2022-2023学年山东省滨州市邹平市第一中学高一下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年山东省滨州市邹平市第一中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．在中，已知，则角等于（    ）

A．或 B．或 C． D．

【答案】D

【分析】根据正弦定理解三角形即可，要注意角度的取值范围.

【详解】根据正弦定理有，

题中

又中，，选项ABC错误，选项D正确

故选：D.

2．已知复数满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据条件求出，再利用求模公式求出结果；或者根据结论直接求解.

【详解】解法一：由得，所以，故选．

解法二：由得，所以，即，

故选：．

3．已知单位向量与，，，且与的夹角为，，则（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【分析】由平面向量数量积的定义可得，由可得，即可得解.

【详解】因为单位向量与的夹角为，所以，

因为，所以，

即，解得.

故选：B.

【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算、平面向量垂直的性质，属于基础题.

4．已知向量，且，则=（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先根据向量垂直求解出关于的等式，然后利用辅助角公式进行化简可求解出的值.

【详解】因为，所以，

所以，所以，

所以，

故选：B.

5．已知函数满足，且直线与函数的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则   

A．在上单调递减 B．在上单调递减

C．在上单调递增 D．在上单调递增

【答案】D

【分析】由得函数为奇函数，代入，求出，然后再根据周期求出，从而计算三角函数的表达式，得到其单调性．

【详解】函数满足，

∴函数为奇函数，函数经过点，，

直线与函数的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，

∴函数的周期，，．

当时，，函数在上单调递增．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了三角函数的性质，根据题中的奇偶性和周期求出函数的解析式，然后求得其单调性，属于基础题．

6．对于函数f(x)＝sin2x－sin2x有以下三种说法：①(－，0)是函数y＝f(x)的图象的一个对称中心；②函数y＝f(x)的最小正周期是π；③函数y＝f(x)在[，]上单调递减．其中说法正确的个数是(　　)

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【详解】由题意得,f(x)=sin2x－sin2x=sin2x−(1−cos2x)=sin(2x+)−

①其对称中心横坐标满足2x+=kπ(k∈Z)即x=－+,所以对称中心为：(－+,)

所以①中，纵坐标不对，①错；

②最小正周期T=π，②正确；

③当x∈[，]时, 2x+∈[,]，为减区间，③正确．

故选C.

7．如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东方向，距离海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北方向的C处，且已知A，C之间的距离为10海里，则该货船的速度大小为（    ）

A．海里/小时 B．海里/小时

C．海里/小时 D．海里/小时

【答案】A

【分析】根据所给条件求出，再借助余弦定理即可作答.

【详解】因，则，由题意得，

即，

在中，，，

由余弦定理得：

即，解得，

设船速为x，则，即，

所以货船的速度大小为海里小时.

故选：A

8．是△ABC所在平面内的一点，且满足，则△ABC的形状一定是（    ）

A．正三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形 D．斜三角形

【答案】C

【分析】利用向量的加法和减法可得，，根据向量加法的平行四边形法则结合已知，即可得出结论.

【详解】解：设点为的中点，连接，

则，

则，

所以，

又因点为的中点，

所以三角形ABC为等腰三角形.

故选：C.

二、多选题

9．已知，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】根据向量的线性运算，逐项变形移项即可得解.

【详解】根据复数的线性运算，

对A，化简为，错误；

对B，即，即，正确；

对C，对移项可得，正确；

对D，由，移项即，正确；

故选：BCD

10．下列说法正确的是（    ）

A．以三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥

B．棱台的侧面都是等腰梯形

C．底面半径为r，母线长为2r的圆锥的轴截面为等边三角形

D．棱柱的侧棱长都相等，但侧棱不一定都垂直于底面

【答案】CD

【分析】根据圆锥、棱台、棱柱的定义及结构特征逐一判断即可.

【详解】圆锥是以直角三角形的某一条直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体，

当绕斜边旋转时，不是棱锥，故A错误；

棱台的侧面都是梯形，但棱台的侧棱不一定都相等，故B错误；

圆锥的轴截面是等腰三角形，其腰长为2r，又底面半径为r，故等腰三角形的底边为2r，

即该圆锥的轴截面为等边三角形，故C正确；

棱柱的侧面都为平行四边形，所以侧棱都相等，棱柱包含直棱柱与斜棱柱，

故侧棱不一定都垂直于底面，故D正确.

故选：CD.

11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则为钝角三角形

D．若，且，则的面积为3

【答案】ACD

【分析】对于A：分A是锐角和A是钝角两种情况，根据在上单调性可判断；

对于B：根据正弦定理和角的范围可判断；

对于C：根据余弦定理和已知条件可判断；

对于D：根据余弦定理和三角形的面积公式可判断.

【详解】对于A：若，当A是锐角时，因为在上单调递增，所以，

当A是钝角时，，即，因为在上单调递增，所以，故A正确；

对于B：根据正弦定理得，即，解得，又，，所以或，故B不正确；

对于C：根据余弦定理得，整理得：，所以，又，所以B为钝角，故C正确；

对于D：因为，且，所以，即，

又，，所以的面积为，

故D正确，

故选：ACD.

12．已知，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】设，则，根据已知条件可得出关于的二次方程，解出的值，可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可求得的值.

【详解】，则，

由题意可得，

设，则，则，

所以，，即，即，

因为，则，解得，

所以，，解得或，

因此，或.

故选：CD.

三、填空题

13．已知，为第四象限角，则的值为        ．

【答案】

【分析】利用三角函数恒等变换及同角关系式即得.

【详解】解法一（用来处理）：

因为为第四象限角，所以是第二或第四象限角，所以．

所以．

解法二（用来处理）：

因为为第四象限角，所以．

所以，

所以．

解法三（用来处理）：

因为为第四象限角，所以．

所以，

所以．

故答案为：.

14．一水平放置的平面四边形OABC，用斜二测画法画出它的直观图O′A′B′C′如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC面积为        .

【答案】

【分析】将直观图还原回原图形，即找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，可得到平行四边形，即可求出面积.

【详解】还原直观图为原图形如图，

，，

还原回原图形后，,

.

故答案为：.

【点睛】本题考查斜二测画法前后图形的关系，属于基础题.

15．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，成等差数列，，且，则的面积为           .

【答案】

【分析】利用二倍角的余弦公式变形给定等式，结合余弦定理求出角A，再由成等差数列的条件求出bc即可得解.

【详解】在中，因，则，整理得，

由余弦定理得：，整理可得，

于是得，而，则，

又，，，成等差数列，即，则有，解得，

，

所以的面积为.

故答案为：

16．向量在向量上的投影_______________．

【答案】

【分析】写出两个向量的坐标表示，然后根据公式可以求出.

【详解】，，

向量在向量上的投影 .

【点睛】本题考查了一个平面向量在另一个平面向量的投影的计算，考查了数学运算能力.

四、解答题

17．已知向量，满足：，，．

(1)求的值；

(2)求向量与的夹角；

(3)求的值．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据向量数量积的运算律计算可得；

（2）由夹角公式计算可得；

（3）根据及向量数量积的运算律计算可得；

【详解】（1）解：因为，，

所以，

即，所以

（2）解：由（1）知，所以，

因为，所以

（3）解：

18．已知是复数，是纯虚数，为实数.

（1）求复数；

（2）若复数在复平面上对应的点位于第二象限，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）设，根据纯虚数和实数的定义可构造方程组求得，由此可得复数；

（2）求解得到对应的点的坐标，由第二象限点的特征可构造不等式组求得结果.

【详解】（1）设，则，

，又为纯虚数，，即；

，

又为实数，，又，，

.

（2），

对应的点为，

，解得：，实数的取值范围为.

19．在中，内角所对的边分别为，已知，.

(1)当时，求的面积；

(2)求周长的最大值.

【答案】(1)

(2)6

【分析】（1）由二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式化简可得,分类讨论先分别求出，，再求出的值,利用三角形面积公式即可计算得解；

（2）由余弦定理得：，利用基本不等式可得，解得，从而可求周长的最大值.

【详解】（1）由得，

得，

得，

当时，则，因为，故，由得，，

此时

当时，则，由正弦定理，联立.

解得，，

故三角形的面积为.

故

（2）由余弦定理及已知条件可得：.

由得，进而得，当且仅当时取等号，

故周长的最大值为6，此时为正三角形.

20．在四边形中，, , ，, 求：

(1)的值；

(2)四边形的面积.

【答案】(1)5；

(2)24.

【分析】（1）先根据向量相等得平行四边形，再根据对角线垂直得菱形，最后根据勾股定理求的值；

（2）根据菱形面积公式计算四边形的面积，即得结果.

【详解】（1）四边形中，∵，∴四边形是平行四边形，

∵，∴该四边形是菱形，

∵，，∴，即；

（2）因为四边形是菱形，

所以，

所以四边形的面积为24.

21．已知函数.

(1)化简函数的解析式；

(2)求函数在区间上的值域；

(3)设，求的值.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据三角恒等变换化简即可；

（2）根据三角函数的性质即可求出的值域；

（2）因为，所以，进而求得，根据两角差的正弦公式计算即可求出结果.

【详解】（1）.

（2）当时，，则，

所以函数在区间上的值域为.

（3）因为，所以，

，，所以，

则.

22．已知两个非零向量不共线，.

（1）证明：三点共线；

（2）试确定实数，使与共线.

【答案】（1）详见解析（2）

【分析】（1）利用向量的运算和向量共线定理即可得出

（2）利用向量共线定理和向量基本定理即可得出

【详解】（1）因为，

所以，

，

所以，即与共线.

又因为与有公共点，所以三点共线.

（2）因为为非零向量且不共线，所以.

若与共线，则必存在唯一实数，使，整理是.

因此，解得，或，

即存在实数，使与共线，此时；或存在实数，使与共线，此时，因此都满足题意.

【点睛】本题主要考查向量的运算，向量共线定理和基本定理，属于一般题。