四川省绵阳南山中学2023届高三数学（文）下学期入学考试试题（Word版附解析）

绵阳南山中学2023年春高三入学考试数学试题（文科）

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、单项选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．）

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】求出集合后再逐项计算，从而可得正确的选项.

【详解】集合，，

，故A错误，D正确；

，故B，C错误．

故选：D．

2. 在复平面内，复数z对应的点为，则（    ）

A. i B. －i C. 2i D. －2i

【答案】B

【解析】

【分析】由题可得，再由复数除法法则即可求解.

【详解】因为复数z对应点的坐标为，所以，

所以.

故选：B.

3. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直观，形无数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．函数的图象大致形状是（    ）

A.    B.  

C.    D.  

【答案】A

【解析】

【分析】首先判断函数的奇偶性，再由函数在上的取值情况，利用排除法即可判断.

【详解】因为，定义域为，

又，所以是偶函数，图象关于轴对称，故排除C、D，

又当时，，，故排除B．

故选：A．

4. 中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼·春官·大师》，八音分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器.某同学计划从“金、石、匏、竹、丝5种课程中选2种作兴趣班课程进行学习，则恰安排了1个课程为吹奏乐器、1个课程为打击乐器的概率为（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题目首先列出总的事件数，再列出满足条件的基本事件数，进一步求出答案.

【详解】“金、石”为打击乐器共2种，“匏、竹”为吹奏乐器共2种，“丝”为弹拨乐器，共1种，5选2的基本事件有（金、石）（金、匏）（金、竹）（金、丝）（石、匏）（石、竹）（石、丝）（匏、竹）（匏、丝）（竹、丝），共10种情况，其中恰安排了1个课程为吹奏乐器、1个课程为打击乐器的基本事件为（金、匏）（金、竹）（石、匏）（石、竹），共4种，

故所求概率为.

故选：B.

5. 设，，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】由得到，举出反例，得到充分性不成立，由推出，必要性成立，得到答案.

【详解】，则，当时，满足，但此时无意义，故充分性不成立，

若，则，故必要性成立，

则“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

6. 已知，，，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】首先根据平面向量平行的坐标表示可知，再根据余弦二倍角公式化简、解方程可得,进而可得，再根据两角差的正切公式即可求出结果.

【详解】因为，

所以，

，

，

所以或，

又，所以，

所以，

所以，

故选：B.

7. 若函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则下列关于叙述正确的是（    ）

A. 的最小正周期为

B. 在内单调递增

C. 的图象关于对称

D. 的图象关于对称

【答案】C

【解析】

【分析】利用三角恒等变换化简为标准型，结合函数图象变换求得，再根据三角函数的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】，

将其图象向左平移个单位得到的图象；

对A：的最小正周期，故A错误；

对B：当时，，此时不是单调函数，故B错误；

对C：为函数最小值，故是的对称轴，C正确；

对D：，故不是的对称中心，D错误.

故选：C.

8. 美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为的形式．已知描述的是一种果树的高度随着栽种时间x（单位：年）变化的规律，若刚栽种（x＝0）时该果树的高为1.5m，经过2年，该果树的高为4.5m，则该果树的高度不低于5.4m，至少需要（    ）

A. 3年 B. 4年 C. 5年 D. 6年

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数模型解析式，代入值得到方程组，解出，则得到函数解析式，代入或列不等式均可.

【详解】由题意可得,,则,

解得,所以,，

由函数的解析式可得,在上单调递增,且,

故该果树的高度不低于,至少需要3年.

故选：A.

9. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面．下列说法中不正确的是（    ）

A. 若 ，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】B

【解析】

【分析】根据空间中的线面、面面关系逐一判断即可.

【详解】由线面平行的性质定理可知A正确；

若，，则或，故B错误；

因为，所以由面面垂直的性质定理可知，必有，使得，

同理，由得必有，使得，

从而有，

若与是相同直线，则由得；

若与是不同直线，则由，，可得，

因为，，则由线面平行的性质定理可得，故，故C正确；

若，则，又，则，故D正确．

故选：B.

10. 设抛物线的焦点为F，过点的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，，则与的面积之比（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据抛物线焦半径公式得到B点横坐标，进而利用抛物线方程求出B点纵坐标，直线AB的方程，求出C点坐标，联立直线与抛物线，求出A点纵坐标，利用求出答案.

【详解】如图，过点B作BD垂直准线于点D，则由抛物线定义可知：，

设直线AB为， ，，，不妨设，则，

所以，解得：，则，解得：，则，

所以，解得：，则直线AB为，

所以当时，即，解得：，则，

联立与得：，则，

所以，其中.

故选：C

11. 设，分别为双曲线：的左､右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的某条渐近线于，两点，且，（如图），则该双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C. 2 D.

【答案】D

【解析】

【分析】联立与求出，进而的正切可求，得出的关系，从而进一步解出答案.

【详解】依题意得, 以线段 为直径的圆的方程为 ,

双曲线 的一条渐近线的方程为 .

由 以及

解得 或

不妨取 , 则 .

因为 ,

所以 ,

又

所以 ,

所以 ,

所以该双曲线的离心率 .

故选：D.

12. 已知，，，则，，的大小关系是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】令函数，利用导数求得函数的单调性，得到，再根据，，，结合题意，，，得到，分别求得，，，即可求解.

【详解】令函数，则，

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

所以，所以，

因为，，，

所以，，，

所以，即，

因为，可得，

又因为，则，

同理，，所以，，

因为当时，，函数单调递减，所以．

故选：C．

【点睛】方法点拨：设函数，求得当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，得到，得出，结合函数的单调性进行比较是解答的关键.

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13. 已知函数，则________．

【答案】

【解析】

【分析】根据分段函数的解析式求得正确答案.

【详解】.

故答案为：

14. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．

【答案】

【解析】

【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.

【详解】∵，∴，

设切点为,则,切线斜率,

切线方程为：,

∵切线过原点，∴

整理得：,

∵切线有两条，∴,解得或,

∴的取值范围是,

故答案为：

15. 已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是边长为2的正方形，且PA⊥平面ABCD.若四棱锥P﹣ABCD的体积为，则球O的表面积为___________.

【答案】

【解析】

【分析】由题意，画出示意图，四棱锥P﹣ABCD的体积，，，，球O的半径，进而求解.

【详解】解：由题意，画出示意图如图：

则正方形ABCD面积S=4，

∵ 四棱锥P﹣ABCD的体积，∴ ，

，

球O的半径

球O的表面积：.

故答案为：

16. 设，过定点的动直线，和过定点的动直线交于点，圆，则下列说法正确的有______________．

①直线过定点；                  ②直线与圆相交最短弦长为2；

③动点的曲线与圆相交；             ④最大值为5．

【答案】①②③

【解析】

【分析】根据直线系求直线过定点判断①，根据半弦长、半径、圆心距关系求弦长判断②，由圆心距判断两圆的关系判断③，根据，设，利用三角函数求最值判断④.

【详解】①：由，

有，所以直线过的定点为，故①正确；

②：由圆的标准方可得图心为，半径，直线过的定点为，

当时所得弦长最短．则，又，所以，

得，则圆心到直线的距离为，所以弦长为：，

故②正确；

③：当时，，则点，此时点在圆外：

当时，由直线得，代入直线中得点的方程为

圆也适合，得．半径为，

所以圆心距．所以两圆相交．故③正确；

④：由．当时，，有，

当时．，则，所以，

又点是两直线的交点，所以，所以，

设，则，因为，，所以，

所以，故④错误．

故答案为：①②③．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

（一）必考题：共60分．

17. 已知数列满足

（1）证明：数列为等差数列：

（2）设数列满足，求数列的前项和.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）对进行整理得到，即可说明数列为等差数列；

（2）将变形为或，然后求和即可.

【小问1详解】

法1：由，

两边同除以得，，（）为常数，

∴数列为等差数列，首项，公差为1，

法2：由得，

∴（）为常数，

∴数列为等差数列，首项，公差为1.

【小问2详解】

由，∴，

法1：，

则

.

法2：，

则

.

18. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．

（1）求角B的大小；

（2）若，D为AC边上的一点，，且______，求的面积．

①BD是平分线；②D为线段AC的中点．（从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理化简，再根据三角形中角的范围可求得；

（2）若选①：利用三角形面积关系和余弦定理求得，然后根据面积公式即可；若选②：根据中点的向量关系式并同时平方，结合余弦定理求得，然后根据面积公式即可.

【小问1详解】

由正弦定理知：

又：

代入上式可得：

，则

故有：

又，则

故的大小为：

【小问2详解】

若选①：

由BD平分得：

则有：，即

在中，由余弦定理可得：

又，则有：

联立

可得：

解得：（舍去）

故

若选②：

可得：，

，可得：

在中，由余弦定理可得：，即

联立

解得：

故

19. 每年10月中上旬是小麦的最佳种植时间，但小麦的发芽会受到土壤、气候等多方面因素的影响.某科技小组为了解昼夜温差的大小与小麦发芽的多少之间的关系，在不同的温差下统计了100颗小麦种子的发芽数，得到了如下数据：

（1）请根据统计的最后三组数据，求出关于的线性回归方程；

（2）若由（1）中的线性回归方程得到的估计值与前两组数据的实际值误差均不超过两颗，则认为线性回归方程是可靠的，试判断（1）中得到的线性回归方程是否可靠；

（3）若100颗小麦种子的发芽率为颗，则记为的发芽率，当发芽率为时，平均每亩地的收益为元，某农场有土地10万亩，小麦种植期间昼夜温差大约为，根据（1）中得到的线性回归方程估计该农场种植小麦所获得的收益.

附：在线性回归方程中，.

【答案】（1）（2）见解析（3）7950万元

【解析】

【分析】（1）先进行数据处理：每个温差值减去12，每个发芽数减去86，得到新的数据表格，求出的值，最后求出关于的线性回归方程；

（2）根据线回归方程，分别计算当时，当时，它们的估计值，然后判断（1）中得到的线性回归方程是否可靠；

（3）当时，根据线性回归方程计算出的值，然后计算出发芽率以及收益.

【详解】数据处理；.

（1）

此时：，，，，

∴，∴.

（2）当时：，符合，

当时：，符合，

前两组数据均符合题意，该回归直线方程可靠.

（3）当时，

发芽率，∴.

收益：（万亩）（万元）.

种植小麦收益为7950万元.

【点睛】本题考查了求线性回归方程，以及用数据检验线性回归方程是否可靠，考查了应用线性回归方程估计收益问题，考查了数学应用能力.

20. 如图.矩形ABCD的长，宽，以A､B为左右焦点的椭圆恰好过C､D两点，点P为椭圆M上的动点.

（1）求椭圆M的方程，并求的取值范围；

（2）若过点B且斜率为k的直线交椭圆于M､N两点（点C与M､N两点不重合），且直线CM､CN的斜率分别为，试证明为定值.

【答案】（1），   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）由，把点的坐标代入椭圆方程，结合可求得得椭圆方程，设点，求出，根据椭圆的范围得数量积的范围；

（2）设两点M､N，直线方程代入椭圆方程，应用韦达定理得，再代入化简可得．

【小问1详解】

由题意得.

又点在椭圆上，所以，

且，所以，，故椭圆的方程为.

设点，由，得.

又，所以.

【小问2详解】

设过点且斜率为的直线方程为，

联立椭圆方程得.

设两点M､N，故，.

因为，

其中，，

故

所以为定值．

21. 已知函数，是的导函数．

（1）讨论的单调性；

（2）是否存在，使得，对恒成立？若存在，请求出的所有值；若不存在，请说明理由．（参考数据：，）

【答案】（1）答案见解析   

（2）存在，整数的所有值为

【解析】

【分析】（1）令，求导后，分别在和的情况下，由的正负可确定所求的单调性；

（2）将恒成立的不等式化为，求导后，分别在且、和且的情况下，得到的单调性，进而确定，由可求得的范围，结合可求得所有满足题意的值.

【小问1详解】

由题意知：定义域为，，

令，则；

当时，恒成立，在上单调递增；

当时，若，；若，；

在上单调递减，在上单调递增；

综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.

【小问2详解】

由（1）知：对恒成立，即对恒成立；

令，则；

①当且时，，在上单调递增，

，解得：（舍）；

②当且，即时，，不合题意；

③当且时，若，；若，；

在上单调递减，在上单调递增，；

令，则，

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减；

又，，，，

满足且，所有整数为；

综上所述：的所有值为.

【点睛】关键点点睛：本题考查含参函数单调性的讨论、恒成立问题的求解；求解恒成立问题的关键是能够将问题转化为恒成立，进而通过对于参数范围的讨论，确定，结合得到不等式的所有整数解.

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分．如果多做，则按所做的第一题计分．

22. 在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；

（2）已知点，若直线l与曲线C交于A，B两点，求的值．

【答案】（1）直线l：， C：；   

（2）

【解析】

【分析】(1)直接将参数方程中的t消去即可得出直线的普通方程，结合公式，计算即可得出曲线的直角坐标方程；

(2)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程可得关于t的一元二次方程，结合t的几何意义化简计算即可求解.

【小问1详解】

将直线l的参数方程中的参数t消去，得；

即为，

把，代入，得，

即曲线C的直角坐标方程为．

所以直线l：，C：；

【小问2详解】

易知点在直线上，

把直线l的参数方程（t为参数），

代入，整理得．

，

设直线l与曲线C的交点A，B对应的参数分别为，，

则，，得同号，

所以．

23. 已知，，且．

（1）证明：；

（2）若不等式对任意恒成立，求m的取值范围．

【答案】（1）证明见详解   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意可得，代入运算整理，结合二次函数的对称性求最值；（2）根据题意分析可得，结合和运算求解.

【小问1详解】

∵，则，可得，

∴，

又∵开口向上，对称轴为，

∴当时，，当时，，

故.

【小问2详解】

∵，当且仅当，即时等号成立；

∴，

又∵，当且仅当时等号成立，

∴，解得或，

故m的取值范围为.