河南省新乡市铁路高级中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题（图片版含答案）

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高二数学9月月考答案一、单选题1.D  2.B  3.A  4.A  5.C  6.D  7.C  8.A二、多选题9.AC  10.BD  11.BCD  12.ACD三、填空题 1314.15. 16.四、解答题17.【答案】(1)k=-或k=2.(2)±1.【详解】(1)由已知可得==(1,1,0),==(-1,0,2),∴k+=k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2),k-2=k(1,1,0)-2(-1,0,2)=(k+2,k,-4). 若k+与k-2互相垂直,则(k+)·(k-2)=(k-1)(k+2)+k2-8=2k2+k-10=0,即(2k+5)(k-2)=0,解得k=-或k=2. (2)由(1)知=(1,1,0),=(-1,0,2),则λ-=λ(1,1,0)-(-1,0,2)=(λ+1,λ,-2),-λ=(1,1,0)-λ(-1,0,2)=(1+λ,1,-2λ),由题意可设λ-=m(-λ)(m∈R),所以 解得因此实数λ的值为±1.  18.【答案】（1）；（2）证明见解析．【详解】据题意，建立如图坐标系．于是：，，，，，∴，，，．（1），∴∴异面直线EF和所成的角为．（2）∴，即，∴即．又∵，平面且∴平面．  19.【答案】(1)(2)【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，，，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为；（2）连接，显然，因为，．所以，于是，因为平面，平面，所以平面，因此直线到平面的距离就是点到平面的距离，设平面的法向量为，，则有，，点到平面的距离为：.  20.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：取中点，连接，如图所示：∵是等腰直角三角形，∴，且，∵平面底面，平面底面平面，∴平面，∵平面，∴，∵，∴，∴，（符合勾股定理），∴，∵平面，∴平面，∵平面，∴.（2）由（1）知，可以建立分别以为轴的空间直角坐标系，则，又因为斜三棱柱中，，所以，所以，设平面的法向量，则，令，则，∴平面的法向量，设平面的法向量，则，令，则，∴平面的法向量，设二面角的平面角为，则.所以，故二面角的正弦值为.  21.【答案】(1)(2)存在，【详解】（1）过作于，由于，则,由于,且四边形是等腰梯形，所以,在三角形中，由余弦定理可得，所以,故,  以为坐标原点，，为轴，轴，过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系，设，则，设面的法向量，则，即，取，得．设面的法向量，则，即，则取，得．，由几何体的特征可知二面角的平面角为锐角，二面角的余弦值为．（2），,，面，面．设,若平面，则 ,所以，所以  22.【答案】(1)证明见解析(2)条件选择见解析，【详解】（1）过点作交于点，连接，如图所示：          因为，所以．所以四点共面．又因为平面，平面平面所以所以四边形是平行四边形所以，由，，所以，所以所以为的中位线，所以为的中点．（2）过作于，连接．因为，又因为，且，所以平面．   又平面，所以平面平面．因为，所以为中点，又因为平面平面，所以平面．又平面，所以如图建立空间直角坐标系．设．由题意得，，，，，．所以，，．设平面的法向量为，则，令，则．所以．选择条件①因为到平面的距离为，所以，解得．    所以四棱锥的体积．选择条件②因为直线与平面所成的角为，所以，解得．    所以四棱锥的体积．