2013年成都中考数学试卷

这是一份2013年成都中考数学试卷，共8页。试卷主要包含了选择题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。
成都市2013年中考数学试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．2的相反数是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．
2．如图所示的几何体的俯视图可能是（　　）
A． B． C． D．
3．要使分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠1 B．x＞1 C．x＜1 D．x≠﹣1
4．如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．下列运算正确的是（　　）
A．×（﹣3）=1 B．5﹣8=﹣3 C．2﹣3=6 D．（﹣2013）0=0
6．参加成都市今年初三毕业会考的学生约有13万人，将13万用科学记数法表示应为（　　）
A．1.3×105 B．13×104 C．0.13×105 D．0.13×106

7．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C和点C′重合，若AB=2，则C′D的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是（　　）
A．y=﹣x+3 B．y= C．y=2x D．y=﹣2x2+x﹣7
9．一元二次方程x2+x﹣2=0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根
10．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=50°，则∠BOC的度数为（　　）
A．40° B．50° C．80° D．100°
二．填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
11．不等式2x﹣1＞3的解集是　 　．
12．今年4月20日在雅安市芦山县发生了7.0级的大地震，全川人民众志成城，抗震救灾．某班组织“捐零花钱，献爱心”活动，全班50名学生的捐款情况如图所示，则本次捐款金额的众数是　 　元．

13．如图，∠B=30°，若AB∥CD，CB平分∠ACD，则∠ACD=　 　度．
14．如图，某山坡的坡面AB=200米，坡角∠BAC=30°，则该山坡的高BC的长为　 　米．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分）
15．（12分）（1）计算： （2）解方程组：．






16．（6分）化简．




17．（8分）如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸上，将△ABC绕着点A顺时针旋转90°
（1）画出旋转之后的△AB′C′；（2）求线段AC旋转过程中扫过的扇形的面积．


18．（8分）“中国梦”关乎每个人的幸福生活，为进一步感知我们身边的幸福，展现成都人追梦的风采，我市某校开展了以“梦想中国，逐梦成都”为主题的摄影大赛，要求参赛学生每人交一件作品．现将参赛的50件作品的成绩（单位：分）进行统计如下：
请根据表中提供的信息，解答下列问题：
（1）表中的x的值为　 　，y的值为　 　
等级
成绩（用s表示）
频数
频率
A
90≤s≤100
x
0.08
B
80≤s＜90
35
y
C
s＜80
11
0.22
合 计

50
1
（2）将本次参赛作品获得A等级的学生依次用A1，A2，A3，…表示，现该校决定从本次参赛作品中获得A等级学生中，随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会，请用树状图或列表法求恰好抽到学生A1和A2的概率．












19．（10分）如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数（k为常数，且k≠0）的图象都经过点A（m，2）（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；（2）结合图象直接比较：当x＞0时，y1和y2的大小．




20．（10分）如图，点B在线段AC上，点D、E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．
（1）求证：AC=AD+CE；
（2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q；
（i）当点P与A、B两点不重合时，求的值；
（ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）

　

















四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，）
21．已知点（3，5）在直线y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）上，则的值为　 　．
22．若正整数n使得在计算n+（n+1）+（n+2）的过程中，各数位均不产生进位现象，则称n为“本位数”．例如2和30是“本位数”，而5和91不是“本位数”．现从所有大于0且小于100的“本位数”中，随机抽取一个数，抽到偶数的概率为　 　．
23．若关于t的不等式组，恰有三个整数解，则关于x的一次函数的图象与反比例函数的图象的公共点的个数为　 　．
24．在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx（k为常数）与抛物线y=x2﹣2交于A，B两点，且A点在y轴左侧，P点的坐标为（0，﹣4），连接PA，PB．有以下说法：
①PO2=PA•PB；
②当k＞0时，（PA+AO）（PB﹣BO）的值随k的增大而增大；
③当k=时，BP2=BO•BA；
④△PAB面积的最小值为．
其中正确的是　 　．（写出所有正确说法的序号）
25．如图，A，B，C为⊙O上相邻的三个n等分点，=，点E在上，EF为⊙O的直径，将⊙O沿EF折叠，使点A与A′重合，点B与B′重合，连接EB′，EC，EA′．设EB′=b，EC=c，EA′=p．现探究b，c，p三者的数量关系：发现当n=3时，p=b+c．请继续探究b，c，p三者的数量关系：当n=4时，p=　 　；当n=12时，p=　 　．
（参考数据：sin15°=cos75°=，cos15°=sin75°=）

　
五、解答题（本小题共三个小题，共30分.答案写在答题卡上）
26．（8分）某物体从P点运动到Q点所用时间为7秒，其运动速度v（米每秒）关于时间t（秒）的函数关系如图所示．某学习小组经过探究发现：该物体前进3秒运动的路程在数值上等于矩形AODB的面积．由物理学知识还可知：该物体前t（3＜t≤7）秒运动的路程在数值上等于矩形AODB的面积与梯形BDNM的面积之和．
根据以上信息，完成下列问题：
（1）当3＜t≤7时，用含t的式子表示v；
（2）分别求该物体在0≤t≤3和3＜t≤7时，运动的路程s（米）关于时间t（秒）的函数关系式；并求该物体从P点运动到Q总路程的时所用的时间．

















27．（10分）如图，⊙O的半径r=25，四边形ABCD内接于圆⊙O，AC⊥BD于点H，P为CA延长线上的一点，且∠PDA=∠ABD．
（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若tan∠ADB=，PA=AH，求BD的长；
（3）在（2）的条件下，求四边形ABCD的面积．





















28．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．
（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q．
（i）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；
（ii）取BC的中点N，连接NP，BQ．试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．

　

成都市2013年中考数学试题参考答案
1． B．2． C．3． A．4． D．5． B．6． A．7． B．8． C．　9． A．10． D．
二．填空题11． x＞2．12． 10．13． 60．14． 100．
三、15．解：（1）原式=4++2×﹣2=4；
（2），①+②可得：3x=6，解得：x=2，
将x=2代入①可得：y=﹣1，
故方程组的解为．
　16．解：原式=a（a﹣1）×=a．
17．解：（1）△AB′C′如图所示；
（2）由图可知，AC=2，∴线段AC旋转过程中扫过的扇形的面积==π．

18．解：（1）∵x+35+11=50，∴x=4，或x=50×0.08=4；
y==0.7，或y=1﹣0.08﹣0.22=0.7；
（2）依题得获得A等级的学生有4人，用A1，A2，A3，A4表示，画树状图如下：

由上图可知共有12种结果，且每一种结果可能性都相同，其中抽到学生A1和A2的有两种结果，
所以从本次参赛作品中获得A等级学生中，随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会，恰好抽到学生A1和A2的概率为：P=．
19．解：（1）将A的坐标代入y1=x+1，
得：m+1=2，解得：m=1，故点A坐标为（1，2），
将点A的坐标代入：，
得：2=，解得：k=2，则反比例函数的表达式y2=；
（2）结合函数图象可得：
当0＜x＜1时，y1＜y2；
当x=1时，y1=y2；
当x＞1时，y1＞y2．
20．（1）证明：∵BD⊥BE，∴∠1+∠2=180°﹣90°=90°，
∵∠C=90°，∴∠2+∠E=180°﹣90°=90°，∴∠1=∠E，
∵在△ABD和△CEB中，
，
∴△ABD≌△CEB（AAS），∴AB=CE，∴AC=AB+BC=AD+CE；
（2）（i）如图，过点Q作QF⊥BC于F，
则△BFQ∽△BCE，
∴=，即=，
∴QF=BF，
∵DP⊥PQ，∴∠APD+∠FPQ=180°﹣90°=90°，
∵∠APD+∠ADP=180°﹣90°=90°，∴∠ADP=∠FPQ，
又∵∠A=∠PFQ=90°，∴△ADP∽△FPQ，∴=，
即=，∴5AP﹣AP2+AP•BF=3•BF，
整理得，（AP﹣BF）（AP﹣5）=0，
∵点P与A，B两点不重合，∴AP≠5，∴AP=BF，
由△ADP∽△FPQ得，=，∴=；
（ii）线段DQ的中点所经过的路径（线段）就是△BDQ的中位线MN．
由（2）（i）可知，QF=AP．
当点P运动至AC中点时，AP=4，∴QF=．∴BF=QF×=4．
在Rt△BFQ中，根据勾股定理得：BQ===．
∴MN=BQ=．∴线段DQ的中点所经过的路径（线段）长为．

四、21．﹣．22．．　23． 1或0．24．③④．25． c+b，c+b．
26．解：（1）设直线BC的解析式为v=kt+b，由题意，得
，解得：
用含t的式子表示v为v=2t﹣4；
（2）由题意，得
根据图示知，当0≤t≤3时，S=2t；
当3＜t≤7时，S=6+（2+2t﹣4）（t﹣3）=t2﹣4t+9．
综上所述，S=，
∴P点运动到Q点的路程为：72﹣4×7+9=49﹣28+9=30，
∴30×=21，∴t2﹣4t+9=21，
整理得，t2﹣4t﹣12=0，解得：t1=﹣2（舍去），t2=6．
故该物体从P点运动到Q点总路程的时所用的时间为6秒．

27．解：（1）PD与圆O相切．
理由：如图，连接DO并延长交圆于点E，连接AE，
∵DE是直径，∴∠DAE=90°，∴∠AED+∠ADE=90°，
∵∠PDA=∠ABD=∠AED，∴∠PDA+∠ADE=90°，即PD⊥DO，∴PD与圆O相切于点D；
（2）∵tan∠ADB=∴可设AH=3k，则DH=4k，
∵PA=AH，∴PA=（4﹣3）k，∴PH=4k，∴在Rt△PDH中，tan∠P==，
∴∠P=30°，∠PDH=60°，∵PD⊥DO，∴∠BDE=90°﹣∠PDH=30°，
连接BE，则∠DBE=90°，DE=2r=50，∴BD=DE•cos30°=；
（3）由（2）知，BH=﹣4k，∴HC=（﹣4k），
又∵PD2=PA×PC，∴（8k）2=（4﹣3）k×[4k+（25﹣4k）]，
解得：k=4﹣3，∴AC=3k+（25﹣4k）=24+7，
∴S四边形ABCD=BD•AC=×25×（24+7）=900+．
28．解：（1）∵等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3）
∴点B的坐标为（4，﹣1）．
∵抛物线过A（0，﹣1），B（4，﹣1）两点，
∴，解得：b=2，c=﹣1，∴抛物线的函数表达式为：y=x2+2x﹣1．
（2）方法一：
i）∵A（0，﹣1），C（4，3），
∴直线AC的解析式为：y=x﹣1．
设平移前抛物线的顶点为P0，则由（1）可得P0的坐标为（2，1），且P0在直线AC上．
∵点P在直线AC上滑动，∴可设P的坐标为（m，m﹣1），
则平移后抛物线的函数表达式为：y=（x﹣m）2+m﹣1．
解方程组：，解得，
∴P（m，m﹣1），Q（m﹣2，m﹣3）．
过点P作PE∥x轴，过点Q作QF∥y轴，则
PE=m﹣（m﹣2）=2，QF=（m﹣1）﹣（m﹣3）=2．
∴PQ==AP0．
若以M、P、Q三点为顶点的等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：
①当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为（即为PQ的长）．
由A（0，﹣1），B（4，﹣1），P0（2，1）可知，
△ABP0为等腰直角三角形，且BP0⊥AC，BP0=．
如答图1，过点B作直线l1∥AC，交抛物线y=x2+2x﹣1于点M，则M为符合条件的点．
∴可设直线l1的解析式为：y=x+b1，
∵B（4，﹣1），∴﹣1=4+b1，解得b1=﹣5，
∴直线l1的解析式为：y=x﹣5．
解方程组，得：， ∴M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7）．

②当PQ为斜边时：MP=MQ=2，可求得点M到PQ的距离为．
如答图2，取AB的中点F，则点F的坐标为（2，﹣1）．
由A（0，﹣1），F（2，﹣1），P0（2，1）可知：
△AFP0为等腰直角三角形，且点F到直线AC的距离为．
过点F作直线l2∥AC，交抛物线y=x2+2x﹣1于点M，则M为符合条件的点．
∴可设直线l2的解析式为：y=x+b2，
∵F（2，﹣1），∴﹣1=2+b2，解得b2=﹣3，
∴直线l2的解析式为：y=x﹣3．
解方程组，得：，
∴M3（1+，﹣2+），M4（1﹣，﹣2﹣）．
综上所述，所有符合条件的点M的坐标为：
M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），M3（1+，﹣2+），M4（1﹣，﹣2﹣）．
方法二：
∵A（0，1），C（4，3），∴lAC：y=x﹣1，
∵抛物线顶点P在直线AC上，设P（t，t﹣1），∴抛物线表达式：，
∴lAC与抛物线的交点Q（t﹣2，t﹣3），
∵一M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形，P（t，t﹣1），
①当M为直角顶点时，M（t，t﹣3），，
∴t=1±，∴M1（1+，﹣2），M2（1﹣，﹣2﹣），
②当Q为直角顶点时，点M可视为点P绕点Q顺时针旋转90°而成，
将点Q（t﹣2，t﹣3）平移至原点Q′（0，0），则点P平移后P′（2，2），
将点P′绕原点顺时针旋转90°，则点M′（2，﹣2），
将Q′（0，0）平移至点Q（t﹣2，t﹣3），则点M′平移后即为点M（t，t﹣5），
∴，∴t1=4，t2=﹣2，∴M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），
③当P为直角顶点时，同理可得M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），
综上所述，所有符合条件的点M的坐标为：
M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），M3（1+，﹣2+），M4（1﹣，﹣2﹣）．
ii）存在最大值．理由如下：
由i）知PQ=为定值，则当NP+BQ取最小值时，有最大值．

如答图2，取点B关于AC的对称点B′，易得点B′的坐标为（0，3），BQ=B′Q．
连接QF，FN，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，
∴四边形PQFN为平行四边形．∴NP=FQ．∴NP+BQ=FQ+B′Q≥FB′==．
∴当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为．∴的最大值为=．