2022-2023学年上海奉贤区致远高级中学高一下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年上海奉贤区致远高级中学高一下学期期中数学试题

一、填空题

1．角是第          象限角．

【答案】三

【分析】利用终边相同的角的表示判断出与的终边相同，即可判断.

【详解】因为，

所以与的终边相同，为第三象限角.

故答案为：三

2．函数 的频率是            ．

【答案】/

【分析】利用正弦型函数频率的定义可得结果.

【详解】由题意可知，函数 的频率.

故答案为：.

3．在边长为2的正方形ABCD中，      .

【答案】2

【分析】由向量运算可求解.

【详解】.

故答案为：2.

4．已知半径为的扇形的圆心角为，则扇形的面积为            ．

【答案】

【分析】根据弧度制的定义，求得弧长，根据扇形的面积公式，可得答案.

【详解】因为半径扇形的圆心角为，则圆心角，

所以弧长，面积.

故答案为：.

5．在中，若，则          

【答案】

【分析】根据正弦定理可知，设，利用余弦定理即可求出．

【详解】由正弦定理，且，则，设，

由余弦定理，可得.

故答案为：.

6．已知角是第二象限角，且，则           .

【答案】

【分析】由可得，再结合可求得答案

【详解】解：因为，所以，即，

因为，所以，

所以，

因为角是第二象限角，所以，

故答案为：

7．函数的定义域是        ．

【答案】

【分析】根据正切函数的定义域，列不等式求解，可得答案.

【详解】由于正切函数的定义域为，

故令，

解得，

即函数的定义域是，

故答案为：

8．若是以为周期的奇函数，且，则      .

【答案】

【分析】由奇函数的性质以及周期性求解即可.

【详解】

故答案为：

【点睛】本题主要考查了奇偶性的应用以及周期性的应用，属于基础题.

9．若，则        .

【答案】

【分析】由，可得，然后利用诱导公式和同角三角函数的关系对原式化简，再代值计算即可

【详解】由，得，

所以

，

故答案为：

10．已知公式，，借助这个公式，我们可以求函数的值域，则该函数的值域是      .

【答案】

【分析】根据题意，可令，结合，再进行整体代换即可求解

【详解】令，则，

，，

则，，，则函数值域为

故答案为：

【点睛】本题考查3倍角公式的使用，函数的转化思想，属于中档题

11．如图所示为函数的部分图象，其中，则此函数的解析式为                 ．

【答案】

【分析】设，其中，根据，求得，得到，得到函数，结合，即可求解．

【详解】由函数的部分图象，设，其中，

因为，可得，解得，

即，所以，可得，所以，

又由，可得，因为，所以．

故答案为：.

12．的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则下列命题正确的序号是        ．

①．若，则

②．若，则是锐角三角形

③．若，则是直角三角形

④．若，则为等腰三角形

⑤．若锐角中，则恒成立

【答案】①③

【分析】根据正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用逐一判断各个选项即可．

【详解】对于①，若，则，

，

在递减，所以，故①正确；

对于②，中，∵，则，∴角C为锐角，

但锐角三角形需判定三个顶角均为锐角，所以不一定是锐角三角形，故②错误；

对于③，若，即，化简可得，所以是直角三角形，故③正确；

对于④，由正弦定理及，得 所以或，

则为等腰三角形或直角三角形，故④错误．

对于⑤．角A，B，C分别取，代入不成立．

故选：①③．

二、单选题

13．命题“x=π”是“sinx=0”的（    ）条件．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由x=π，得sinx=0；反之，由sinx=0，不一定有x=π，然后结合充分必要条件的判定得答案．

【详解】解：由x=π，得sinx=0；

反之，由sinx=0，得x=kπ，k∈Z．

∴“x=π”是“sinx=0”的充分不必要条件．

故选A．

【点睛】本题考查三角函数值的求法，考查充分必要条件的判定，是基础题．

14．已知点在第三象限，则角的终边位置在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】由所在的象限有，即可判断所在的象限.

【详解】因为点在第三象限，

所以，

由，可得角的终边在第二、四象限，

由，可得角的终边在第二、三象限或轴非正半轴上，

所以角终边位置在第二象限，

故选：B.

15．由函数的图象经过图象变换得到函数的图象，则这个变换过程为（    ）

A．向左平移个单位长度，把所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）

B．向左平移个单位长度，把所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）

C．把所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），向左平移个单位长度

D．把所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），向左平移个单位长度

【答案】A

【分析】根据图象的伸缩与平移变换可以有2种变换方法，写出变换过程即可判断选项.

【详解】的图象经过图象变换得到函数的图象,

可先平移后伸缩：

将函数图象向左平移个单位长度得，再将所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），即可得到的图象；

先伸缩后平移：

把所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到，再将图象左移个单位，得到的图象.

故选：A

16．设函数，，值域为，则以下结论错误的是（    ）

A．的最小值为 B．a不可能等于，

C．的最大值为 D．b不可能等于，

【答案】D

【分析】作出正弦函数y = sinx的图象，并加以观察并根据函数的单调性对A、B、 C、D各项的结论进行推理论证，结合取特殊的a、b值检验，可得选项.

【详解】解：作出正弦函数y = sinx的图象，加以观察得：

对于A，当时，函数在上单调递增，此时函数的最小值为，函数的最大值，

此时函数的值域为，达到最小值，故A正确；

对于B，如果，由于没有达到最小值-1，则才能出现函数的最小值-1.而此时函数的最大值为1，而不是，与题设矛盾，因此，故B正确；

对于C，当时，函数在上先单调递增，再单调递减，此时函数的最小值为，函数的最大值，

此时函数的值域为，达到最大值，故C正确；

对于D，当时，此时函数的值域为，所以b可能等于，，故D不正确；

故选：D.

【点睛】本题给出正弦函数的几个结论要求找出其中的假命题，考查了正弦函数的图象与性质等知识，属于中档题.

三、解答题

17．已知cosα=，cos（α-β）=，且0＜β＜α＜．

（Ⅰ）求tan2α的值；

（Ⅱ）求cosβ．

【答案】（1）；（2）.

【详解】试题分析：

(1)由题意求得，然后利用二倍角公式计算可得

(2)构造角之后利用两角和差正余弦公式可得

试题解析：

（1），

（2）

点睛：(1)技巧：①寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；

②正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；

③一些常规技巧：“1”的代换、和积互化等．

(2)常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．

18．如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，，，.

(1)用表示，，；

(2)求证：B，E，F三点共线.

【答案】(1)；；；

(2)证明见解析.

【分析】（1）根据给定条件，利用向量加法法则、数乘向量直接计算作答.

（2）由（1）的信息，结合向量减法法则，再借助共线向量求解作答.

【详解】（1）在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，，，则，

，，

所以，，，.

（2）由（1）知，，，于是有，

所以B，E，F三点共线.

19．已知函数，．

（1）求函数的单调增区间；

（2）求方程在(0，]内的所有解．

【答案】（1）,；（2）或

【分析】先将进行恒等变换化为正弦型函数，（1）直接利用正弦函数的单调增区间得到,，解得x的范围即可.

（2）令，解得x的值，对k进行赋值，使得x落在内，即得结果.

【详解】

（1）由,，解得：,.

∴函数的单调增区间为,

（2）由得，解得：，即,  

∵，∴或．

【点睛】本题考查了三角函数求值的运算问题，考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，是基础题．

20．在中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，，.

(1)若，求A和外接圆半径R的值；

(2)若三角形的面积，求c.

【答案】(1)，；

(2)或.

【分析】（1）由题可得，利用正弦定理即求；

（2）利用三角形面积公式可得，再利用同角关系式及余弦定理即求.a

【详解】（1）因为，则，且.

由正弦定理，得，即，

即，，

因为，所以，

因此，；

（2）由得，

于是.

当时，由余弦定理，得.

当时，由余弦定理，得.

所以，或.

21．在路边安装路灯，灯柱AB与地面垂直（满足∠BAD＝90°），且∠ABC＝120°，路灯C锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知∠ACD＝60°，路宽AD＝24米，设灯柱高AB＝h米，∠ACB＝（30°≤≤45°）．

（1）当＝30°时，求四边形ABCD的面积；

（2）求灯柱的高h（用表示）；

（3）若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同，记此用料长度和为S，求S关于的函数表达式，并求出S的最小值．

【答案】（1）；（2）；（3），最小值为.

【分析】（1）由题设△为等腰三角形，△为等边三角形，且，结合已知即可求面积.

（2）由题意，可得，在△、△中应用正弦定理求，即可.

（3）由（2）及正弦定理求，再利用正余弦倍角公式、辅助角公式写出S关于的函数表达式并求最小值即可.

【详解】（1）由题意，△为等腰三角形，△为等边三角形，

∴.

（2）由题意，，则，故，

在△中，由正弦定理知：，即，

在△中，由正弦定理知：，即.

（3）由（2）知：，则，

∴，而，

∴S最小值为.