河北省廊坊市霸州市实验中学2022-2023学年八年级下学期第一次月考数学试题

2022—2023学年八年级第一次学情评估

数学试卷（人教版）

本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分；卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题，本试卷满分为120分，考试时间为120分钟.

卷Ⅰ（选择题，共42分）

一、选择题（本大题共16个小题，共42分，1-10小题各3分，11-16小题各2分.每小题只有一个选项符合题意）

1.在式子，，，，，，中，二次根式有（    ）

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

2.若，则的值为（    ）

A.4 B. C.2 D.

3.如图，在四边形中，，分别以四边向外做正方形甲、乙、丙、丁，若用、、、来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（    ）

A. B. C. D.

4.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（    ）

A.，， B.1，， C.2，3，4 D.5，6，7

5.《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，同甲、乙行各几何.”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又向东北方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时所用时间为多少？若设甲与乙相遇时间为，则可列方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

6.若，，都是整数，且，，，则下列关于，，的大小关系，正确的是（    ）

A. B. C. D.

7.已知、是实数，，则的值是（    ）

A. B.9 C.6 D.

8.若，，则化简（    ）

A. B. C. D.

9.在化简时，甲、乙两位同学的解答如下：

甲：；

乙：.

这两位同学的解法，你认为（    ）

A.两人解法都对 B.甲错乙对 C.甲对乙错 D.两人都错

10.已知是一个正整数，若是整数，则的最小值是（    ）

A.3 B.5 C.15 D.25

11.如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ）

A. B. C. D.

12.已知，，则的值为（    ）

A.14 B.16 C.18 D.20

13.我国宋代数学家秦九韶和古希腊几何学家海伦都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为.如图，在中，，，所对的边分别记为，，，若，，，则的面积为（    ）

A. B. C.24 D.

14.课堂上，王老师要求学生设计图形来证明勾股定理，同学们经过讨论，给出两种图形，能证明勾股定理的是（    ）

A.①行，②不行 B.①不行，②行 C.①，②都行 D.①，②都不行

15.如图，已知钓鱼竿的长为6m，露在水面上的渔线长为，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的渔线为，则的长（    ）

A. B. C. D.

16.如图，正方体的棱长为2cm，点为一条棱的中点.蚂蚁在正方体表面爬行，从点爬到点的最短路程是（    ）

A. B.4cm C. D.5cm

卷Ⅱ（非选择题，共78分）

注意事项：1.答卷Ⅱ前，将密封线左侧的项目填写清楚.

2.答卷Ⅱ时，将答案用黑色签字笔或圆珠笔直接写在试卷上.

二、填空题（本大题有3个小题，每空2分，共12分）

17.已知，.

（1）_____________.

（2）求的值为_____________.

18.如图，甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲轮船以20海里/小时的速度向南偏东45度方向航行，乙轮船向南偏西45度方向航行.已知它们离开港口两小时后，两艘轮船相距60海里，则乙轮船2小时航行________海里，乙轮船平均每小时航行___________海里.

19.如图1，是一个封闭的勾股水箱，其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分是可盛水的正方形，且相互联通，已知，，，开始时Ⅲ刚好盛满水，而Ⅰ，Ⅱ无水.

图1 图2 图3

（1）如图2摆放时，Ⅰ刚好盛满水，而Ⅱ无水，则Ⅲ中有水部分的面积为_________；

（2）如图3摆放时，水面刚好经过Ⅲ的中心（正方形两条对角线的交点），则Ⅱ中有水部分的面积为____.

三、解答题（本大题有7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

20.（本小题满分8分）已知，，满足.

（1）求，，的值；

（2）判断以，，的值为边长能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状，并求出三角形的面积；若不能，请说明理由.

21.（本小题满分8分）如图，在一条东西走向河流的一侧有村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米.

（1）问是否与垂直？请通过计算加以说明；

（2）求新路比原路少多少千米？

22.（本小题满分8分）已知四边形中，，，，，.

（1）求的面积；

（2）若为中点，求线段的长.

23.（本小题满分10分）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：

已知，求的值.他是这样解答的：

∵，∴

∵，，∴.

∴.

请你根据小明的解题过程，解决如下问题：

（1）___________；

（2）化简；

（3）若，求的值.

24.（本小题满分10分）如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以4cm/s的速度运动，同时，另一点从点开始以3cm/s的速度沿边向点运动.

（1）几秒钟后，的长度15cm？

（2）几秒钟后，的面积是面积的？

25.（本小题满分10分）按照有关规定，距高铁轨道200米以内的区域内不宜临路新建学校、医院、敬老院和集中住宅区等噪声敏感建筑物.如图是一个小区平面示意图，长方形为一新建小区，直线为高铁轨道，，是直线上的两点，点，，在一条直线上，且，.小王看中了①号楼单元的一套住宅，与售楼人员的对话如下：

（1）小王心中一算，发现售楼人员的话不可信，请你用所学的数学知识说明理由；

（2）若一列长度为228米的高铁以252千米/时的速度通过，则单元用户受到影响的时间有多长？（参考数据：，，）

26.（本小题满分12分）

（1）【操作发现】如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上.现将绕点按顺时针方向旋转90°，点的对应点为，点的对应点为，连接，如图所示则___________；

（2）【解决问题】如图2，在等边内有一点，且，，，如果将绕点逆时针旋转60°得出，求的度数和的长；

（3）【灵活运用】如图3，将（2）题中在等边内有一点改为“在等腰直角三角形内有一点”，且，，，，求的度数.

2022—2023学年八年级第一次学情评估

数学答案（人教版）

1-6 BCCBCA 7-12 BBBCAC 13-16 AABC

17.（1）8  （2）53 18.； 19.（1）64  （2）14

20.（1）解：∵，，满足，

∴，，，

解得，，；

（2）解：∵，，，∴，

∴以，，的值为边长能构成三角形.

∵，，∴，

∴此三角形是直角三角形.

∴.

21.（1）解：与互相垂直，理由如下：

∵千米，千米，千米，

∴，

∴，即；

（2）解：设千米，则有千米，

∵，∴在中，，即，解得：，

∴（千米）；

答：新路比原路少0.05千米.

22.（1）解：过点作，交延长线于点，

∵，，∴，

在中，，

∴，，

∵，∴，∴，

∴；

（2）解：在中，∵，，∴，

在中，∵

∴是直角三角形，又∵为中点，

∴.

23.（1）；

（2）解：原式

（3）解：由得，，

原式.

24.（1）解：假设秒后长度为15cm

∴，，∵，∴，

∴，解得或（舍去）

∴3秒后的长为15cm；

（2）解：∵，，，∴

∴，∴.

设秒后的面积是面积的

∴，，

依题意得∴，∴或（舍去）

∴5秒后的面积是面积的.

25.（1）解：理由如下：如图，过点作，垂足为点.

∵，，∴，

∵米，米，∴（米）.

∵，∴单元用户会受到影响，售楼人员的说法不可信；

（2）解：如图，在上找到点，，使得米，

∴（米），

∴（米）

∵高铁的速度为252千米/时，即70米/秒，

∴单元用户受到影响的时间约为

∴单元用户受到影响的时间约为5秒.

26.（1）；

（2）解：∵是等边三角形，∴，

将绕点逆时针旋转60°得出，如图2，

∴，，，.

∵，

∴，

∴是等边三角形，∴，.

∵，，∴，，

∴，∴，则是直角三角形，

∴；

（3）解：如图3，将绕点逆时针旋转90°得到，

与（1）类似：可得：，，，，

∴，

∴，

由勾股定理得：.

∵，，，∴，，

∴，∴，∴.