福建省莆田市城厢区砺志学校2023-2024学年八年级上学期返校考数学试卷（含解析）

这是一份福建省莆田市城厢区砺志学校2023-2024学年八年级上学期返校考数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
莆田市城厢区砺志学校2023-2024学年八年级上学期返校考
数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）下列长度的三条线段，能构成三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．1，2，5 C．2，2，4 D．2，3，4
2．（4分）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃（　　）

A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去
3．（4分）下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．（4分）如图，两个三角形是全等三角形，那么x的值是（　　）

A．30° B．45° C．50° D．85°
5．（4分）用尺规作图作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明∠A′OB′＝∠AOB依据是（　　）

A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS
6．（4分）如图所示，AB＝AC，要说明△ADC≌△AEB（　　）

A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．∠ADC＝∠AEB D．DC＝BE
7．（4分）将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（　　）

A．75° B．95° C．105° D．125°
8．（4分）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（　　）
A．12 B．15 C．12或15 D．18
9．（4分）如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果为（　　）

A．90° B．180° C．360° D．无法确定
10．（4分）如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线……，若∠A＝α，则∠A2022为（　　）°．

A． B． C． D．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）如图所示，王师傅做完门框为防止变形，在门上钉上AB、CD两条斜拉的木条　 　．

12．（4分）纸片△ABC中，∠C＝40°，将纸片的一角折叠（如图），若∠1＝20°，则∠2的度数为 　 　．

13．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝65°　 　°．

14．（4分）如图，D、E在边AB上，∠A，∠2的大小关系是 　 　．

15．（4分）如图，BD是△ABC边AC的中线，点E在BC上EC，△ABD的面积是3　 　cm2．

16．（4分）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°　 　．
三、解答题（共86分）
17．（6分）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
18．（8分）已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|a+c﹣b|﹣|a+b+c|+|2b+c|．
19．（8分）如图在△ABC中，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，证明：∠BOC＝90°+

20．（8分）如图，BA＝BE，BC＝BD
求证：∠C＝∠D．

21．（8分）如图，CE⊥AD，垂足为E

22．（10分）如图，△ABC中，∠B＞∠A，CE平分∠ACB，证明：∠DCE＝（∠B﹣∠A）．

23．（12分）如图，在三角形ABC中，AD为中线，AC＝2，AD为整数

24．（12分）如图1，像我们常见的学习用品——圆规，我们把这样图形叫做“规形图”．

（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块直角三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，则∠ABX+∠ACX＝　 　°；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，∠DBE＝β，请用含α和β的式子表示∠DCE的度数．
25．（14分）我们定义：
在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为105°，15°的三角形是“和谐三角形”．

【概念理解】
如图1，∠MON＝60°，点A在边OM上，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O，B重合）
（1）∠ABO的度数为 　 　，△AOB　 　（填“是”或“不是”）“和谐三角形”；
（2）若∠ACB＝84°，试说明：△AOC是“和谐三角形”．
【应用拓展】
如图2，点D在△ABC的边AB上，连结DC，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，请直接写出∠B的度数．



答案解析
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）下列长度的三条线段，能构成三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．1，2，5 C．2，2，4 D．2，3，4
【分析】根据三角形的三边关系计算，判断即可．
【解答】解：A、∵1+2＝6，
∴不能构成三角形，本选项不符合题意；
B、∵1+2＜7，
∴不能构成三角形，本选项不符合题意；
C、∵2+2＝7，
∴不能构成三角形，本选项不符合题意；
D、∵3﹣2＜5＜3+2，
∴长度为3，3，4的三条线段能构成三角形．
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
2．（4分）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃（　　）

A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去
【分析】此题可以采用全等三角形的判定方法以及排除法进行分析，从而确定最后的答案．
【解答】解：A、带①去，不能得到与原来一样的三角形；
B、带②去，也是不能得到与原来一样的三角形；
C、带③去，符合ASA判定；
D、带①和②去，同样不能得到与原来一样的三角形．
故选：C．
【点评】主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．
3．（4分）下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【解答】解：A、线段BD是△ABC的高，符合题意；
B、线段BD不是△ABC的高，不符合题意；
C、线段BD不是△ABC的高，不符合题意；
D、线段BD不是△ABC的高，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
4．（4分）如图，两个三角形是全等三角形，那么x的值是（　　）

A．30° B．45° C．50° D．85°
【分析】根据三角形内角和定理、全等三角形的性质解答．
【解答】解：180°﹣85°﹣45°＝50°，
∵两个三角形是全等三角形，
∴x＝50°，
故选：C．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
5．（4分）用尺规作图作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明∠A′OB′＝∠AOB依据是（　　）

A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS
【分析】利用基本作图得到OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，则根据全等三角形的判定方法可根据“SSS”可判断△OCD≌△O′C′D′，然后根据全等三角形的性质得到∠A′OB′＝∠AOB
【解答】解：由作法可得OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，
所以根据“SSS”可判断△OCD≌△O′C′D′，
所以∠A′OB′＝∠AOB．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
6．（4分）如图所示，AB＝AC，要说明△ADC≌△AEB（　　）

A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．∠ADC＝∠AEB D．DC＝BE
【分析】△ADC和△AEB中，已知的条件有AB＝AC，∠A＝∠A；要判定两三角形全等只需条件：一组对应角相等，或AD＝AE即可．可据此进行判断，两边及一边的对角相等是不能判定两个三角形全等的．
【解答】解：A、当∠B＝∠C时，故A正确；
B、当AD＝AE时，故B正确；
C、当∠ADC＝∠AEB时，故C正确；
D、当DC＝BE时，不能判定两个三角形全等；
故选：D．
【点评】本题主要考查的是全等三角形的判定方法，需注意的是SSA和AAA不能作为判定两个三角形全等的依据．
7．（4分）将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（　　）

A．75° B．95° C．105° D．125°
【分析】由题意可得∠ABC＝90°，从而可求得∠ABD＝45°，再利用三角形的外角性质即可求解．
【解答】解：如图，

∵∠ABC＝90°，∠CBD＝45°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝45°，
∴∠α＝45°+60°＝105°．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
8．（4分）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（　　）
A．12 B．15 C．12或15 D．18
【分析】因为已知长度为3和6两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
【解答】解：①当3为底时，其它两边都为6，
6、6、6可以构成三角形，
周长为15；
②当6为腰时，
其它两边为3和6，
∵3+3＝6＝5，
∴不能构成三角形，故舍去，
∴答案只有15．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
9．（4分）如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果为（　　）

A．90° B．180° C．360° D．无法确定
【分析】根据三角形内角与外角的关系可得∠A+∠B＝∠2，∠D+∠E＝∠1，再根据三角形内角和定理可得∠1+∠2+∠C＝180°，进而可得答案．
【解答】解：延长BE交AC于F，
∵∠A+∠B＝∠2，∠D+∠E＝∠1，
∠8+∠2+∠C＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，
故选：B．

【点评】此题主要考查了三角形的内角与外角的关系，以及三角形内角和定理，关键是掌握三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
10．（4分）如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线……，若∠A＝α，则∠A2022为（　　）°．

A． B． C． D．
【分析】根据角平分线定义得出∠ABA1＝∠CBA1＝ABC，∠ACA1＝∠DCA1＝∠ACD，根据三角形外角性质得出∠ACD＝∠ABC+∠A＝2∠CBA1+∠A①，∠DCA1＝∠A1+∠CBA1②，②×2得长2∠DCA1＝2∠A1+2∠CBA1，求出∠ACD＝2∠A1+2∠CBA1③，由①和③得出2∠A1＝∠A，求出∠A1＝A＝，同理得出∠A2＝A1＝α，∠A3＝∠A2＝α，再根据求出的规律得出答案即可．
【解答】解：∵BA1平分∠ABC，CA1平分∠ACD，
∴∠ABA7＝∠CBA1＝ABC1＝∠DCA1＝∠ACD，
∵∠A＝α，
∴∠ACD＝∠ABC+∠A＝2∠CBA2+∠A①，∠DCA1＝∠A1+∠CBA5②，
②×2得：2∠DCA7＝2∠A1+2∠CBA1，
∴∠ACD＝2∠A5+2∠CBA1③，
由①和③得：3∠A1＝∠A，
∵∠A＝α，
∴∠A1＝A＝，
同理∠A2＝A1＝∠A＝α，
∠A3＝∠A2＝∠A＝α，
•••
∴∠A2022＝α＝，
故选：B．
【点评】本题考查了图形的变化类，三角形的外角性质和角平分线定义等知识点，能根据求出的结果得出规律∠An＝∠A是解此题的关键．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）如图所示，王师傅做完门框为防止变形，在门上钉上AB、CD两条斜拉的木条　三角形的稳定性　．

【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．
【解答】解：王师傅这样做是运用了三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
12．（4分）纸片△ABC中，∠C＝40°，将纸片的一角折叠（如图），若∠1＝20°，则∠2的度数为 　60°　．

【分析】根据∠C＝40°，再由∠1＝20°可求出∠CED的度数，由三角形内角和定理及平角的性质即可求解．
【解答】解：由折叠可得∠ACED＝∠C′ED，∠CDE＝∠C′DE，
∵∠1＝20°，∠C＝40°，

∴∠CED＝＝80°，
在△CDE中，
∠CDE＝180°﹣∠C﹣∠CED＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
∴∠2＝180°﹣2∠CDE＝180°﹣6×60°＝60°，
故答案为60°．
【点评】本题考查折叠问题，掌握折叠的性质，三角形内角和定理及平角的性质是解答此题的关键．
13．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝65°　245　°．

【分析】根据三角形内角和为180度可得∠B+∠C的度数，然后再根据四边形内角和为360°可得∠1+∠2的度数．
【解答】解：∵△ABC中，∠A＝65°，
∴∠B+∠C＝180°﹣65°＝115°，
∵∠B+∠C+∠1+∠2＝360°，
∴∠3+∠2＝360°﹣115°＝245°，
故答案为：245．
【点评】此题主要考查了三角形内角和，关键是掌握三角形内角和为180°．
14．（4分）如图，D、E在边AB上，∠A，∠2的大小关系是 　∠2＞∠1＞∠A　．

【分析】根据三角形的外角性质，即可解答．
【解答】解：∵∠2是△DEC的一个外角，
∴∠2＞∠3，
∵∠1是△ADC的一个外角，
∴∠1＞∠A，
∴∠4＞∠1＞∠A，
故答案为：∠2＞∠6＞∠A．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题的关键．
15．（4分）如图，BD是△ABC边AC的中线，点E在BC上EC，△ABD的面积是3　1　cm2．

【分析】利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，由此利用已知条件可以分别求出S△BDC、S△BED．
【解答】解：∵BD是△ABC边AC的中线，△ABD的面积是3，
∴S△BDC＝S△ABD＝3，
∵BE＝EC，
∴S△BED＝S△DBC＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了三角形面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
16．（4分）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°　30°　．
【分析】根据已知一个内角α是另一个内角β的两倍得出β的度数，进而求出最小内角即可．
【解答】解：由题意得：α＝2β，α＝100°，
180°﹣100°﹣50°＝30°，
故答案为：30°．
【点评】此题主要考查了新定义以及三角形的内角和定理，根据已知得出β的度数是解题关键．
三、解答题（共86分）
17．（6分）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
【分析】多边形的外角和是360度，根据多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，即可得到多边形的内角和的度数．根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数．
【解答】解：设这个多边形的边数是n，
依题意得（n﹣2）×180°＝3×360°﹣180°，
n﹣4＝6﹣1，
n＝5．
∴这个多边形的边数是7．
【点评】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关．
18．（8分）已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|a+c﹣b|﹣|a+b+c|+|2b+c|．
【分析】三角形两边之和大于第三边，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，由此即可求解．
【解答】解：∵a，b，c是三角形的三边长，
∴a+c＞b，
|a+c﹣b|﹣|a+b+c|+|2b+c|
＝a+c﹣b﹣（a+b+c）+2b+c
a+c﹣b﹣a﹣b﹣c+3b+c
＝c．
【点评】本题考查三角形三边关系，绝对值，关键是掌握三角形三边关系定理，绝对值的意义．
19．（8分）如图在△ABC中，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，证明：∠BOC＝90°+

【分析】根据角平分线的定义可得∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，然后表示出∠OBC+∠OCB，再根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得证．
【解答】证明：∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠ABC∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB），
在△OBC中，
∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝90°+∠A，
即：∠BOC＝90°+∠A．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，注意角的转换．
20．（8分）如图，BA＝BE，BC＝BD
求证：∠C＝∠D．

【分析】结合图形根据角之间的和差关系由∠ABD＝∠EBC推出∠ABC＝∠EBD，从而利用全等三角形的判定定理推出△ABC≌△EBD，进而根据全等三角形的性质证明即可．
【解答】证明：∵∠ABD＝∠EBC，
∴∠ABD﹣∠CBD＝∠EBC﹣∠CBD，即∠ABC＝∠EBD，
在△ABC和△EBD中，
，
∴△ABC≌△EBD（SAS），
∴∠C＝∠D．
【点评】本题考查全等三角形的判定定理及性质，应熟练掌握全等三角形的判定定理及其相关性质，注意运用数形结合的思想方法，从图形中寻找等量关系．
21．（8分）如图，CE⊥AD，垂足为E

【分析】先根据直角三角形两锐角互余可得∠C+∠D＝90°；再求出∠A+∠D＝90°，进而得到∠ABD＝90°，再判定即可．
【解答】证明：∵CE⊥AD，
∴∠CED＝90°，
∴∠C+∠D＝90°，
∵∠A＝∠C，
∴∠A+∠D＝90°，
∴∠ABD＝90°，
∴△ABD是直角三角形．
【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，垂直的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键．
22．（10分）如图，△ABC中，∠B＞∠A，CE平分∠ACB，证明：∠DCE＝（∠B﹣∠A）．

【分析】根据题意和图形，可以写出∠DCE，∠A，∠B之间的等量关系，然后再写出推导过程即可．
【解答】证明：∵∠ACB+∠A+∠B＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE＝（180°﹣∠A﹣∠B），
∵CD⊥AB，
∴∠BCD＝90°﹣∠B，
∴∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD＝（180°﹣∠A﹣∠B）﹣（90°﹣∠B）＝90°﹣∠B﹣90°+∠B＝，
即∠DCE＝（∠B﹣∠A）．
【点评】此题考查了三角形内角和定理，熟记三角形内角和定理是解题的关键．
23．（12分）如图，在三角形ABC中，AD为中线，AC＝2，AD为整数

【分析】延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，推出AC＝BE＝2，在△ABE中，根据三角形三边关系定理得出AB﹣BE＜AE＜AB+BE，代入求出即可．
【解答】解：延长AD到E，使AD＝DE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC＝BE＝2，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴4﹣8＜2AD＜4+7，
∴1＜AD＜3，
∵AD是整数，
∴AD＝6，

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理的应用，主要考查学生的推理能力．
24．（12分）如图1，像我们常见的学习用品——圆规，我们把这样图形叫做“规形图”．

（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块直角三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，则∠ABX+∠ACX＝　36　°；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，∠DBE＝β，请用含α和β的式子表示∠DCE的度数．
【分析】（1）连接AD并延长，用两次外角定理即可．
（2）①依据（1）中的结论即可解决问题．
②依据（1）中的结论，结合整体思想即可解决问题．
【解答】解：（1）∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C．
连接AD并延长到点E，

∵∠BDE是△ABD的外角，
∴∠BDE＝∠B+∠BAD．
同理，∠CDE＝∠C+∠CAD，
则∠BDE+∠CDE＝∠BAD+∠CAD+∠B+∠C．
又∠BDE+∠CDE＝∠BDC，∠BAD+∠CAD＝∠BAC，
∴∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C．
（2）①由（1）中的结论可知，
∠X＝∠ABX+∠A+∠ACX．
又∠A＝54°，∠X＝90°，
∴∠ABX+∠ACX＝36°．
故答案为：36．
②由（1）中的结论可知，
∠DBE＝∠CDB+∠DCE+∠CEB，
则∠CDB+∠CEB＝∠DBE﹣∠DCE．
又DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，
∴∠ADC＝∠CDB，∠AEC＝∠CEB．
则∠ADC+∠AEC＝∠CDB+∠CEB．
又∠DCE＝∠ADC+∠DEA+∠AEC，
∴∠DCE＝∠DBE﹣∠DCE+∠DAE．
即∠DCE＝．
又∠DAE＝α，∠DBE＝β，
所以∠DCE＝．
【点评】本题考查三角形内角和定理，巧妙的利用三角形和外角定理及整体思想是解题的关键．
25．（14分）我们定义：
在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为105°，15°的三角形是“和谐三角形”．

【概念理解】
如图1，∠MON＝60°，点A在边OM上，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O，B重合）
（1）∠ABO的度数为 　30°　，△AOB　不是　（填“是”或“不是”）“和谐三角形”；
（2）若∠ACB＝84°，试说明：△AOC是“和谐三角形”．
【应用拓展】
如图2，点D在△ABC的边AB上，连结DC，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，请直接写出∠B的度数．

【分析】（1）根据AB⊥OM，得到∠OAB＝90°，求得∠ABO＝90°﹣∠MON＝30°，得到∠OAB＝3∠ABO，所以△AOB不是“和谐三角形”；
（2）因为∠ACB是△AOC的一个外角，得到∠ACB＝∠O+∠OAC，求出∠OAC＝24°，∠ACO＝96°，所以∠ACO＝4∠OAC，所以得到△AOC是“和谐三角形”；
（3）由∠EFC+∠BDC＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°，得到∠EFC＝∠ADC，可以证明AD//EF，得到∠DEF＝∠ADE，而∠DEF＝∠B，得到∠B＝∠ADE，由DE//BC，得到∠CDE＝∠BCD，根据△BCD是“和谐三角形”，即可求解．
【解答】解：（1）∵AB⊥OM，
∴∠OAB＝90°，
∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝30°，
∴∠OAB＝3∠ABO，
∴△AOB不是“和谐三角形”；
故答案为：30°，不是；
（2）∵∠ACB是△AOC的一个外角，
∴∠ACB＝∠O+∠OAC，
又∠O＝60°，∠ACB＝84°
∴∠OAC＝24°，
∠ACO＝180°﹣84°＝96°，
∴∠ACO＝4∠OAC，
∴△AOC是“和谐三角形”；
（3）∵∠EFC+∠BDC＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°，
∴∠EFC＝∠ADC，
∴AD//EF，
∴∠DEF＝∠ADE，
而∠DEF＝∠B，
∴∠B＝∠ADE，
∵DE//BC，
∴∠CDE＝∠BCD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠B＝∠BCD，
∵△BCD是“和谐三角形”，
∴∠BDC＝4∠B或者∠B＝4∠BDC
∵∠BDC+∠BCD+∠B＝180°
∴∠B＝30°或者∠B＝80°．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，以及平行线的性质，理解和谐三角形的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．