2022-2023学年四川省泸县第一中学高一下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年四川省泸县第一中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】分析：根据终边相同的角正弦值相等，将的正弦化成的正弦，，即可求出结果.

详解：由诱导公式可得，，，故选A.

点睛：本题着重考查了终边相同的角、诱导公式，特殊角的三角函数值等知识，属于简单题.

2．命题“对任意，都有”的否定为（     ）

A．存在，使得 B．不存在，使得

C．存在，使得 D．存在，使得

【答案】D

【分析】利用全称量词命题的否定是特称命题可得出结论.

【详解】由全称量词命题的否定可知，原命题的否定为“存在，使得”.

故选：D.

3．若集合,则所含的元素个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】化简集合，然后利用集合的补集的定义及交集的定义运算即得.

【详解】由，得，解得，由于，，

由，

得或，因此，

因此含两个元素.

故选：C.

4．若复数为纯虚数，则（    ）

A．-4 B．-2 C．-1 D．1

【答案】D

【分析】利用复数的除法法则化简，根据复数的类型列出方程，求出的值.

【详解】，

因为复数为纯虚数，

所以，

解得：.

故选：D

5．如图，在中，，点是的中点，设，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】连结，根据向量加法三角形法则有，由题意，再转化为，整理即可得结论.

【详解】解：连结，

在中，因为，点是的中点，

所以,

故选：B.

6．已知均为锐角，则

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】易得

．

7．数学必修二101页介绍了海伦-秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隔，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即，其中、、分别为内角、、的对边.若，，则面积的最大值为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】A

【分析】将已知等式结合进行化简，得到，并利用正弦定理可得，代入 “三斜求积”公式并将看成整体并利用二次函数性质得解.

【详解】，

，

又，

所以，

所以，

所以，

所以 ，

由正弦定理得  

的面积，

，

将看成整体并利用二次函数性质得，当 即 a=2时， 的面积S 有最大值为.

故选：A .

8．已知的边，的长分别为20,18，，则的角平分线的长为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】利用角平分线定理以及平面向量的线性运算法则可得，两边平方，利用平面向量数量积的运算法则，化简即可得结果.

【详解】

如图，因为是的角平分线，

所以，

所以

，

即.

两边平方得，

所以，故选C.

【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算法则，以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题. 向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.

二、多选题

9．下列三角式中，值为1的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】对A、B、C三个选项都套用2倍角公式计算即可，D选项直接计算就可选出答案.

【详解】A选项,，故正确.

B选项，，故正确.

C选项，，故正确.

D选项，，故错误

故选：ABC

10．设，是复数，则下列命题中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】CD

【分析】举反例证明选项A，B错误；利用一般情况证明选项C，D正确.

【详解】对A，取，，有，但，且，所以A错误；

对B，取，，且，但，所以B错误；

对C，设，则，因此，所以C正确；

对D，设，，则由得，，，，因此，所以D正确.

故选：CD.

11．若对于任意，不等式恒成立，则实数a的值可能是（    ）

A．2 B．4 C． D．5

【答案】BCD

【分析】根据一元二次不等式的解集与的关系即可求解.

【详解】由得，解得，

故不等式对于任意恒成立，则

且 ，进而得

故 均符合，

故选:BCD

12．已知为上的奇函数，且当时，，记，下列结论正确的是（    ）

A．为奇函数

B．若的一个零点为，且，则

C．在区间的零点个数为个

D．若大于的零点从小到大依次为，则

【答案】ABD

【分析】利用奇函数的定义可判断A，利用奇函数的性质可判断B，数形结合作出函数的图象，通过交点个数可判断C，根据的图象确定大于的零点的取值范围即可判断D.

【详解】因为，

所以为奇函数，A正确；

假设，则，

此时，

所以当时，，

当时，，

当时，，则，

由于的零点为，所以，

所以，B正确；

当时，令，

大于零的零点为的交点，由图可知，

函数在有2个零点，

由于为奇函数，所以在有1个零点，

且，

所以在区间的零点个数为个，C错误；

由图可知，大于1的零点，，

所以，而，所以，D正确.

故选:ABD.

三、填空题

13．已知，则      ．

【答案】/-0.75

【分析】利用同角三角函数的基本关系求出进而可求正切值.

【详解】由平方得，

所以，

因为，所以，所以，

又因为，

所以，

联立解得，所以，

故答案为：.

14．中，，，，则            .

【答案】5

【分析】由余弦定理得，代入数值解出即可.

【详解】设，由余弦定理得，

即，

整理得，

由于，解得，即.

故答案为：5.

15．若函数（其中）在区间上不单调，则的取值范围为          .

【答案】

【分析】化简f(x)，结合正弦函数单调性即可求ω取值范围.

【详解】，

x∈，

①ω＞0时，

ωx∈，f(x)在不单调，则，则；

②ω＜0时，

ωx∈，f(x)在不单调，则，则；

综上，ω的取值范围是.

故答案为：.

16．给出以下命题：

①若α、β是第一象限角且，则；

②函数有三个零点；

③函数是奇函数；

④函数的周期是；

⑤函数，当时恒有解，则a的范围是.

其中正确命题的序号为            .

【答案】④⑤

【分析】根据正切周期性，对①举反例；根据与关系，可解零点；根据奇函数定义域，判断是非奇非偶函数.

【详解】对于①，令，则①错；

对于②，当有恒成立，则无零点；又为奇函数，，也无零点；则只有一个零点，则②错；

对于③，求定义域，则定义域为定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数，则③错误；

对于④，函数是函数向下平移个单位，再沿轴将下方图像翻折到轴上方，故，则④正确

对于⑤，

当，，，

使恒有解，则恒有根

，，则⑤正确

故答案为：④⑤

【点睛】本题考查，正切函数周期性、奇偶性定义、翻折变换、三角函数有界性，综合性较强，考查计算能力，有一定难度.

四、解答题

17．已知，，且．

(1)求与的夹角；

(2)求．

【答案】(1)

(2)2

【分析】（1）根据向量的数量积运算律求解即可；

（2）根据向量模的运算求解即可.

【详解】（1）∵，，

由化简得，∴

∵，∴

（2）

．

18．已知函数，求

（1）求函数的最小正周期；

（2）当，求函数的值域．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）应用二倍角正余弦公式及辅助角公式有，即可求最小正周期；

（2）由题设得，再由正弦函数的性质求值域即可.

【详解】，

（1）最小正周期为；

（2）由知：，故.

19．已知函数的图象的两相邻对称轴间的距离为.

（1）求函数的解析式：

（2）已知角满足：且，，求的值.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）化简函数得到，根据周期为，计算得到答案.

（2）代入数据得到，计算得到，最后利用齐次式计算得到答案.

【详解】（1）

由条件可得，所以，则

（2）

又

∴原式

【点睛】本题考查了函数三角函数的解析式，三角恒等变换.其中齐次式方法是解题的关键，需要熟练掌握.

20．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足条件；，．

（I）求角A的值；

（Ⅱ）求的范围．

【答案】（I）；（Ⅱ）.

【分析】（I）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理可得解；

（Ⅱ）利用正弦定理将边转化为角，再结合三角函数恒等变换公式化简，再利用正弦函数的性质求值域即可得解.

【详解】（I）由，

利用正弦定理可得，即

故，

又，

（Ⅱ），，利用正弦定理

故，

在中，，故

，，

所以的范围是

【点睛】方法点睛：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，求最值可以将“边化角”利用三角函数思想求值域，考查学生的转化能力与运算 能力，属于较难题.

21．据市场调查，某种商品一年内每月的价格满足函数关系式：f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B，x为月份.已知3月份该商品的价格首次达到最高，为9万元，7月份该商品的价格首次达到最低，为5万元.

（1）求f(x)的解析式；

（2）求此商品的价格超过8万元的月份.

【答案】（1）f(x)＝2sin＋7；（2）2月份、3月份、4月份、10月份、11月份、12月份此商品的价格超过8万元.

【分析】（1）由最大值和最小值求得，由周期求得，再用最高点坐标代入可得，从而得解析式；

（2）解不等式2sin＋7>8中在上的整数解即得．

【详解】解（1）由题意可知＝7－3＝4，∴T＝8，

∴ω＝.

又，∴，

即f(x)＝2sin＋7.(*)

又f(x)过点(3，9)，代入(*)式得2sin＋7＝9，

∴sin＝1，∴，k∈Z.

又|φ|<，∴φ＝－，

∴f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*).

（2）令f(x)＝2sin＋7>8，

∴sin>，

∴，k∈Z，

可得＋8k<x<＋8k，k∈Z.

又1≤x≤12，x∈N*，∴x＝2，3，4，10，11，12.

即2月份、3月份、4月份、10月份、11月份、12月份此商品的价格超过8万元.

【点睛】本题考查三角函数的应用，解题关键是根据正弦函数的性质确定函数解析式．

22．在中，a、b、c分别为角A，B，C的对边，平面内点O满足，且．

(1)证明：点O为三角形的外心；

(2)求的取值范围．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）已知，根据向量的运算可得，得证点O为三角形的外心.

（2）延长AO交外接圆于点D，则AD是圆O的直径，可得，，利用向量的加减和数量积的运算求得，因为，所以，求出二次函数的值域即可.

【详解】（1）证明：由

可得：，

所以，即，

同理：，所以，

所以点O为三角形的外心.

（2）由于O是三角形外接圆的圆心，故O是三边中垂线的交点．

如图所示，延长AO交外接圆于点D，则AD是圆O的直径．

所以，，．

所以

，

因为，所以，

令，

则当时，有最小值．

又因为，，

所以，

所以的取值范围是