河南省部分名校2023-2024学年高三上学期核心模拟数学（一）试卷（含答案）

2024届河南部分名校高三上学期核心模拟

数学（一）试卷

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一,即所谓的“”问题.1966年,我国数学家陈景润证明了“”成立.哥德巴赫猜想的内容是“每一个大于2的偶数都能写成两个质数之和”,则该猜想的否定为（ ）

A.每一个小于2的偶数都不能写成两个质数之和

B.存在一个小于2的偶数不能写成两个质数之和

C.每一个大于2的偶数都不能写成两个质数之和

D.存在一个大于2的偶数不能写成两个质数之和

2.设集合,若,则实数（ ）

A.-2     B-1     C.-1或-2   D.-1或

3.已知函数,则（ ）

A.     B.    C.    D.

4.已知为实数,则“”是“”的（ ）

A.充分不必要条件    B.必要不充分条件

C.充要条件     D.既不充分也不必要条件

5.若暴函数在上单调递减,则（ ）

A.2    B.    C.    D.-2

6.某同学解关于的不等式时,因弄错了常数的符号,解得其解集为,则不等式的解集为（ ）

A.     B.   

C.      D.

7.现设计一个两邻边的长度分别为的矩形广告牌,其面积为,且,则当该广告牌的周长最小时,（ ）

A.3     B.4     C.5     D.6

8.已知实数满足,则（ ）

A.      B.

C.      D.

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。

9.已知函数在土单调递增,函数在上单调递增,在上单调递减,则（ ）

A.函数在上单调递增

B.函数在上单调递增

C.函数在上单调递减

D.函数在上单调递减

10.已知实数满足,则下列不等式正确的是（ ）

A.   B.   C.   D.

11.若物体原来的温度为(单位:),环境温度为(单位:),物体的温度冷却到,单位:)与需用时间 (单位:分钟)满足为正常数.现有一杯开水放在室温为的房间里,根据函数关系研究这杯开水冷却的情况(,则（ ）

A.当时,经过10分钟,这杯水的温度大约为

B.当时,这杯开水冷却到大约需要14分钟

C.若,则

D.这杯水从冷却到所需时间比从冷却到所需时间短

12.已知函数且,则（ ）

A.当时,的最大值为

B.函数恒有1个极值点

C.若曲线有两条过原点的切线,则

D.若有两个零点,则

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

13.已知狄利克雷函数黎曼函数则_________.

14.已知集合有15个真子集,则的一个值为_________.

15.已知函数对定义域内的任意实数满足,则_________.

16.已知函数是定义在上的偶函数,若函数的图象与的图象交点的横坐标从小到大依次为,则_________.

四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分10分)

设集合.

(1)求;

(2)从下面(1)(2)中选择一个作为已知条件,求实数的取值范围.

①;②；③.

注:如果选释多个条件分别解答,按第一个解答计分.

18.(本小题满分12分)

已知对任意实数恒成立.

(1)求实数的取值所构成的集合;

(2)在(1)的条件下,设函数在上的值域为集合,若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.

19.(本小题满分12分)

某乡镇全面实施乡村振兴战略,大力推广“毛线玩具”加工产业.某生产合作社组建加工毛线玩具的分厂,需要每年投人固定成本10万元,每加工万件玩具,需要流动成本万元.当年加工量不足15万件时,;当年加工量不低于15万件时,.通过市场分析,加工后的玩具以每伴20光的价格,全部由总厂收购.

(1)求年利润关于年加工量的解析式;(年利润年销售收人一流动成本一年固定成本)

(2)当年加工量为多少万件时,该合作社的年利润最大?最大年利润是多少?(参考数据:)).

20.(本小题满分12分)

已知函数对任意实数恒有成立,且当时,.

(1)求的值;

(2)判断的单调性,并证明;

(3)解关于的不等式:.

21.(本小题满分12分)

已知函数为上的偶函数,为上的奇函数,且,记.

(1)求的最小值;

(2)解关于的不等式;

(3)设,若的图象与的图象有2个交点,求的取值范围.

22.(本小题满分12分)

已知函数.

(1)当时,求的单调区间;

(2)若,当时,证明:.

参考答案

1.D全称量词命题的否定为存在量词命题,A,C错误;哥德巴赫猜想的否定为“存在一个大于2的偶数不能写成两个质数之和”.故选D.

2.A由,得,或,或,解得,但

不满足集合中元素的互异性,符合,所以.故选A.

3.D由题意知,所以,解得.故选D.

4.B.由可以推出,但推不出,故“”是“1”的必要不充分条件.故选B.

5.C由幂函数的定义可知,,即,解得或.当时,,在上单调递增,不合题意;当时,,在上单调递减,符合题意,故.故选C.

6.C由题意可知,且,所以,所以化为,解得.故选C.

7.A由题意可知,且,所以,则该矩形的周长为,当且仅当,即时,取得等号,此时.故选A.8.B设,易知在上单调递增,又,所以;设,易知在上单调递减,又,所以,因为,所以.综上可知,.故选B.

9.因为在上单调递增,所以在上单调递增,故正确;因为在上单调递增,在上单调递增,所以在上单调递增,故B正确;因为在上单调递增,所以在上单调递减,因为是否在上无法判断,所以在上的单调性无法判断,故错误;因为在上单调递减,在上单调递减,因是否在上无法判断,所以在上的单调性无法判断,故D错误.故选.

10.由知,所以,即,所以,故A,B均正确;,当且仅当,即时等号成立,因为,所以1,故C正确;由,得,所以,故D错误.故选.

11.对于,由,得,所以,整理,得,故错误;对于,故B正确;对于C,由,得,即,则,故正确;设这杯水从冷却到所需时间为分钟,则,设这杯水从冷却到所需时间为分钟,则,因为,所以,故D正确.故选BCD.

12.易知的定义域为.当时,由,得当时,,当时,,所以在上单调递增,在上单调递减,所以,故A正确;,当时,,又,故,此时在定义域上单调递减,无极值,故B错误;设切点为,则,所以曲线在处的切线方程为,将代人切线方程,得,所以,即,显然,所以,设且,则,易得当时,,当时,,所以在和上单调递增,在上单调递减,又时,,时,,且的极大值为,且.由题意可知,函数的图象与直线有两个不同的交点,则,所以,所以,故C正确;要使有两个零点,则方程有两个解,即方程有两个解,所以方程有两个解,设,则,

当,时,,当时,,所以在上单调递增,在上单调递减,且的极大值为,又,当时,,当时,,所以要使函数的图象与直线有两个公共点,必有,解得,故正确.故选ACD.

13.1因为为上的无理数,所以,所以.

14.6(或8,或10)由题意可知,集合含有4个元素,有4个因数,除1和它本身外,还有2个因数.所以的值可以为,故的一个值为6(或8,或10).

15.由,得,即(1)将换为,得,由(1),得,故.

16.-2023函数是定义在上的偶函数,所以,所以,则,所以是奇函数,故的图象关于点对称.

,易知的定义域为,令,因为,所以为奇函数,即为奇函数,则的图象关于点对称,故的图象与的图象的交点关于点对称,所以,所以.

17.解:(1)由,得,或,

又,

所以,或.

(2)因为的两根分别为,

选择(1),由(1)得,(,故.

当,即时,,满足题意;

当,即时,,

由,得,解得,所以;

当,即时,,不满足.

综上可知,实数的取值范围为.

选择(2),由(1)得,,故,

当,即时,,满足题意;

当,即时,,

由,得,解得,所以;

当,即时,,

由,得,解得,所以.

综上可知,实数的取值范围为.

选择(3),由(1)得,

当,即时,,满足题意;

当,即时,,此时成立,满足题意,所以;

当,即时,,显然不满足.

综上可知,实数的取值范围为.

18.解:(1)由题意知对恒成立,

当时,原不等式变为,符合题意;

当时,对恒成立的充要条件为

解得.

综上可知,实数的取值所构成的集合.

(2),所以,

由是的充分不必要条件,得,

所以解得,

经检验知满足题意,故实数的取值范围为.

19.解:(1)当时,,

当时,.

所以

(2)当时,,所以在上单调递增,

所以,

当时,,

当且仅当,即时取得等号.

因为,所以当年加工量为18万件时,该合作社获得的年利润最大,且最大年利润为156万元.

20.解:(1)令,则,所以.

(2)为上的减函数.

证明:令,则,所以,故为奇函数.

任取,且,则,所以,

所以

,

所以,故是上的减函数.

(3)由题意得,

由(2)知在上单调递减,

所以,即,

所以.

当时,原不等式的解集为;

当时,原不等式的解集为;

当时,原不等式的解集为.

21.解:(1)由题意知,,

由,得,即,

两式相加,得,所以.

因为,当且仅当,即时等号成立,所以.

(2)因为,所以为偶函数,

因为,

所以当时,,当时,,

所以在上单调递增,在上单调递减,

所以在上单调递增,在上单调递减.

由,得,

两边平方并整理得,解得,

故不等式的解集为.

(3)由题意知,方程有2个不同的实数解,

即方程有2个不同的实数解.

设,则,即有2个不同的正根.

则,解得,故的取值范围为.

,

22.(1)解:的定义域为,

当时,,

所以,

当时,,当时,,

所以的单调递增区间为,单调递减区间为.

(2)证明:由,得,

所以,

则,

要证,只需证,

即证,需证.

令,设,则,

设,则,

所以在上单调递增,则,

所以,所以在上单调递增,

由,得,

所以,所以需证,即证.

令,则,即证,设,

则,

所以在上单调递减,则,

所以,即成立,故.