四川省眉山市东坡区眉山北外附属东坡外国语学校2023-2024学年高三上学期开学数学试题（含答案）

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眉山市北外东坡高2024届高三上学期入学考试数学参考答案（理科）一、选择题题号123456789101112答案DCCCBABCACCA二、填空题13．2      14．1120      15．3    16．三、解答题17.解：（1）数列的前项和为,,①,当时,,②,①②得：,所以,………………………………………………………………4分又,故．……………………………………………………………………………………………6分（2）由于,所以,故,由于,,成等比数列,所以,解得或（负值舍去）,………………………………………………………………………9分,所以．………………12分18．解：（1）设至少回答对一个问题为事件,则.…………………3分（2）这位挑战者回答这三个问题的总得分的所有可能取值为.………4分根据题意,,        ,,       ,,        .随机变量的分布列是:……………10分（3）设这位挑战者闯关成功为事件,则.………………………12分19．解：（1）证明：取中点,连接,,,四边形为菱形,.又,为等边三角形.又为中点,.,为中点,.平面,,平面.又平面,.…………………………………………………………………………………………6分（2）由及（1）易得均是边长为2的正三角形,则,又,∴,即.结合（1）两两互相垂直,以为原点,可建立如下图所示空间直角坐标系,则,,,,,,,设平面的法向量,,令,则,,,设直线与平面所成角为,,即直线与平面所成角的正弦值为.………………………………………………12分20．解：（1）由对称性可知、关于轴对称,可设,则,把代入曲线得：. ………………………………………5分（2）由（1）得曲线:,,设,,则,同理,,  …………………………………………………8分若直线斜率为0,直线的方程为,代入曲线仅一解不合题意,舍去, ……………9分设直线的方程为,代入得,…………9分得：,代入式,得,………………………………………………11分故直线的方程为,恒过. …………………………………………………12分21．解：（1）,,…………………………………………………………1分当时,,在单调递增,………………………………………………2分当时,令,得,时,,单调递减,时,单调递增；……………………………………………………3分综上：时,在上递增,无减区间,当时,的单调递减区间为,单调递增区间为；……………………4分（2）由题意得,当时,在单调递增,又,故当时,,故不符合题意,………………………………………………………5分当时,在单调递减,在单调递增,故,………………………………………………………………6分对,恒成立,则需满足,记,则,当时,,当时,,故在上递减,在上递增,所以的解只有,…………………………………………………………8分实数的取值集合为.（3）由（2）知：令,则,即,即,所以,………………………………………………………………10分由（2）知：令,则,即,即,所以,综上可知：.………………………………………………………………12分22.解：（1）由题意有,可得,所以．…………………………3分（2）易知圆,的公共点一个为极点,记另一个点为,.所以圆的圆心为半径为2..由,有,,可得,可得点N的横坐标为,点N的纵坐标为．又由点M的坐标为,故点M与圆,的公共点构成的三角形的面积为．…………………………10分23.（1）函数,时,,解得：,时,,时,,解得：,若的解集为.则；（2）由（1），……6分解法一：∴……8分．……10分解法二：∵……6分……8分，∴．……10分解法三：，……7分……9分∴．……10分