，点M是的中点，MD⊥BC于点D，则BD＝　   　；

【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明．

【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题：

如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半径为5，求AD长．

7．请阅读下列材料，并完成相应的任务：

阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一，阿基米德的折弦定理是其推导出来的重要定理之一．

阿基米德折弦定理：如图，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是⊙O的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD＝AB+BD的部分证明过程．

证明：如图，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．

∵M是的中点，

∴MA＝MC．

…

请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分．

8．古希腊数学家阿基米德提出并证明了“折弦定理”．如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是优弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．

（1）请按照下面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，

连接MA，MB，MC和MG．

∵M是的中点，

∴＝，

∴MA＝MC．

（2）如图（3），已知等边△ABC内接于⊙O，AB＝2，D为⊙O上一点，∠ABD＝45°，AE⊥BD，垂足为E，请你运用“折弦定理”求△BDC的周长．

9．请阅读下列材料，并完成相应的任务：

阿基米德折弦定理

阿拉伯Al﹣Biruni（973年～1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．

阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．

下面是运用“截长法”证明CD＝AB+BD的部分证明过程．

证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．∵M是的中点，∴MA＝MC…

任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

（2）填空：如图（3），已知等边△ABC内接于⊙O，AB＝2，D为圆上一点，∠ABD＝45°，AE⊥BD与点E，则△BDC的周长是　                　．

10．问题提出

如图①，AB、AC是⊙O的两条弦，AC＞AB，M是的中点MD⊥AC，垂足为D，求证：CD＝BA+AD．

小敏在解答此题时，利用了“补短法”进行证明，她的方法如下：

如图②，延长CA至E，使AE＝AB，连接MA、MB、MC、ME、BC．

（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．）

推广运用

如图③，等边△ABC内接于⊙O，AB＝1，D是上一点，∠ABD＝45°，AE⊥BD，垂足为E，则△BDC的周长是　               　．

拓展研究

如图④，若将“问题提出”中“M是的中点”改成“M是的中点”，其余条件不变，“CD＝BA+AD”这一结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，写出CD、BA、AD三者之间存在的关系并说明理由．

11．已知A、B、C、D是⊙O上的四点，，AC是四边形ABCD的对角线

（1）如图1，连接BD，若∠CDB＝60°，求证：AC是∠DAB的平分线；

（2）如图2，过点D作DE⊥AC，垂足为E，若AC＝7，AB＝5，求线段AE的长度．

12．小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．

（1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在⊙O中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于点E，则AE＝BE．请证明此结论；

（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，PA，PB组成⊙O的一条折弦．C是劣弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE＝PE+PB．可以通过延长DB、AP相交于点F，再连接AD证明结论成立．请写出证明过程；

（3）如图3，PA．PB组成⊙O的一条折弦，若C是优弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE，PE与PB之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明．

13．如图，已知A、B、C、D四点顺次在⊙O上，且＝，BM⊥AC于M，

求证：AM＝DC+CM．