2022-2023学年山东省泰安第二中学高一下学期期中数学试题含答案

这是一份2022-2023学年山东省泰安第二中学高一下学期期中数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省泰安第二中学高一下学期期中数学试题 一、单选题1．复数的虚部是（    ）A．2 B． C．1 D．【答案】C【分析】利用复数除法运算化简，进而求得其虚部.【详解】，虚部为.故选：C2．如图，已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图扇形的圆心角为，则圆锥的母线长为（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】由圆锥的底面周长与侧面展开图的半圆弧相等，结合弧长公式列方程即可求母线长.【详解】由题设母线长为，则，可得.故选：D.3．已知向量与的夹角为，，，则（    ）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】根据数量积的运算律，结合数量积的定义，可得答案.【详解】.故选：C.4．在中，B=30°，BC=2，AB=，则边AC的长等于（   ）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】利用余弦定理即得．【详解】由余弦定理，得，解得AC=1.故选：B.5．如下图所示，在正方体中，如果点E是的中点，那么过点、B、E的截面图形为（     ）A．三角形   B．矩形 C．正方形 D．菱形【答案】D【分析】根据题意作出截面图形，然后利用正方体的性质求解即可.【详解】分别取的中点，连接，如图即为过点、B、E截正方体所得的截面图形，由题意可知：且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为且，且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以,所以，同理，所以四边形为平行四边形，又因为，所以平行四边形为菱形，故选：.6．已知两条不同的直线及两个不同的平面，下列说法正确的是（    ）A．若，则B．若，则与是异面直线C．若，则与平行或异面D．若，则与一定相交【答案】C【分析】由面面平行的性质可判断ABC，由线面平行的判定定理可判断D【详解】若，则直线没有交点，故与平行或异面，故A，B错误，C正确；若，当时，与平行，故D错误故选：C7．圆台的上、下底面半径分别是，，圆台的高为4，则该圆台的侧面积是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据圆台的侧面积公式即可求解.【详解】依题意，因为圆台的，，且高，母线长是5，故圆台的侧面积.故选：C.8．《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”，现有阳马（如图），平面，点E，F分别在上，当空间四边形的周长最小时，三棱锥外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】把剪开，使得与矩形在同一个平面内.延长到M，使得，则四点P，E，F，M在同一条直线上时，取得最小值，即空间四边形的周长取得最小值.可得，∴.∴点E为的中点.设的外心为，外接圆的半径为r，则，利用勾股定理进而得出结论.【详解】如图所示，把剪开，使得与矩形在同一个平面内.延长到M，使得，则四点P，E，F，M在同一条直线上时，取得最小值，即空间四边形的周长取得最小值.可得，∴.∴点E为的中点.如图所示，设的外心为，外接圆的半径为r，易得，则.设三棱锥外接球的半径为R，球心为O，连接，则，则.∴三棱锥外接球的表面积.故选：B. 二、多选题9．已知正方体，则（　　）  A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为C．直线与平面所成的角为 D．直线与平面ABCD所成的角为【答案】ABD【分析】对于A：根据异面直线的夹角分析运算；对于B：根据线面垂直关系分析判断；对于C、D：根据线面夹角的定义分析运算.【详解】对于选项A：连接，因为∥，，则为平行四边形，可得∥，所以直线与所成的角为（或其补角），又因为，则为等边三角形，则，所以直线与所成的角为，故A正确；  对于选项B：因为平面，平面，则，又因为为正方形，则，，平面，可得平面，平面，则，所以直线与所成的角为，故B正确；  对于选项C：设，连接，因为平面，平面，则，又因为为正方形，则，，平面，可得平面，所以直线与平面所成的角为，可得，则，所以直线与平面所成的角为，故C错误；  对于选项D：因为平面，所以直线与平面ABCD所成的角为，故D正确；故选：ABD.10．下列命题正确的是（    ）A．若复数z满足，则；B．若复数z满足，则z是纯虚数；C．若复数，满足，则；D．若复数，满足且，则．【答案】BD【分析】根据复数概念、复数运算的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，若，则，但不是实数，所以A选项错误.B选项，依题意，，设，则，所以，所以为纯虚数，B选项正确.C选项，，则，但，C选项错误.D选项，设，其中不同时为，依题意，，即，所以，，即，由于不同时为，所以，所以，所以D选项正确.故选：BD11．在中，内角 所对的边分别为，则下列说法正确的是（    ）A．若,则B．若的三角形有两解，则a的取值范围为C．若点O为内一点，且，则D．若是锐角三角形，，则边长c的取值范围是【答案】AD【分析】根据正弦定理可判断A；利用正弦定理解三角形可判断B；根据向量的线性运算结合三角形面积公式可判断C；根据三角形为锐角三角形，利用余弦定理列出不等式，可判断D.【详解】由，可得，根据正弦定理得，即选项A正确；在中，，∴由正弦定理得,∵，∴，要使三角形有两解，得到，且，,即，解得，故B错误；如图，取中点D，连接，则，∴，∴三点共线,所以，则，∴，故C错误；对选项D，因为是锐角三角形，所以，整理可得，解得，故D正确，故选：AD12．如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为斜坐标系，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为.在的斜坐标系中，，.则下列结论中，错误的是（    ）A． B．C． D．在上的投影向量为【答案】BCD【分析】对于A项，根据题意写出，然后根据向量的减法运算即可；对于B项，根据展开求解即可；对于C项，验证是否为零；对于D项，在上的投影向量为求解.【详解】由题意得：，，对于A项，，由题意得：，故A正确；对于B项，，，故B不正确；对于C项，，故C项不正确；对于D项，在上的投影向量为：，又，，，故D不正确.故选：BCD 三、填空题13．方程在复数范围内的根为           .【答案】【分析】利用求根公式在复数范围内求解即可.【详解】解：由求根公式可得：=.故答案为：14．已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为      ．【答案】【分析】先依据斜二测画法的规则求得四棱锥的底面积，再去求其体积即可.【详解】依据斜二测画法的规则，四棱锥的底面是边长为1，高为的平行四边形.则四棱锥的底面积为，此四棱锥的体积为故答案为：15．已知平面向量满足，且与的夹角为120°，则的取值范围是__________________ .【答案】（0, ]【详解】解： 16．如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则      .  【答案】【分析】根据圆柱以及球的体积公式，建立方程，可得答案.【详解】由题意，可得，则，.故答案为：. 四、解答题17．已知复数，其中i为虚数单位，.(1)若z是纯虚数，求m的值；(2)z在复平面内对应的点在第二象限，求m的取值范围.【答案】(1)；(2) 【分析】（1）z是纯虚数需要满足实部等于0，虚部不等于0，即可求出结果；（2）z在复平面内对应的点在第二象限，需要满足实部小于0，虚部大于0.【详解】（1）因为z是纯虚数，所以，解得.（2）因为z在复平面内对应的点在第二象限，所以，解得，所以m的取值范围为.18．如图，在平面内将两块直角三角板接在一起，已知，记.（1）试用表示向量;（2）若，求.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）由题易知，再结合即可得，进而即可得答案；（2）由题知，，进而根据向量数量积运算求解即可.【详解】（1）因为，所以，由题意可知， ，所以，则，（2）因为，所以， ，所以19．在四面体ABCD中，CB=CD，，且E，F分别是AB，BD的中点，求证：（I）直线；（II）．【答案】（I）证明见解析．（II）证明见解析．【详解】证明：（I）E，F分别为AB，BD的中点．（II），又，所以．20．的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．【答案】(1) ;(2).【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得.(2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域.【详解】(1)[方法一]【最优解：利用三角形内角和为结合正弦定理求角度】由三角形的内角和定理得，此时就变为．由诱导公式得，所以．在中，由正弦定理知，此时就有，即，再由二倍角的正弦公式得，解得．[方法二]【利用正弦定理解方程求得的值可得的值】由解法1得，两边平方得，即．又，即，所以，进一步整理得，解得，因此．[方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为求得的比例关系】根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得．，，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.(2)[方法一]【最优解：利用锐角三角形求得C的范围，然后由面积函数求面积的取值范围】因为是锐角三角形，又，所以，则．因为，所以，则，从而，故面积的取值范围是．[方法二]【由题意求得边的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围】由题设及（1）知的面积．因为为锐角三角形，且，所以即又由余弦定理得，所以即，所以，故面积的取值范围是．[方法三]【数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】如图1，在中，过点A作，垂足为，作与交于点．由题设及（1）知的面积，因为为锐角三角形，且，所以点C位于在线段上且不含端点，从而，即，即，所以，故面积的取值范围是．【整体点评】(1)方法一：正弦定理是解三角形的核心定理，与三角形内角和相结合是常用的方法；方法二：方程思想是解题的关键，解三角形的问题可以利用余弦值确定角度值；方法三：由正弦定理结合角度关系可得内角的比例关系，从而确定角的大小.(2)方法一：由题意结合角度的范围求解面积的范围是常规的做法；方法二：将面积问题转化为边长的问题，然后求解边长的范围可得面积的范围；方法三：极限思想和数形结合体现了思维的灵活性，要求学生对几何有深刻的认识和灵活的应用.21．请从“①；②.”两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，______.(1)求A；(2)设AD是的平分线，且面积为，求线段AD的长度.【答案】(1)条件选择见解析，；(2). 【分析】（1）选①，利用和角的正弦公式化简作答；选②，利用二倍角的余弦公式化简作答.（2）由（1）的结论，结合等面积法求解作答.【详解】（1）若选①，在中，由，得，即，而，因此，又，所以.若选②，由，得，在中，，即，解得，即，所以.（2）因为，且面积为，，由AD是的内角平分线，得，显然，因此，即，解得，所以.22．如图，三棱锥中，面，△为正三角形，点在棱上，且，、分别是棱、的中点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，，．（1）求证：；（2）求几何体的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）根据、分别是棱、的中点得到，进一步证明，从而得证；（2）分别求出和，进一步得到答案.【详解】证明：（1）∵、分别是棱、的中点，∴，∵平面，平面，∴平面，∵平面，平面平面，∴，则；（2）∵△为正三角形，且边长为6，面，，∴，又，∴，到的距离为，则，到平面的距离为到平面距离的一半，为．∴，则．【点睛】求组合体的体积，要利用到割补法的思想，求三棱锥的体积时要利用等体积法的思想更换顶点，这样会轻松一点.