2009年成都中考数学试卷

这是一份2009年成都中考数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
成都市2009年中考数学试题
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．计算2×（﹣）的结果是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
2．在函数中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x＜ B．x≠﹣ C．x≠ D．x＞
3．如图所示的是某几何体的三视图，则该几何体的形状是（　　）
A．长方体 B．三棱柱 C．圆锥 D．正方体

4．下列说法正确的是（　　）
A．某市“明天降雨的概率是75%”表示明天有75%的时间会降雨
B．随机抛掷一枚均匀的硬币，落地后正面一定朝上
C．在一次抽奖活动中，“中奖的概率是”表示抽奖100次就一定会中奖
D．在平面内，平行四边形的两条对角线一定相交
5．已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（　　）
A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
6．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），若将OA绕原点O逆时针旋转180°得到0A′，则点A′在平面直角坐标系中的位置是在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜1 D．k＜1且k≠0
8．若一个圆锥的底面圆的周长是4πcm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（　　）
A．40° B．80° C．120° D．150°
9．某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x（kg）与其运费y（元）由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量（　　）
A．20kg B．25kg C．28kg D．30kg
10．为了解某小区居民的日用电情况，居住在该小区的一名同学随机抽查了15户家庭的日用电量，结果如下表：
日用电量（单位：度）
5
6
7
8
10
户 数
2
5
4
3
l
则关于这15户家庭的日用电量，下列说法错误的是（　　）
A．众数是6度 B．平均数是6.8度 C．极差是5度 D．中位数是6度
二、填空题（共9小题，每小题4分，满分36分）
11．已知：（n=1，2，3，…），记b1=2（1﹣a1），b2=2（1﹣a1）（1﹣a2），…，bn=2（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣an），则通过计算推测出bn的表达式bn=　　．（用含n的代数式表示）
12．如图，A、B、C是⊙O上的三点，以BC为一边，作∠CBD=∠ABC，过BC上一点P，作PE∥AB交BD于点E．若∠AOC=60°，BE=3，则点P到弦AB的距离为　　．
13．已知M（a，b）是平面直角坐标系xOy中的点，其中a是从l，2，3三个数中任取的一个数，b是从1，2，3，4四个数中任取的一个数．定义“点M（a，b）在直线x+y=n上”为事件Qn（2≤n≤7，n为整数），则当Qn的概率最大时，n的所有可能的值为　　．

14．如图，正方形OABC的面积是4，点B在反比例函数y=（k＞0，x＜0）的图象上．若点R是该反比例函数图象上异于点B的任意一点，过点R分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，从矩形OMRN的面积中减去其与正方形OABC重合部分的面积，记剩余部分的面积为S，则当S=m（m为常数，且0＜m＜4）时，点R的坐标是　　．（用含m的代数式表示）
15．化简：=　　．
16．如图，将矩形ABCD沿BE折叠，若∠CBA′=30°，则∠BEA′=　　度．
17．分式方程的解是x=　　．
18．如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么BD=　　．
19．改革开放30年以来，成都的城市化推进一直保持着快速、稳定的发展态势．据统计，到2008年底，成都市中心五城区（不含高新区）常住人口已达到4 410 000人，对这个常住人口数有如下几种表示：①4.41×105人；②4.41×106人；③44.1×105人．其中是科学记数法表示的序号为　　．
三、解答题（共9小题，满分84分）
20．（8分）某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，投资开办了一个装饰品商店．该店采购进一种今年新上市的饰品进行了30天的试销售，购进价格为20元/件．销售结束后，得知日销售量P（件）与销售时间x（天）之间有如下关系：P=﹣2x+80（1≤x≤30，且x为整数）；又知前20天的销售价格Q1（元/件）与销售时间x（天）之间有如下关系：Q1=x+30（1≤x≤20，且x为整数），后10天的销售价格Q2（元/件）与销售时间x（天）之间有如下关系：Q2=45（21≤x≤30，且x为整数）．
（1）试写出该商店前20天的日销售利润R1（元）和后10天的日销售利润R2（元）分别与销售时间x（天）之间的函数关系式；（2）请问在这30天的试销售中，哪一天的日销售利润最大？并求出这个最大利润． 注：销售利润=销售收入﹣购进成本．







21．（10分）已知A、D是一段圆弧上的两点，且在直线l的同侧，分别过这两点作l的垂线，垂足为B、C，E是BC上一动点，连接AD、AE、DE，且∠AED=90度．
（1）如图①，如果AB=6，BC=16，且BE：CE=1：3，求AD的长；
（2）如图②，若点E恰为这段圆弧的圆心，则线段AB、BC、CD之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当A、D分别在直线l两侧且AB≠CD，而其余条件不变时，线段AB、BC、CD之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明．




22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=a（x+1）2+c（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为M，若直线MC的函数表达式为y=kx﹣3，与x轴的交点为N，且cos∠BCO=．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q．若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？



23．（10分）如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连接CD，G是CD的中点，连接OG．（1）判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明；（2）求证：AE=BF；（3）若OG⋅DE=3（2﹣），求⊙O的面积．





24．（10分）有一枚均匀的正四面体，四个面上分别标有数字：1，2，3，4，小红随机地抛掷一次，把着地一面的数字记为x；另有三张背面完全相同，正面上分别写有数字﹣2，﹣1，1的卡片，小亮将其混合后，正面朝下放置在桌面上，并从中随机地抽取一张，把卡片正面上的数字记为y；然后他们计算出S=x+y的值．
（1）用树状图或列表法表示出S的所有可能情况；
（2）分别求出当S=0和S＜2时的概率．













25．（6分）解不等式组并在所给的数轴上表示出其解集．









26．（12分）解答下列各题：
（1）计算：+2（π﹣2009）0﹣4sin45°+（﹣1）3；
（2）先化简，再求值：x2（3﹣x）+x（x2﹣2x）+1，其中x=．




























27．（8分）某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”一章时，开展测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度．如图，他们先在点C测得教学楼AB的顶点A的仰角为30°，然后向教学楼前进60米到达点D，又测得点A的仰角为45度．请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度．（计算过程和结果均不取近似值）























28．（8分）已知一次函数y=x+2与反比例函数y=，其中一次函数y=x+2的图象经过点P（k，5）．
（1）试确定反比例函数的表达式；
（2）若点Q是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点Q的坐标．
　

成都市2009年中考数学试题参考答案
一、1． A．2． C．3． B．4． D．5． B．6． C．7． B．8． C．9． A．10． D．
二、11． ．12． ．13． 4或5．14．（，）或（，）．
15．．16． 60°．17． x=218． 3．19．②．
三、20．解：（1）根据题意，得
R1=P（Q1﹣20）=（﹣2x+80）[（x+30）﹣20]，
=﹣x2+20x+800（1≤x≤20，且x为整数），
R2=P（Q2﹣20）=（﹣2x+80）（45﹣20），
=﹣50x+2000（21≤x≤30，且x为整数）；
（2）在1≤x≤20，且x为整数时，
∵R1=﹣（x﹣10）2+900，
∴当x=10时，R1的最大值为900，
在21≤x≤30，且x为整数时，
∵R2=﹣50x+2000，﹣50＜0，R2随x的增大而减小，
∴当x=21时，R2的最大值为950，
∵950＞900，
∴当x=21即在第21天时，日销售利润最大，最大值为950元．
21．解：（1）∵AB⊥l于B，DC⊥l于C，
∴∠ABE=∠ECD=90°．
∵∠BEA+∠AED+∠CED=180°，且∠AED=90°，
∴∠CED=90°﹣∠BEA．
又∵∠BAE=90°﹣∠BEA，
∴∠BAE=∠CED．
∴Rt△ABE∽Rt△ECD．
∴．
∵BE：EC=1：3 BC=16，
∴BE=4，EC=12．
又∵AB=6，
∴CD==8．
在Rt△AED中，由勾股定理得
AD==2．

（2）（i）猜想：AB+CD=BC．
证明：在Rt△ABE中，∵∠ABE=90°
∴∠BAE=90°﹣∠AEB，
又∵∠AEB+∠AED+∠CED=180°，且∠AED=90°，
∴∠CED=90°﹣∠AEB．
∴∠BAE=∠CED．
∵DC⊥BC于点C，
∴∠ECD=90°．
由已知，有AE=ED，
在Rt△ABE和Rt△ECD中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ECD（AAS）．
∴AB=EC，BE=CD．
∴BC=BE+EC=CD+AB，即AB+CD=BC．
（ii）当A，D分别在直线l两侧时，线段AB，BC，CD有如下等量关系：
AB﹣CD=BC（AB＞CD）或CD﹣AB=BC（AB＜CD）．

22．解：（1）∵直线MC的函数表达式y=kx﹣3．
∴点C（0，﹣3）
∴cos∠BCO==，
∴可设OC=3t（t＞0），BC=t
则由勾股定理，得OB=t
而OC=3t=3，
∴t=1
∴OB=1，
∴点B（1，0）
∵点B（1，0）C（0，﹣3）在抛物线上
∴，
解得，
∴抛物线的函数表达式为y=（x+1）2﹣4=x2+2x﹣3．

（2）假设在抛物线上存在异于点C的点P，使以N，P，C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形，
①若PN为另一条直角边
∵点M（﹣1，﹣4）在直线MC上，
∴﹣4=﹣k﹣3，即k=1
∴直线MC的函数表达式为y=x﹣3
易得直线MC与x轴的交点N的坐标为N（3，0）
∵OC=ON
∴∠CNO=45°
∴在y轴上取点D（0，3），
连接ND交抛物线于点P
∵ON=OD
∴∠DNO=45°
设直线ND的函数表达式为y=mx+n
由
得
∴直线ND的函数表达式为y=﹣x+3
设点P（x，﹣x+3），代入抛物线的函数表达式，
得﹣x+3=x2+2x﹣3，
即x2+3x﹣6=0
解得x1=，x2=
∴y1=，y2=
∴满足条件的点为P1（，），p2（，）．
②若PC是另外一条直角边
∵点A是抛物线与x轴的另一交点，
∴点A的坐标为（﹣3，0）
连接AC，∵OA=OC，
∴∠OCA=45°，又∠OCN=45°
∴∠ACN=90°，
∴点A就是所求的点p3（﹣3，0）
综上所述，在抛物线上存在满足条件的点，有3个，
分别为：P1（，），p2（，），p3（﹣3，0）．

（3）若抛物线沿其对称轴向上平移，
设向上平移b（b＞0）个单位可设函数表达式为y=x2+2x﹣3+b
由，
得x2+x+b=0．
∴要使抛物线与线段NQ总有交点，
必须△=1﹣4b≥0，即b≤，
∴0＜b≤
∴若抛物线向上平移，最多可平移个单位长度．
②若抛物线沿其对称轴向下平移，设向下平移b（b＞0）个单位
可设函数表达式为y=x2+2x﹣3﹣b
∵当x=﹣3时，y=﹣b，当x=3时，y=12﹣b
易求得Q（﹣3，﹣6），又N（3，0）
∴要使抛物线与线段NQ总有交点，必须
﹣b≥﹣6或12﹣b≥0，即b≤6或b≤12
∴0＜b≤12
∴若抛物线沿其对称轴向下平移，最多可平移12个单位长度
综上可知，若抛物线沿其对称轴向下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，
则向上最多可平移个单位长度，向下最多可平移12个单位长度．

23．（1）解：猜想OG⊥CD．
证明：如图，连接OC、OD，
∵OC=OD，G是CD的中点，
∴由等腰三角形的性质，有OG⊥CD．
（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
而∠CAE=∠CBF（同弧所对的圆周角相等），
在Rt△ACE和Rt△BCF中，
∵∠ACE=∠BCF=90°，AC=BC，∠CAE=∠CBF，
∴Rt△ACE≌Rt△BCF（ASA）．
∴AE=BF．
（3）解：如图，过点O作BD的垂线，垂足为H，则H为BD的中点．
∴OH=AD，即AD=2OH，
又∠CAD=∠BAD⇒CD=BD，∴OH=OG．
在Rt△BDE和Rt△ADB中，
∵∠DBE=∠DAC=∠BAD，
∴Rt△BDE∽Rt△ADB，
∴，即BD2=AD•DE．
∴．
又BD=FD，∴BF=2BD，
∴①，
设AC=x，则BC=x，AB=，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠FAD=∠BAD．
在Rt△ABD和Rt△AFD中，
∵∠ADB=∠ADF=90°，AD=AD，∠FAD=∠BAD，
∴Rt△ABD≌Rt△AFD（ASA）．
∴AF=AB=，BD=FD．
∴CF=AF﹣AC=．
在Rt△BCF中，由勾股定理，得
②，
由①、②，得，
∴x2=12，解得或（舍去），
∴，
∴⊙O的半径长为．
∴S⊙O=π•（）2=6π．


24．解：（1）画树状图


（2）由图（或表）可知，所有可能出现的结果有12种，其中S=0的有2种，S＜2的有5种，2分
∴P（S=0）==，2分
P（S＜2）=． 2分
25．解：解不等式3x﹣1＜2（x+1），得x＜3
解不等式≥1，得x≥﹣1
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜3．
在数轴上表示解集如图：

26．解：（1）原式=2+2×1﹣4×﹣1
=2+2﹣2﹣1
=1；
（2）原式=3x2﹣x3+x3﹣2x2+1
=x2+1．
当x=时，
原式=（）2+1=4．
27．解：由已知，可得：∠ACB=30°，∠ADB=45°，
∴在Rt△ABD中，BD=AB．
又在Rt△ABC中，
∵tan30°=，
∴，即BC=AB．
∵BC=CD+BD，
∴AB=CD+AB，
即（﹣1）AB=60，
∴AB=米．
答：教学楼的高度为30（+1）米．
28．解：（1）一次函数y=x+2的图象经过点P（k，5），
∴5=k+2，
∴k=3，
∴反比例函数的表达式为y=．
（2）由消去，得x2+2x﹣3=0，
即（x+3）（x﹣1）=0，
∴x=﹣3或x=1，
可得y=﹣1或y=3，
于是或；
∵点Q在第三象限，
∴点Q的坐标为（﹣3，﹣1）．