2022-2023学年内蒙古自治区阿拉善盟阿拉善盟第一中学高一下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年内蒙古自治区阿拉善盟阿拉善盟第一中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知向量，，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据平面向量共线的坐标表示计算可得.

【详解】因为，，且，

所以，解得．

故选：A．

2．命题“，”的否定形式是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题得到答案.

【详解】特称命题的否定是全称命题，

命题“，”的否定形式是，.

故选：A.

3．设全集，集合，集合，则 （ ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】直接利用集合的运算法则求解即可./

【详解】全集，集合，集合，

所以，，，

故选C.

【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.

4．已知单位向量满足，则=（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由向量夹角公式、数量积的运算律得，根据已知得，进而求出，最后求夹角余弦值.

【详解】由，

又，则，

所以，则，

综上，.

故选：B

5．在，，，中，，，分别为内角，，所对的边长，若，，则的面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据余弦定理、三角形的面积公式求得正确答案.

【详解】因为若，，

所以，所以，

所以，，

所以的面积．

故选：C

6．在中，D为的中点，E为边上的点，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据平面向量的线性运算结合图形即可得解.

【详解】由E为边上的点，且，

得.

故选：C

7．设，，，则有（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用辅助角公式化简，利用同角三角函数关系和二倍角公式化简，利用二倍角公式化简，再根据正弦函数的单调性比较大小.

【详解】因为，

，

．

又因为，

所以，

即有.

故选：D.

8．已知函数的图象过点，且在上单调，把的图象向右平移个单位之后与原来的图象重合，当且时，，则

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】代入点求出，根据平移关系和在上单调，确定，从而得到；找到区间内的对称轴，由对称性可得的值，进而代入求得结果.

【详解】过点    ，即

又        

又的图象向右平移个单位后与原图象重合

在上单调            

令，，解得，

当时，为的一条对称轴

又

当，且时，

本题正确选项：

【点睛】本题考查三角函数值的求解，关键是能够通过三角函数的图象平移、周期、特殊点等求解出函数解析式，再利用三角函数的对称性将问题转化为特定角的三角函数值求解.

二、多选题

9．(多选)为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（    ）

A．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍

B．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的

C．横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度

D．横坐标变为原来的，再向左平移个单位长

【答案】BC

【分析】根据三角函数图象变换规律分析判断即可.

【详解】要得到函数的图象，

可将的图象上所有点向左平移个单位长度，

然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变而得到；

也可将的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，

然后将所得图象上所有点向左平移个单位长度而得.

故选：BC.

10．已知角，，是的三个内角，下列结论一定成立的有（    ）

A．若，则是等腰三角形

B．若，则

C．若是锐角三角形，则

D．若，，，则的面积为或

【答案】BCD

【分析】利用诱导公式判断A，利用正弦定理及大角对大边判断B，根据正弦函数的性质判断C，利用余弦定理求出，再由面积公式计算即可判断D；

【详解】解：对于A：若，则，整理得：或，

即或，故为直角三角形或等腰三角形，故A错误；

对于B：若，即，利用正弦定理得：，故，故B正确；

对于C：是锐角三角形，所以，整理得，故，

整理得：，故C正确；

对于D：由余弦定理，即，解得或，

所以或，故D正确；

故选：BCD

11．已知向量，， 则下列命题正确的是（    ）

A．若，则

B．若在上的投影向量的模为，则向量与的夹角为

C．存在，使得

D．的最大值为

【答案】CD

【分析】利用向量的数量积为0，求出正切函数值判断A；利用向量的数量积求解向量的投影以及向量的夹角判断B；通过向量的模的求法求解判断C；利用向量的数量积结合两角和与差的三角函数，求解最大值判断D．

【详解】对于A，若，则，则，故A错误；

对于B，由已知可得，且在上的投影向量的模为，所以，

所以，又，所以或，故B错误；

对于C，若，则，则，即，此时与同向，所以，解得，故C正确；

对于D，，其中，因为，，则当时，的最大值为，故D正确，

故选：CD．

12．已知：函数，若直线与函数的图象有三个交点，，，且，则下列命题中正确的是（    ）

A．函数有两个零点0和2 B．

C．方程有6个不同的根 D．当时，方程有两个不相等的实根

【答案】ABD

【分析】令，求出函数的零点可判断A；作出函数的大致图象，由图结合题意可得，即有，结合对数运算化简即可判断B；方程根的问题转化为图象交点的问题，结合图形可判断C，D.

【详解】由题意，令，

当时，，解得；当时，，解得，

则函数有两个零点0和2，故A正确；

作出函数的大致图象，如图，

由图结合题意可知，，

由，可得，即，故B正确；

由可得或，

由图可知，函数的图象与直线及共有4个交点，则方程有4个不同的根，故C错误；

当时，

当时，令，解得，

且由图象可得当时，与只有一个交点。

综上，直线与函数的图象有两个交点，则方程有两个不相等的实根，故D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．在△ABC中，，，，则△ABC的外接圆半径为       

【答案】/

【分析】运用正弦定理及余弦定理可得解.

【详解】根据余弦定理：

，

得，

由正弦定理△ABC的外接圆半径为.

故答案为:.

14．已知为锐角，角的终边经过点，，则        .

【答案】3

【解析】由角的终边经过点，不妨设为锐角，可得，，结三角函数值可得，则由可得，再由两角差的正切公式可求出的值

【详解】因为角的终边过点，不妨设为锐角，

则，.

因为，又因为为锐角，

所以，所以.

所以.

故答案为：3

15．已知，若存在，满足，则称是的一个“友好”三角形．在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是     ：（请写出符合要求的条件的序号）

①，，；②，，；③，，．

【答案】②

【分析】满足,根据诱导公式，则有,,.逐一验证选项即可．

【详解】满足,

则有,,．

对于①,,显然不成立．

对于②，可取,,满足题意．

对于③，由,，则,可取的角为

或,若有一个角为,另一个角,此时

大于,不合题意,故==,

或,不合题意.所以③不满足．

故答案为②．

【点睛】本题考查新定义,考查诱导公式以及推理能力,根据条件逐一验证,属于中档题.

16．已知，函数在上单调递增，则的取值范围是   

【答案】

【分析】因为函数为奇函数，在上单调递增，所以函数在上单调递增，故再结合周期表达式即可得出的取值范围.

【详解】因为函数为奇函数，在上单调递增，所以函数在上单调递增，故，T，即 又所以.

故答案为

【点睛】本题考查了正弦型函数的性质，结合奇偶性，单调性可得出函数周期的情况，熟练掌握三角函数图象及性质是关键.

四、解答题

17．已知向量，，．

(1)若与向量垂直，求实数的值；

(2)若向量，且与向量平行，求实数的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据向量垂直列方程，化简求得的值.

（2）根据向量平行列方程，化简求得的值.

【详解】（1）向量，，．

，，

与向量垂直，

，

解得．

（2）向量，，

与向量平行，

，

解得．

18．在中，，，且，求：

(1)求的值；

(2)求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)由正弦定理化简已知等式可得，由已知条件利用余弦定理得，解方程得到a的值，进而可求b得值.

 (2)由已知条件，利用同角三角函数的基本关系可求得值，进而根据三角形的面积公示可计算得解.

【详解】（1）因为，由正弦定理得，，所以，

由余弦定理得，因为，，

所以，化简得，解得 或，

当时，，与题意不符合;

当时，，符合题意.

所以.

（2）因为，，

所以，所以的面积

19．在中，角所对的边分别是，设的面积为.已知.

(1)求角的值；

(2)若，点在边上，为的平分线，的面积为，求边长的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据三角形的面积公式结合余弦定理求出，即可得解；

（2）根据的面积求出，再利用等面积法即可得出答案.

【详解】（1）因为，

即，

所以，

所以，

又，所以；

（2）因为为的平分线，所以，

又，所以，

由，得，

解得或，

所以.

20．已知函数f（x）＝x2－ax＋2．

(1)若f（x）≤－4的解集为[2，b]，求实数a，b的值；

(2)当时，若关于x的不等式f（x）≥1－x2恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据一元二次不等式和一元二次方程的关系得出实数a，b的值；

（2）不等式f（x）≥1－x2等价于，结合基本不等式得出实数a的取值范围．

【详解】（1）若f（x）≤－4的解集为[2，b]，则的解集为[2，b]

所以，解得

（2）由f（x）≥1－x2得对恒成立

即在区间恒成立，所以

又，当且仅当时，取等号

所以，即，故实数的取值范围为

21．已知向量，，函数，的最小正周期为．

(1)求的解析式；

(2)方程在上有且只有一个解，求实数n的取值范围．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）利用向量的数量积运算得到，再根据周期求出即可；

（2）将问题转化为函数与在的图象只有1个交点求解.

【详解】（1）解：，

，

∵的最小正周期为，

∴，

∴，

则.

（2）因为方程与在上有且仅有1个解，

所以函数与在的图象只有1个交点，

∵，

∴，

当时，单调递增，当时，单调递减，

∵，，，

若要使与只有1个交点，

则或，

解得或．

22．已知函数的部分图象如图所示.

(1)求函数的解析式；

(2)将图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对于任意的，当时，恒成立，求实数的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据图象得出周期，即可根据三角函数周期计算得出，将点代入新解析式，得，根据已知得出范围，结合三角函数的零点得出，将点代入新解析式，即可得出，即可得出答案；

（2）设，根据已知结合诱导公式与辅助角公式化简，结合已知与函数单调性的定义得出在区间上单调递减，由三角函数的单调区间解出的单调递减区间，即可根据范围结合集合包含关系列出不等式组，即可解出答案.

【详解】（1）由图象可知，周期，

，

因为点在函数图象上，

所以，即，

又，

，

则，即，

因为点在函数图象上，所以，即，

故函数的解析式为.

（2）由题意可得，

设

，当时，恒成立，

即恒成立，

即恒成立，

在区间上单调递减，

令，解得，

因为，所以，则，

故，解得，

所以最大值为.