广东省肇庆市封开县广信中学2023-2024学年高一上学期入学测试数学试题（含答案）

2023-2024学年广东省肇庆市封开县高一（上）入学数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共10小题，共50.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在六张卡片上分别写有，，，，，六个数卡片除了数字不同，其他均相同，从中随机抽取一张，卡片上的数为有理数的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果运用所学知识解决以下问题：已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简这道题体现的数学思想是(    )

A. 函数思想 B. 方程思想 C. 数形结合思想 D. 统计思想

3.  已知，，，，则、、的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  按一定规律得到的单项式；，，，，，，按照上述规律，第个单项式为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  已知二元一次方程组，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  把抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到的抛物线解析式为(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，二次函数的图象与轴交于和原点，且顶点在第二象限下列说法正确的是(    )

A.
B. 当时，的值随值的增大而减小
C.
D. 函数值有最小值
 

9.  若点在函数的图象上，则以下哪个点一定在这个函数的图象上(    )

A.  B.  C.  D.

10.  当时，二次函数恰好有最大值，则值是(    )

A.  B. 和 C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

11.  实数，在数轴上对应点的位置如图所示，且，则化简的结果为______ ．

12.  若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______ ．

13.  已知等腰三角形的两边长满足，那么这个等腰三角形的周长为______ ．

14.  已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为______ ．

15.  多项式的最小值为______ ．

16.  若关于的方程有实数根，则的取值范围是______ ．

三、解答题（本大题共4小题，共40.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
．
．

18.  本小题分
解方程
；
；
解方程：．

19.  本小题分
已知与互为相反数．
求，的值．
解关于的方程：．

20.  本小题分
已知抛物线，直线与轴交于点，与轴交于点．
求、的坐标；
若抛物线与轴交于、两点，且抛物线的顶点落在直线上，求的面积；
若线段与抛物线有且只有一个公共点，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：六张卡片中是有理数为，，，，
所以有理数有个，
所以抽到有理数的概率为．
故选：．
利用古典概型的概率公式求解．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．

2.【答案】 

【解析】解：对于，函数思想，在于运用函数来解决问题，
本题不存在函数问题，故此选项不符合题意，A错误；
对于，方程思想，在于建立方程来解决问题，
本题不存在方程问题，故此选项不符合题意，B错误；
对于，数形结合思想，数轴来判断，的正负，
体现的数学思想是数形结合，故此选项符合题意，C正确；
对于，统计思想，本题不存在统计相关的问题，故此选项不符合题意．
故选：．
题中结合数轴对代数进行分析，属于数形结合思想．
本题主要考查数学中常见思想的概念，属基础题．

3.【答案】 

【解析】解：，
同理可得：，，
，
，
，
故选：．
利用指数的运算性质化成指数相同，再利用幂函数的单调性即可比较出大小关系．
本题考查了指数的运算性质、幂函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

4.【答案】 

【解析】解：观察各个单项式可知，系数是连续的奇数：，，，，，，
所以第个单项式的系数为，
字母部分是的乘方，的指数是连续的正整数：，，，，，，
所以第个单项式的字母部分是，
故按照上述规律，第个单项式是．
故选：．
分别归纳出系数和字母部分的规律即可．
本题主要考查了归纳推理，属于基础题．

5.【答案】 

【解析】解：对于，，故A错误；
对于，，故B错误；
对于，与不是同类项，不能合并，故C错误；
对于，，故D正确．
故选：．
利用有理数指数幂的运算性质求解．
本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，属于基础题．

6.【答案】 

【解析】解：，由，得：，
解得．
故选：．
直接利用方程组的解法求出结果．
本题考查的知识要点：方程组的解法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．

7.【答案】 

【解析】解：将抛物线向下平移个单位长度，
得到抛物线为，
再向左平移个单位长度，
所得到的抛物线为．
故选：．
根据函数图象的变换规律即可得所求解析式．
本题考查函数图象的变换规律，属于基础题．

8.【答案】 

【解析】解：抛物线的开口方向下，，A错误；
二次函数的图象与轴交于和原点，对称轴，
因为顶点在第二象限，
当时，的值随值的增大而减小，故B正确；
的图象与轴有两个交点，，故C不正确；
，对称轴，
时，函数值有最大值，故D不正确．
故选：．
由已知结合二次函数的性质检验各选项即可判断．
本题主要考查了二次函数性质的简单应用，属于基础题．

9.【答案】 

【解析】解：点在函数的图象上，，
项中，，项中，，
项中，，项中，，
点一定在这个函数的图象上．
故选：．
哪个点的横坐标与纵坐标之积为，这个点就在反比例函数图象上．
本题考查反比例的性质，属于基础题．

10.【答案】 

【解析】解：由题意得抛物线开口向下，且顶点坐标是，
当时，随的增大而增大，
当时，二次函数恰好有最大值，且，
即，解得 ，舍去．
故选：．
由已知结合二次函数的性质即可求解．
本题主要考查考查了二次函数性质的应用，属于基础题．

11.【答案】 

【解析】解： 且，
，，
．
故答案为：．
根据，的大小，去绝对值，化简结果即可．
本题考查了指数幂和根式的化简，是基础题．

12.【答案】 

【解析】解：关于的方程有两个不相等的实数根，
，
解得．
故答案为：．
由题意可得，它的判别式大于零，由此求得的取值范围．
本题主要考查一元二次方程的根与的关系，属于基础题．

13.【答案】 

【解析】解：，解得，，
当腰长为，底边为时：，，满足三角形三边条件，符合题意，
当腰长为，底边为时：，不满足三角形三边条件，不符合题意，
综上所述，等腰三角形的周长为．
故答案为：．
根据已知条件，先求出，，再分类讨论，即可求解．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于基础题．

14.【答案】 

【解析】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，
，，
，．
故答案为：．
由题意，利用韦达定理求得的值．
本题主要考查韦达定理的应用，属于基础题．

15.【答案】 

【解析】解：，
，，
，
当且仅当时，等号成立，
故多项式的最小值为．
故答案为：．
利用配方法即可求解最小值．
本题主要考查函数最值的求法，考查运算求解能力，属于基础题．

16.【答案】 

【解析】解：依题意得：
当时，即，方程为：，是一元一次方程，有实根，
当时，根据一元二次方程有实数根，
可得它的判别式，解得．
综合可得：且．
综合可得，的取值范围是．
故答案为：．
分类讨论的系数，根据一次函数、二次函数的性质，求出的取值范围．
本题主要考查一次函数、二次函数的性质，属于基础题．

17.【答案】解：原式；
原式． 

【解析】由已知结合特殊角的三角函数值即可求解．
本题主要考查了特殊角的三角函数值的求解，属于基础题．

18.【答案】解：原方程可化为：，即或，解得：，；
原方程可化为：，即或，解得：，；
原方程可化为：，即，解得：，
检验：当时，有，原方程无意义，故不是原分式方程的解，原分式方程无解． 

【解析】根据一元二次方程的解法求解方程即可．
本题考查一元二次方程的解法，属基础题．

19.【答案】解：因为与互为相反数，
所以，又因为，
所以且，解得，；
由得，，所以原方程即为，
即，整理得，即，
解得． 

【解析】由相反数的概念得到方程，根据式子的范围确定，的值；
将，的值代入整理得到一元二次方程，用配方法可求解．
本题考查相反数的概念，一元二次方程的解法，属基础题．

20.【答案】解：已知直线与轴交于点，与轴交于点，
令，
解得，
所以，
令，
解得，
所以；
若抛物线与轴交于、两点，
因为，
所以抛物线的顶点的坐标为，
又抛物线的顶点落在直线上，
将代入直线中，
解得，
所以抛物线的方程为，点，
令，
解得或，
所以，
则；
由知，，
又线段为，
联立，消去并整理得，
当时，
即时，抛物线与线段只有个公共点，
又，
因为抛物线的对称轴为，
在中，当，，
易知当时，抛物线对称轴的左边与线段有一个交点，
解得或，
此时抛物线与线段只有个公共点，
综上，的取值范围为 

【解析】由题意，分别将，代入直线的方程中即可求出、的坐标；
先得到抛物线的顶点坐标，将该点代入直线中求出，进而得到的值，代入三角形面积公式中即可求解；
将线段与抛物线方程联立，根据根的判别式得到的取值范围；结合抛物线的对称轴为，可得当时，抛物线对称轴的左边与线段有一个交点，进而可得的取值范围．
本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力．