2022-2023学年上海市嘉定区中光高级中学高一下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年上海市嘉定区中光高级中学高一下学期期中数学试题

一、填空题

1．函数的最小正周期是          ；

【答案】

【分析】利用正弦型函数的周期公式计算作答.

【详解】函数的最小正周期.

故答案为：

2．150度＝             （填弧度）；

【答案】/

【分析】根据角度与弧度之间的换算关系计算即可.

【详解】150度＝.

故答案为：.

3．是         函数（填奇偶性）；

【答案】奇

【分析】根据奇函数的判定方法即可得到答案.

【详解】由解析式得的定义域为，关于原点对称，

且，

故为奇函数，

故答案为：奇.

4．已知扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积为        ；

【答案】/

【分析】利用扇形面积公式直接计算作答.

【详解】圆心角为，即圆心角为，该扇形弧长为（），

所以该扇形的面积为（）.

故答案为：

5．已知角α的终边经过点(3，4)，则cosα=              .

【答案】

【解析】利用任意角的三角函数的定义直接求解即可

【详解】解：因为角α的终边经过点(3，4)，

所以，

故答案：

【点睛】此题考查任意角的三角函数的定义的应用，属于基础题

6．已知，且，则          ；

【答案】

【分析】利用同角三角函数的基本关系式，先求出，然后求得.

【详解】因为，且，所以，

则.

故答案为：.

7．已知，则的值等于         ；

【答案】4

【分析】在所求分式的分子和分母中同时除以，将分式变形为只含的代数式，代值计算即可.

【详解】．

故答案为：4.

8．函数（其中）为奇函数，则            ；

【答案】/

【分析】根据给定条件，利用正余弦函数的奇偶性，结合诱导公式求解作答.

【详解】函数是奇函数，则，而，

所以.

故答案为：

9．函数的最大值为      ．

【答案】2

【分析】由两角差的正弦公式化简函数式，然后由正弦函数性质得最大值．

【详解】，

所以，即时，．

故答案为：2.

10．已知一个三角形的三边分别是4、5、7，这个三角形是        三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；

【答案】钝角

【分析】直接根据余弦定理即可得到答案.

【详解】设三边分别为，其所对应的角分别为，

根据大边对大角的结论知角最大，

则由余弦定理知，

又因为，所以，

所以三角形是钝角三角形，

故答案为：钝角.

11．已知，则的值为              ；

【答案】

【分析】利用诱导公式求出和的值,再求得的值,即可得到的值.

【详解】，

，

，

，

.

故答案为：.

12．已知下列命题：

①函数的单调增区间是．

②要得到函数的图象，需把函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度．

③已知函数，当时，函数的最小值为．

④已知角、、是锐角的三个内角，则点在第四象限．

其中正确命题的序号是             ．

【答案】②③④

【分析】求出函数的单调增区间判断①；利用平移变换求出解析式判断②；利用二次函数求出最小值判断③；利用正弦函数单调性推理判断④作答.

【详解】对于①，由，得，

所以函数的单调增区间是，①错误；

对于②，把函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度，得的图象，

而，即得到函数的图象，②正确；

对于③，，，而，，

所以当时，函数的最小值为，③正确；

对于④，在锐角中，，且，因此，

而正弦函数在上单调递增，则，即，于是，

同理，即，所以点在第四象限，④正确，

所以正确命题的序号是②③④.

故答案为：②③④

二、单选题

13．下列各角中与240°角终边相同的角为

A． B．－ C．－ D．

【答案】C

【详解】试题分析：：∵1°=，∴240°＝240× =，与终边相同的角是

【解析】

14．若是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据象限角的概念判断即可.

【详解】若是第一象限角，则，

，则是第四象限角，故D错误；

，则是第一象限角，故A错误；

，则是第二象限角，故B错误；

，则是第三象限角，故C错误.

故选：C.

15．在中，内角、、的对边分别为、、，，则是（    ）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形

【答案】D

【分析】利用正弦定理结合二倍角的正弦公式可得出，求出、，利用正弦型函数的基本性质可得出、的关系，即可得出结论.

【详解】因为，则，

因为中至少有两个锐角，则、中至少一个为锐角，

不妨设为锐角，则，从而可知为锐角，

由正弦定理可得，即，

因为、，则、，

所以，或，即或，

因此，为等腰三角形或直角三角形.

故选：D.

16．对于诱导公式中的角，下列说法正确的是（    ）

A．一定是锐角 B．是使公式有意义的任意角

C．一定是正角 D．

【答案】B

【分析】由诱导公式成立条件直接判断即可.

【详解】诱导公式中的角是使公式有意义的任意角，故B正确.

故选：B.

三、解答题

17．解答下列问题：

(1)化简

(2)在中，若，求的值．

【答案】(1)；

(2) ．

【分析】（1）利用诱导公式化简即可；

（2）将，两边平方得，从而可得，再由，求解即可.

【详解】（1）解：原式=；

（2）解：将，两边平方得，

，

，

.

18．（1）已知，，求；

（2）已知，且，，用，表示，求．

【答案】（1）；（2），．

【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值；

（2）求出、的取值范围，利用同角三角函数的基本关系求出、的值，用、表示出，利用两角和的余弦公式可求得的值.

【详解】解：（1）因为，，则，

因此，；

（2）因为，则，，

因为，，

则，

，

因为，

所以，

.

19．（1）已知在中,,求；

（2）在中，,求、．

【答案】（1） ；（2）．

【分析】（1）首先计算出，再利用正弦定理即可得到答案；

（2）利用三角形面积公式结合余弦定理即可.

【详解】（1），

而，

由正弦定理得，即，代入数据解得.

（2），则①

由余弦定理得②

联立①②解得.

20．已知的一段图象如下图所示．

（1）求函数的解析式；

（2）求函数的单调增区间；

（3），求函数的值域．

【答案】（1）；（2）；（3）．

【分析】（1）根据函数图象，依次求得的值.

（2）利用整体代入法求得的单调增区间.

（3）根据三角函数值域的求法，求得在区间上的值域.

【详解】（1）由题意知：，

，

，由于，

所以，

所以函数的解析式：；

（2）由，得，

增区间为；

（3），.

．

∴函数在区间上的值域为．

21．如图，游客从某旅游景区的景点处下上至处有两种路径．一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为．在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到，假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为1260，经测量，．

（1）求索道的长；

（2）问：乙出发多少后，乙在缆车上与甲的距离最短？

（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在什么范围内？

【答案】（1）m （2）（3）（单位：m/min）

【详解】（1）在中，因为，，

所以，，

从而．

由正弦定理，得（）．

（2）假设乙出发后，甲、乙两游客距离为，此时，甲行走了，乙距离处，

所以由余弦定理得，

由于，即，

故当时，甲、乙两游客距离最短．

（3）由正弦定理，

得（）．

乙从出发时，甲已走了（），还需走710才能到达．

设乙步行的速度为，由题意得，解得，

所以为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在（单位：）范围内．

【解析】正弦、余弦定理在实际问题中的应用.

【方法点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理在实际问题中的应用，考查了考生分析问题和利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.解答应用问题，首先要读懂题意，设出变量建立题目中的各个量与变量的关系，建立函数关系和不等关系求解.本题解得时，利用正余弦定理建立各边长的关系，通过二次函数和解不等式求解，充分体现了数学在实际问题中的应用.