辽宁省铁岭市昌图县第一高级中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题

昌图县第一高级中学高二数学月考试题

满分150    时间：120分钟

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1．已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

2．设x，，向量，，，且，，则（    ）

A． B． C．3 D．4

3．下列说法正确的是（    ）

A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件

B．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为

C．过，两点的所有直线的方程为

D．直线与直线互相平行，则

4．下列命题正确的是（    ）

A．是向量，不共线的充要条件

B．在空间四边形ABCD中，

C．在棱长为1的正四面体ABCD中，

D．设A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若，则P，A，B，C四点共面

5．过点引直线，使，到它的距离相等，则这条直线的方程是（    ）

A．  B．

C．或 D．或

6．已知定点和直线l：，则点P到直线l的距离d的最大值为（    ）

A． B． C． D．

7．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（    ）

A．  B．平面

C．向量与的夹角是120° D．与所成角的余弦值为

8．已知MN是长方体外接球的一条直径，点P在长方体表面上运动，长方体的棱长分别是1，1，，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。漏选得2分，错选0分）

9．已知空间向量，，则下列结论正确的是（    ）

A．  B．

C．  D．与夹角的余弦值为

10．下列说法错误的是（    ）

A．直线与直线互相垂直，则

B．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为或

C．过、两点的所有直线的方程为

D．无论k为何值，直线必过定点

11．对于非零空间向量，，，现给出下列命题，其中为真命题的是（    ）

A．若，则，的夹角是钝角

B．若，，则

C．若，则

D．若，，，则，，可以作为空间中的一组基底

12．已知直线l：与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线m过AB的中点，若直线l，m及x轴围成的三角形面积为6，则直线m的方程为（    ）

A． B． C． D．

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13．已知直线l过点，在x轴和y轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为______．

14．已知向量，，且与的夹角为钝角，则实数k的取值范围为______．

15．如图，在三棱锥中，点G为底面的重心，点M是线段OG上靠近点G的三等分点，过点M的平面分别交棱OA，OB，OC于点D，E，F，若，，，则______．

16．如图，在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA发射后又回到原点P．若光线QR经过的重心，则BP长为______．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题10.0分）

（1）若直线l过点，且与直线平行，求直线l的一般式方程．

（2）若直线l过点，且与直线垂直，求直线l的斜截式方程．

18．（本小题12.0分）

已知向量，．

（1）当与平行时，求实数的值；

（2）当与垂直时，求实数的值．

19．（本小题12.0分）

已知OA，OB，OC两两垂直，，，M为OB的中点，点N在AC上，．

（Ⅰ）求MN的长；

（Ⅱ）若点P在线段BC上，设，当时，求实数的值．

20．（本小题12.0分）

等腰直角三角形ABC的直角顶点B和顶点A都在直线上，顶点C的坐标是，直线AC的倾斜角是钝角．

（1）求直线BC，AC在x轴上的截距之和；

（2）平行于AC的直线l与边AB，BC分别交于点D，E，若的面积等于，求直线l与两坐标轴围成的三角形的周长．

21．（本小题12.0分）

如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．

（Ⅰ）设P是上的一点，且，求的大小；

（Ⅱ）当，时，求二面角的大小．

22．（本小题12.0分）

如图，PO是三棱锥的高，，，E为PB的中点．

（1）证明：平面PAC；

（2）若，，，求二面角的正弦值．

数学答案

1．A   2．C   3．D   4．B   5．D   6．D   7．B   8．A

9．ACD    10．AC    11．BD    12．AC

13．或

14．         15．        16．

17．解：（1）设直线方程为：，

将代入方程，得，

所以直线方程为．

（2）设直线方程为：，

将代入方程，得，

所以直线方程为化为斜截式为．

18．解：（1）由已知得，

．

由与平行，得，

解得．

（2）由已知得，．

由与垂直，

得，

解得．

19．解：（1）以O为原点，OA，OB，OC分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，

因为M为OB的中点，，

所以，，所以．

（2）设，因为，且点P在线段BC上，所以．

．所以，

由（1）得．

当，，

即，解得．

20．解：（1）因为直线AB的方程为，

所以直线BC的斜率为，

直线BC的方程为，即，

令，得，所以直线BC在x轴上的截距为4．

设，由知点A到直线BC的距离等于点C到直线AB的距离，

即，

解得或，

又直线AC的倾斜角为钝角，所以，

即，所以直线AC的方程为，

令，得，所以直线AC在x轴上的截距为，

所以直线BC、AC在x轴上的截距之和为3．

（2）设直线l的方程为，

由可得，

则．

的面积为，

而的面积为，

所以点B到直线AC的距离是点B到直线l的距离的2倍，

即，解得或．

因为直线l与边AB，BC分别交于点D，E，所以，

即直线l的方程为，

所以所求三角形的周长为．

21．解：（Ⅰ）∵，，且，平面ABP，，

∴平面ABP，又平面ABP，∴，

又，因此；

（Ⅱ）解法一：

取的中点H，连接EH，GH，CH．

∵，∴四边形BEHC为菱形，

∴．

取AG中点M，连接EM，CM，EC，

则，，

∴为所求二面角的平面角．

又，∴．

在中，由于，

由余弦定理得：．

∴，因此为等边三角形，

故所求的角为60°．

解法二：以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

由题意得：，，，，

故，，．

设为平面AEG的一个法向量，

由，得，

取，得；

设为平面ACG的一个法向量，

由，可得，取，得．

∴．

∴二面角的大小为60°．

22．解：（1）证明：连接OA，OB，依题意，平面ABC，

又平面ABC，平面ABC．

则，．

∴，

又，，则，

∴，

延长BO交AC于点F，又，则在中，O为BF中点，连接PF，

在中，O，E分别为BF，BP的中点，则，

∵平面PAC，平面PAC，

∴平面PAC；

（2）过点A作，以AB，AC，AF分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

由于，，由（1）知，

又，则，

∴，，，．

设，则．

设平面AEB的一个法向量为，又，，

则，则可取，

设平面AEC的一个法向量为，又，，

则，则可取，

设锐二面角的平面角为，则，

∴，即二面角正弦值为．