2022-2023学年四川省成都市城厢中学校高一下学期期中考试数学试题含答案

这是一份2022-2023学年四川省成都市城厢中学校高一下学期期中考试数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省成都市城厢中学校高一下学期期中考试数学试题 一、单选题1．已知，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据向量的坐标运算求解即可.【详解】，，.故选：A2．已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为（    ）A．2 B．－2 C． D．4【答案】A【分析】因为是实数，所以复数的实部是，虚部是，直接由实部等于0，虚部不等于0求解的值．【详解】解：由是纯虚数，得，解得．故选：A.3．的值是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用两角和的正弦公式求解.【详解】解：因为，，，故选：D4．命题：“向量与向量的夹角为锐角”是命题：“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由充分条件和必要条件的定义结合数量积运算分析判断【详解】若向量与向量的夹角为锐角，则，当时，向量与向量的夹角可能为，所以命题是命题的充分不必要条件，故选：A5．如图所示，正方形的边长为2，为的中点，为的中点，则（    ）  A． B．C． D．【答案】D【分析】先将用表示，再根据数量积的运算律即可得解.【详解】由题意，，所以.故选：D.6．已知函数，为了得到函数的图象，只需（    ）A．先将函数图象上点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位B．先将函数图象上点的横坐标变为原来的，再向右平移个单位C．先将函数图象向右平移个单位，再将点的横坐标变为原来的D．先将函数图象向右平移个单位，再将点的横坐标变为原来的2倍【答案】B【分析】直接利用三角函数图像变换可得.【详解】对于A：先将函数图象上点的横坐标变为原来的2倍，得到，故A错误；对于B：先将函数图象上点的横坐标变为原来的，得到，再右移个单位，得到，即为，故B正确；对于C: 先将函数图象向右平移个单位，得到，再将点的横坐标变为原来的，得到，故C错误；对于D: 先将函数图象向右平移个单位，得到，再将点的横坐标变为原来的2倍，得到，故D错误；【点睛】： 关于三角函数图像平移伸缩变换：先平移的话，如果平移a个单位长度那么相位就会改变ωa；而先伸缩势必会改变ω大小，这时再平移要使相位改变值仍为ωa，那么平移长度不等于a.7．在中，角的对边分别为，已知 则（    ）A．45°或135° B．135°C．45° D．60°或120°【答案】C【分析】根据正弦定理求解即可.【详解】由正弦定理得：得：，因为，所以，所以.故选：C8．泰姬陵是印度在世界上知名度最高的古建筑之一，被列为“世界文化遗产”．秦姬陵是印度古代皇帝为了纪念他的皇妃建造的，于1631年开始建造，用时22年，距今已有366年历史．如图所示，为了估算泰姬陵的高度，现在泰姬陵的正东方向找一参照物，高约为，在它们之间的地面上的点Q（B，Q，D三点共线）处测得处、泰姬陵顶端处的仰角分别是和，在处测得泰姬陵顶端处的仰角为，则估算泰姬陵的高度为（    ）    A． B． C． D．【答案】A【分析】由题设可得，应用正弦定理求得，进而求.【详解】由题设且，在测得泰姬陵顶端处仰角为，所以，则，所以，故.故选：A 二、多选题9．下列说法中错误的是（    ）A．单位向量都相等B．向量与是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上C．若为非零向量，则表示为与同方向的单位向量D．若，，则【答案】ABD【分析】根据单位向量概念判断A，根据共线向量关系判断B，由向量的模及方向判断C，由特例可判断D.【详解】对A，单位向量方向不一定相同，故A错误；对B，向量与是共线向量，A、B、C、D不一定在一条直线上，故B错误；对C，为非零向量，则模长为1，方向与同向，故C正确；对D，若时，，，但推不出，故D错误. 故选：ABD10．将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大为原来的倍，得到函数的图象，则下列说法正确的有（    ）A．函数的最小正周期为B．函数的单调递增区间为C．直线是函数图象的一条对称轴D．函数图象的一个对称中心为点【答案】ABC【分析】根据函数图象的变换关系求出，利用正弦函数的图象性质求解即可.【详解】函数的图象向左平移个单位长度，可得函数的图象，再将所得图象上所有点的横坐标扩大为原来的倍，得到函数的图象，所以函数的最小正周期为，A正确；令，解得，所以函数的单调递增区间为，B正确；是函数的最大值，所以直线是函数图象的一条对称轴，C正确，D错误，故选:ABC.11．已知向量，，则（    ）A． B．与向量共线的单位向量是C． D．向量在向量上的投影向量是【答案】AC【分析】利用向量垂直的坐标形式可判断A的正误，利用向量的模长公式和投影向量的公式可判断CD的正误，利用模长可求与向量共线的单位向量，从而可判断B的正误.【详解】因为，，故，故，故成立，故A正确.与向量共线的单位向量为即、，故B错误.，故，故C正确.向量在向量上的投影向量是，故D错误.故选：AC.12．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题为真命题的是（    ）．A．若，则B．若，则是钝角三角形C．若，则为等腰三角形D．若，，，则满足条件的三角形有且只有一个【答案】ABD【分析】由正弦定理结合结论大角对大边可判断A；由余弦定理结合正弦定理的边角互换可判断B；由正弦定理的边角互换结合二倍角的正弦公式可判断C；由余弦定理求出可判断D.【详解】对A选项，根据结论大角对大边，则有，又因为正弦定理，所以，故A正确；对B选项，由可得，∴，为钝角三角形，故B正确；对C选项，由可得，∴，∴或，是直角三角形或等腰三角形，故C错误；对D选项，由，则，解得，故，满足条件的三角形有且只有一个，故D正确.故选：ABD． 三、填空题13．已知复数，则=        ．【答案】【详解】试题分析：，所以【解析】复数模的概念与复数的运算.14．已知向量， 则         .【答案】【分析】求出向量的坐标，根据模的计算公式即得答案.【详解】由题意向量，则 则，故答案为：15．已知在△ABC中，＝＝，则角C的度数为        .【答案】120°【分析】由已知条件，结合正弦定理可得,不妨设,利用余弦定理求得，进而得解.【详解】由已知得,由正弦定理的,∴,不妨设,则 ,∴=120°，故答案为：120°.16．下列命题：①若，，，为锐角，则实数的取值范围是；②若非零向量，且，则为等边三角形；③若单位向量，的夹角为60°，则当取最小值时，；④已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点一定通过的重心；⑤如果内接于半径为的圆，且，则的面积的最大值为.其中正确的序号为                       ．【答案】②④⑤【分析】由为锐角，则且不共线，列式求解可判断①；由条件可知的角平分线与垂直，为等腰三角形，又，所以，即可判断②；，利用二次函数的性质求解可判断③；记BC中点为E，则，故与共线，而直线AE过的重心，即可判断④；由条件结合正弦定理得，可得角C，由余弦定理结合基本不等式可得，进而由三角形面积公式求解可判断⑤.【详解】对于①，由，得，，因为为锐角，故且不共线，所以，解得且，故①错误；对于②，因为非零向量，所以的角平分线与垂直，为等腰三角形，又，又，所以，所以为等边三角形，故②正确；对于③，，当时，取得最小值，故③错误；对于④，已知是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，，记BC中点为E，则，则，故与共线，而直线AE过的重心，故动点P一定通过的重心，故④正确；对于⑤，∵，∴根据正弦定理，得，可得，∴，∵角C为三角形的内角，∴角C的大小为，∵，∴由余弦定理，可得，当且仅当时等号成立，∴，∴，即面积的最大值为，故⑤正确.故答案为：②④⑤. 四、解答题17．已知，，且与夹角为求：(1)(2)【答案】(1)(2) 【分析】（1）由平面向量的数量积的定义求解即可；（2）由平面向量的数量积的运算律求解即可.【详解】（1）因为，，且与夹角为，所以.（2）.18．已知复数.(1)若为实数，求的值；(2)若为纯虚数，求的值；(3)若复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围.【答案】(1)或(2)2(3) 【分析】若为实数，则虚部为0，列出方程求解即可；若为纯虚数，则实部为0，虚部不为0，列出方程组求解即可；若复数在复平面内所对应的点位于第四象限，则实部大于0，虚部小于0，列出不等式组求解即可。【详解】（1）若为实数，则虚部为0，所以，解得或（2）若为纯虚数，则实部为0，虚部不为0，所以解得（3）若复数在复平面内所对应的点位于第四象限，则实部大于0，虚部小于0，所以解得19．已知函数.（1）求；（2）求的最小正周期和单调递增区间.【答案】（1）0；（2）最小正周期，单调递增区间为，．【分析】（1）先结合二倍角公式，辅助角公式先进行化简，然后把代入即可求解，（2）结合正弦函数的周期公式可求，然后利用整体思想，，解不等式可求的范围，即可求解．【详解】解：（1），，，所以所以，（2）函数的最小正周期，令，，解得，故的单调递增区间，．20．已知在中，角，，所对的边分别为，，，向量，，且．(1)求角；(2)若，，求的面积．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用平行向量的坐标关系得，结合正弦定理与角度关系，即可得角；（2）根据余弦定理求得边长，再利用面积公式求解即可.【详解】（1）解：因为向量，，且所以，由正弦定理得，又，则，即，又，所以；（2）解：由余弦定理的，整理得，解得或（舍），所以的面积.21．在中，角所对的边分别为．已知 ．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；（Ⅲ）先计算出进一步求出，再利用两角和的正弦公式计算即可.【详解】（Ⅰ）在中，由及余弦定理得，又因为，所以；（Ⅱ）在中，由， 及正弦定理，可得；（Ⅲ）由知角为锐角，由，可得 ，进而，所以.【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.22．已知函数．(1)求函数的单调递增区间；(2)在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，求的最大值．【答案】(1)(2)4 【分析】（1）先把整理为，直接求出的单调递增区间；（2）由，求出，由余弦定理结合均值不等式即可得出答案.【详解】（1）由解得：，故函数的单调递增区间为.（2），，又，，，又，所以，又因为，所以，所以，当且仅当“”时取等所以的最大值为.