2022-2023学年上海市市北中学高一下学期期中数学试题含答案

这是一份2022-2023学年上海市市北中学高一下学期期中数学试题含答案，共11页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市市北中学高一下学期期中数学试题 一、填空题1．在中，已知，，，则角的大小为  .【答案】【分析】由题意和余弦定理可得，由三角形内角的范围可得.【详解】∵在中，，，∴由余弦定理可得，∵，∴.故答案为：.【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，属于基础题.2．已知，是第三象限的角，则        ．【答案】【分析】根据两角差的余弦公式结合诱导公式以及同角的三角函数关系，即可求得答案.【详解】由，可得，即，由于是第三象限的角，故，故答案为：3．函数的最小正周期是        ．【答案】【分析】根据余弦函数的最小正周期公式，即可求得答案.【详解】函数的最小正周期是，故答案为：4．函数的定义域是        ．【答案】【分析】根据正切函数的定义域，列不等式求解，可得答案.【详解】由于正切函数的定义域为，故令，解得，即函数的定义域是，故答案为：5．角的顶点在直角坐标系的原点，始边与x轴的正半轴重合，点是角终边上一点，若，则        ．【答案】【分析】根据角的终边上的点的坐标，结合三角函数的定义，列式计算，即得答案.【详解】由题意得点到原点O的距离为，故由得，解得，故答案为：6．已知，则的值为        ．【答案】【分析】利用同角三角函数的关系将正余弦化为正切求解即可【详解】由，得，所以，解得，故答案为：7．已知向量，，若与垂直，则实数          ．【答案】【详解】分析：利用得到，而，，代入前者就可得到． 详解：由题设有，所以，填． 点睛：本题考查数量积的应用，属于基础题．8．已知的三个内角、、满足，则的形状是      ．【答案】直角三角形【分析】利用二倍角公式以及正弦定理、勾股定理，即可判断三角形的形状．【详解】解：由二倍角公式，可化为1﹣2sin2A﹣1+2sin2B＝2sin2C， 即sin2A+sin2C＝sin2B． 设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由正弦定理可得a2+c2＝b2． 根据勾股定理的逆定理知△ABC为直角三角形．故答案为：直角三角形9．在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM ＝2，则）的最小值是        ．【答案】【详解】试题分析：因为M为中点，所以,且与夹角为，设，则，，因为，所以当时，其最小值为．【解析】1．向量的加法；2．向量的数量积；3．二次函数的最值；10．函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于､两点，且在轴上，圆的半径为，则           .【答案】【分析】根据题意，结合图像求出周期，进而可得的值，再代点分别求出和的值，即可得到函数的解析式，进而可得.【详解】由图可知，点，故，即，因，所以.由，得，又因，所以，故.由图可知，又因且圆的半径为，所以，因此，即，所以.因此.故答案为：. 二、单选题11．是成立的（    ）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【答案】D【分析】判断和之间的逻辑推理关系，即得答案.【详解】当时，，此时，即推不出成立；当时，，此时，即推不出成立；故是成立的既非充分也非必要条件，故选：D12．四边形中，，，，若、不共线，则四边形为（    ）A．平行四边形 B．矩形C．梯形 D．菱形【答案】C【分析】由向量知识可知，可得答案.【详解】由已知得， ，故，由， 所以四边形ABCD是梯形.故选：C.13．函数是（    ）A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数【答案】C【分析】首先利用余弦的二倍角公式和诱导公式化简函数，再利用周期公式和奇偶函数的定义判断即可求解.【详解】由余弦的二倍角公式可得：，所以周期为：，且，所以是奇函数，所以函数是最小正周期为的奇函数，故选：C.14．如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A．4β+4cosβ B．4β+4sinβ C．2β+2cosβ D．2β+2sinβ【答案】B【分析】由题意首先确定面积最大时点P的位置，然后结合扇形面积公式和三角形面积公式可得最大的面积值.【详解】观察图象可知，当P为弧AB的中点时，阴影部分的面积S取最大值，此时∠BOP=∠AOP=π-β, 面积S的最大值为+S△POB+ S△POA=4β+.故选B.【点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示. 三、解答题15．已知，求：(1)；(2)在方向上的数量投影(3)；【答案】(1)3(2)1(3) 【分析】（1）将两边平方，即可求得答案；（2）根据数量投影的定义即可求得答案；（3）根据向量模的公式结合数量积的运算律，即可求得答案.【详解】（1）由题意，则，则，即；（2）在方向上的数量投影为（3）.16．已知下列是两个等式：①；②；(1)请写出一个更具一般性的关于三角的等式，使上述两个等式是它的特例；(2)请证明你的结论；【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）根据归纳推理，即可得结论；（2）利用二倍角公式的变形结合两角和差的余弦公式，即可证明结论.【详解】（1）由题意可得出具一般性的关于三角的等式为：；（2）证明：因为，，故，即.17．如图，有一块扇形草地，已知半径为R，，现要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，其中点A，B在弧上，且线段平行于线段；  (1)若点A为弧的一个三等分点，求矩形的面积S；(2)设，当A在何处时，矩形的面积S最大？最大值为多少？【答案】(1)(2)A在弧的四等分点处， . 【分析】（1）由题意表示出矩形的边长，即可得其面积的表达式，结合三角函数二倍角公式化简求值，即得答案.（2）表示出矩形的边长，即可得其面积的表达式，结合三角函数二倍角公式以及辅助角公式化简，根据角的范围，结合正弦函数性质，即可求得答案.【详解】（1）作，垂足为H，交于E，连接，  由于点A为弧的一个三等分点，四边形为矩形，即关于直线对称，则，则，而，故为等腰直角三角形，则，故，则；（2）因为，则，，故，则，因为，所以，故时，取最大值，即当时，，即A在弧的四等分点处时，矩形的面积S最大，.【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于利用三角函数表示出矩形的边长，从而表示出面积的表达式，再结合三角函数性质求解答案.18．在中，.（1）如图1，若点为的重心，试用、表示；（2）如图2，若点在以为圆心，为半径的圆弧上运动（包含、两个端点），且，设，求的取值范围；（3）如图3，若点为外接圆的圆心，设，求的最小值.【答案】（1）；（2）；（3）2.【分析】（1）延长交于，利用向量中线公式求出，再由为的重心，即可表示；（2）以为原点，建立平面直角坐标系，表示出，，， 利用向量的坐标表示得到，利用三角函数求最值即可（3）由，利用平面向量基本定理得到m、n的关系：利用基本不等式求出最小值.【详解】（1）延长交于，则是中点，所以因为点为的重心，所以；（2）以为原点，建立如图坐标系，则，，设，因为，所以，所以所以因为，所以，所以，所以；（3）因为，所以由可得即平方可得，即根据平行四边形法则可知，令，则，根据基本不等式可得，所以，解得或所以，所以，所以的最小值是2.【点睛】在几何图形中进行向量运算:(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；(2)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.