2022-2023学年山东省聊城市聊城第一中学高一下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年山东省聊城市聊城第一中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知为虚数单位，的共轭复数为，则实数（    ）

A．4 B．2 C．1 D．0

【答案】A

【分析】由题得，又因为，所以可得关于的方程，求得即可.

【详解】解:根据题意，的共轭复数为，所以

又因为，

所以，

所以，所以．

故选：A.

【点睛】本题主要考查复数的运算，共轭复数的定义，考查计算能力，属于基础题.

2．△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量＝(a＋c，a＋b)，＝(b，c－a)．若，则角C的大小为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】按照向量平行的定义，求出三角形ABC各边之间的关系，再应用余弦定理即可.

【详解】 ， ，   ，

由余弦定理得，

；

故选：D.

3．一个球体被两个平行平面所截，夹在两平行平面间的部分叫做“球台”，两平行平面间的距离叫做球台的高．如图1，西晋越窑的某个“卧足杯”的外形可近似看作球台，其直观图如图2，已知杯底的直径为cm，杯口直径为cm，杯的深度为cm，则该卧足杯侧面所在球面的半径为（    ）

A．5cm B．cm

C．cm D．cm

【答案】A

【分析】作出“球台”的轴截面，利用勾股定理得到方程组，解得即可；

【详解】解：如图所示，作出“球台”的轴截面，设球心为，过作交于点，交于点，

依题意，，，

设球的半径为，则且，

即，解得，

即球面的半径为；

故选：A

4．如图所示，一个质点在半径为2的圆上以点为起始点，沿逆时针方向运动，每转一圈.则该质点到轴的距离关于时间的函数解析式是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据三角函数与单位圆的关系，结合周期以及初相的定义以及几何意义，根据“距离”，利用排除法，可得答案.

【详解】由题意可知，函数的周期，初相为，则，

因为表示距离，为非负数，所以BD选项错误；

点的初始位置为，即，此时距离轴的距离为1，

而在运动的过程中距离最大值为2，则，

所以C选项符合，A选项不符合.

故选：C.

5．已知向量，满足，且，则在上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】向量在向量上的投影向量的定义计算即可.

【详解】因为向量，且，那么，

所以向量在向量上的投影向量为，

故选：D.

6．已知函数的图象的一部分如图1所示，则图2中的函数图象所对应的函数解析式是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由正弦型函数图象的变换求解即可.

【详解】图1的函数为，周期为.

图2的函数周期为，所以横坐标缩短为原来的，

函数解析式为.

又由题可得图2对应的函数解析式为，

所以函数的图象向右平移个单位长度，

纵坐标均不改变，即可得到图2对应的图象，

所以图2对应的函数解析式为.

故选：D.

7．已知，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，确定的范围，结合其正切值，求得正弦和余弦值，再用凑出目标角，利用余弦的和角公式即可求得结果.

【详解】因为，则，又，故，

则，

故

.

故选：C.

8．已知正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】用可以求解的向量来表示.

【详解】记圆心为，则，

因为互为相反向量，

所以，

因为正六边形ABCDEF的边长为2，为正六边形的中心，

所以当与正六边形顶点重合时，有最大值2，

当在正六边形边上的中点处时，有最小值，此时.

所以.

故选：B

二、多选题

9．如图，在直角梯形中，，与交于点，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据共线向量定义可确定且，由向量线性运算依次判断各个选项即可.

【详解】对于A，，，，，

，即，A正确；

对于BC，由A知：，B正确，C错误；

对于D，，D正确.

故选：ABD.

10．设复数在复平面内对应的点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则或

B．若，则的虚部为

C．若，则点的集合所构成的图形的面积为

D．若点坐标为，且是关于的实系数方程的一个根，则

【答案】CD

【分析】根据复数的几何意义判断AC；根据虚部定义，判断B；根据，代入实系数方程，化简求.

【详解】A.若，则点的轨迹为以原点为圆心，半径为1的圆，

圆上的点对应的复数有无数个，其中包含或，故A错误；

B. 若，则的虚部为，故B错误；

C.表示的几何意义为复平面内的点到定点的距离，

根据不等式，如图画出满足条件的点的轨迹，

点的轨迹是以为圆心，1和为半径的两个同心圆，所包含的圆环，面积为，故C正确；

D. 若点坐标为，则，，

化简为，得，，

所以，故D正确.

故选：CD

11．已知正三棱锥的侧棱长为，底面边长为6，则（    ）

A．正三棱锥的高为6

B．正三棱锥的表面积为

C．正三棱锥的体积为

D．正三棱锥的外接球的体积为

【答案】AC

【分析】先求出侧面三角形的高，再按照表面积公式计算即可判断B选项；由侧面三角形的高，结合勾股定理求出正三棱锥的高即可判断A选项；利用体积公式即可判断C选项；找出球心，勾股定理求出半径即可判断D选项.

【详解】

如图，在正三棱锥中，过作交于，过作面，为外接球球心，易知在上，连接.

对于A，，，，

故，即正三棱锥的高为6，故A正确；

对于B，正三棱锥的表面积为，故B错误；

对于C，正三棱锥的体积为，故C正确；

对于D，设外接球半径为，，由，

可得，解得，故外接球的体积为，故D错误.

故选：AC.

12．已知函数，以下结论正确的是（    ）

A．它是周期为的周期函数

B．它是偶函数

C．它在这个区间有且只有1个零点

D．它的值域为

【答案】BD

【分析】利用特殊值，判断A；根据偶函数的定义，判断B；分区间讨论函数的零点，以及函数的值域，判断CD.

【详解】A.，

，

，所以不是周期为的周期函数，故A错误；

B.函数的定义域为，，所以函数

是偶函数，故B正确；

C.当时，，得，无解，

当时，，得，无解，

当时，，得，无解，

当时，，得，，

时，，得，，

综上可知，它在这个区间有且只有2个零点，故C错误；

D.当时，，且，

当时，，

当时，，

当时，，

再结合函数是偶函数，可知，函数的值域是，故D正确.

故选：BD

三、填空题

13．的值为           .

【答案】/

【分析】根据余弦两角和差公式，结合特殊角三角函数，可得答案.

【详解】

.

故答案为：.

14．如图，直三棱柱中，，，为线段上的一个动点，则的最小值是           .

【答案】

【分析】根据已知条件及直棱柱的性质，结合直角三角形的性质及勾股定理即可求解.

【详解】将图中的和放置于同一平面内，如图所示，

则.

因为直三棱柱中，，，

所以中，.

同理，在中，,所以

所以在图中，,

所以,即.

所以的最小值是.

故答案为：.

15．如图所示，圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，，若，则的值为           .

【答案】/

【分析】根据任意角三角函数的定义，求得三角函数值，再根据等边三角形的性质，结合二倍角公式以及辅助角公式，可得答案.

【详解】点的坐标为，则，

设，，则，

， ，

，，，则，

.

故答案为：.

16．在中，，，，是的外接圆上的一点，若，则的最小值是       

【答案】/-0.5

【分析】根据条件可知是直角三角形,进而可以建立直角坐标系,根据点的坐标得向量的坐标,由向量的坐标运算可得的表达式,进而根据三角函数求最值.

【详解】由余弦定理得，所以，所以，所以．以AC的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，易得，

设P的坐标为，所以，，，又，

所以，所以，，所以，

当且仅当时，等号成立．

故答案为：

四、解答题

17．已知，（为虚数单位）.

(1)若是纯虚数，求实数的值；

(2)若在复平面上对应的点在第二象限，且，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据复数的乘法，结合纯虚数的定义，可得答案；

（2）根据复数模长公式，整理不等式，根据复数的几何意义，建立不等式组，可得答案.

【详解】（1）

根据题意是纯虚数，故，解得：；

（2）由，得：，即，从而，

由于在复平面上对应的点在第二象限，

故，解得：，

综上，实数的取值范围为.

18．如图所示，正方形是一个水平放置的平面图形的直观图，其中.

(1)求原图形的面积；

(2)将原图形以所在的直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积与体积.（注：图形与正方形的各点分别对应，如对应直观图中的）

【答案】(1)

(2)表面积，体积

【分析】（1）根据直观图还原得到原图，根据长度的关系，即可得答案.

（2）由题意，得到旋转后的几何体，代入体积、表面积公式，即可得答案.

【详解】（1）原图形是个平行四边形，如下图所示，底为，高为.

.

（2）得到的几何体是一个组合体，其形状是圆柱一侧挖去一个圆锥，

另一侧有多出一个相同的圆锥.

几何体表面积.

几何体体积.

19．已知函数.

(1)求函数的最小正周期及对称轴方程；

(2)将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的单调递增区间.

【答案】(1)最小正周期为，

(2)

【分析】（1）利用两角和差的正余弦公式与辅助角公式化简可得，再根据周期的公式与余弦函数的对称轴公式求解即可；

（2）根据三角函数图形变换的性质可得，再根据余弦函数的单调区间求解即可.

【详解】（1）

所以函数的最小正周期为，

令，得函数的对称轴方程为.

（2）将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，所得图象的函数解析式为，再将所得图象向左平移个单位，得

令

所以

所以在上的单调递增区间为.

20．在校园美化､改造活动中，要在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示.取的中点，记.

(1)写出矩形的面积与角的函数关系式；

(2)求当角为何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积.

【答案】(1)

(2)当时，矩形的面积最大，最大值为

【分析】（1）首先得出，再用的三角函数分别表示出和，则，再根据二倍角公式，降幂公式和辅助角公式化简即可；

（2）由，得出，根据正弦函数的图像，得出时，面积最大，即可得出最大面积．

【详解】（1）由题可知，

在中，，

，

在中，，

（2）

当，即时，

故当时，矩形的面积最大，最大值为

21．已知向量，，.

(1)求函数的图象的对称中心；

(2)在中，角，，的对边分别为，，，且，，求的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由数量积运算及三角恒等变换化简后，根据正弦型函数的性质求出对称中心即可；

（2）由题意求出，再由正弦定理化为三角函数，由三角函数的值域求最值即可.

【详解】（1）

令，得，

所以函数的对称中心为

（2）由，得，

，

，即

，

，

，

且，

当且仅当时，有最大值为，

故的最大值为.

22．在中，，为所在平面内的两点，，，，，，

(1)以和作为一组基底表示，并求；

(2)为直线上一点，设，若直线经过的垂心，求，.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用平面向量的线性运算求得的表示，从而利用转化法即可求得；

（2）先由题意得到，再利用平面向量的线性运算求得的另一种表示，结合三角形垂心的性质得到，从而求得，由此得解.

【详解】（1）因为，所以为线段上靠近的三等分点，

因为，所以为线段的中点，

所以，

因为，，，

所以，

所以；

（2）因为为直线上一点，设，

则

，

所以

，

因为直线经过的垂心，所以，即，

所以，解得，

所以，

因为，所以.

【点睛】关键点睛：本题解决的关键是结合图形，利用平面向量的基底法与转化法分别求得与，从而得解.