辽宁省沈阳市浑南区东北育才学校2022-2023学年高三适应性测试（一)数学试题

东北育才学校2022-2023学年度高考适应性测试（一）

数学试题

满分150分   时间120分钟

一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求）

1．已知集合，则（    ）

A．        B．          C．         D．

2．若复数z满足，其中i为虚数单位，则复数z的虚部是（    ）

A．        B．         C．          D．2

3．已知是单位向量，且，则（    ）

A．2          B．         C．1          D．

4．．已知等比数列的前n项和为，且成等差数列，则（    ）

A．        B．           C．3         D．4

5．2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊破了全球观众，沈阳市某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“惊蛰”、“清明”、“立夏”、“芒种”、“小暑”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有（    ）种．

A．192             B．240            C．120          D．288

6．已知双曲线的左、右顶点分别为A、B，双曲线在第一象限的图象上有一点P，，，则（    ）

A．         B．

C．        D．

7．中国古代的蹴鞠游戏中的“蹴”的含义是脚蹴、踢，“鞠”最早系外面皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，如图所示．已知某“鞠”的表面上有四个点P，A，B，C，满足平面ABC，，若，则该“鞠”的体积的最小值为（    ）

A．        B．          C．         D．

8．设，则（    ）

A．          B．         C．       D．

二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，至少有一个符合要求，部分选对得2分，全部选对得5分，错选不得分）

9．下列命题中，正确的命题是（    ）

A．已知随机变量X服从二项分布，若，则

B．已知，则

C．设随机变量服从正态分布，若，则

D．某人射击10次，击中目标的次数为X，若，则当时概率最大．

10．如图，平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是，则（    ）

A．                         B．

C．四边形的面积为         D．平行六面体的体积为

11．已知函数，给出下列四个命题，其中正确的是（    ）

A．的最小正周期为               B．的图象关于点中心对称

C．在区间上单调递增       D．的值域为

12．如图，抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．

已知抛物线的焦点为F，一束平行于x轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线了上另一点反射，沿直线射出，则下列结论中正确的是（    ）

A．        B．      C．        D．与之间的距离为5

三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分）

13．在的展开式中，各项系数和与二项式系数和的比值为，则二项展开式中的常数项为_________．

14．某大学有智能餐厅A、人工餐厅B，学生甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.7；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8．学生甲第二天去A餐厅用餐的概率为________．

15．如图，在底面半径为1，高为6的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切．一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆．则该椭圆的离心率为__________．

16．若不等式有且仅有一个正整数解，则实数a的取值范围是___________．

四、解答题（本大题共6个小题，17题10分，18题到22题每题12分）

17．在①，②，③这三个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．

记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，已知_______

（1）求A；

（2）若，求a．

18．已知数列满足

（1）求数列的通项公式：

（2）设，数列的前n项和，求证：

19．某超市为了解顾客是否购买某件商品与该商品的摆放位置的相关性，做了下面的试验：在第一个月内，将该商品摆放在收银台附近的位置，随机抽查200名顾客，有40名顾客购买该商品：在第二个月内，将该商品摆放在距离收银台较远的柜架上，随机抽查200名顾客，有20名顾客购买该商品．

（1）填写下面的2×2列联表，是否有99%的把握认为顾客是否购买该商品与摆放在收银台的距离远近有关?

（2）为了进一步调查顾客的购买情况，从两个月内购买该商品的顾客中按分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行电话回访，记抽到的3人中在第二个月内购买该商品的人数为X，求X的分布列和数学期望．

附：

20．已知四边形ABCD为平行四边形，E为CD的中点，，为等边三角形，将三角形ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置，且平面平面ABCE．

（1）求证：；

（2）试判断在线段PB上是否存在点F，使得平面AEF与平面AEP的夹角为，若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由．

21．已知圆与x轴交于点，过圆上一动点M作x轴的垂线，垂足为H，设MH的中点为N，记N的轨迹为曲线C．

（1）求曲线C的方程：

（2）过作与x轴不重合的直线l交曲线C于P，Q两点，直线OQ与曲线C的另一交点为S，设直线AP，AS的斜率分别为．证明：

22．已知函数；

（1）讨论的单调性；

（2）若存在两个极值点，证明：．

数学答案

1-5CDDBA       6-8CCD

9．BCD         10．ABD      11．BD        12．ABD

13．240           14．0.75       15．        16．

17．（1）                 5分

（2）．                      10分

18．（I）          6分（通项公式没有分段扣2分）

（II），∴

时，                  11分

综上所述，               12分

19．解：（1）补充完整的2×2列联表如下：

所以，

故有99%的把握认为顾客购买该商品与摆放在收银台的距离远近有关．             5分

（2）

所以．            12分

20．（1）先证                              2分

再证面APE，所以；                        4分

（2）解：先证平面ABCE和，再建系                6分

设

解得或（舍去），                    11分

所以存在点F，且当点F为线段PB的靠近点P的三等分点时，平面AEF与平面AEP的夹角为，  12分

21．解：（1）曲线C的方程为：                  4分

（2）∴                      12分

22．解：（1）当时，在上是减函数，

当时，在和上是减函数，在上是增函数．                     6分

（2）证明：略                         12分．