人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用第一课时测试题

第1课时 距离问题

A级 必备知识基础练

1. [2023江苏徐州期末]［探究点一］已知直线过点,且方向向量为,则点到的距离为(  )

A.  B.  C.  D.

2. ［探究点一］在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为(  )

A.  B.  C.  D.

3. ［探究点二］在棱长为的正方体中，是的中点，则点到平面的距离是(  )

A.  B.  C.  D.

4. ［探究点二］如图,直三棱柱的侧棱,在中, ,,则点到平面的距离为.

5. ［探究点二、三］如图，已知正方形的边长为1, 平面,且,,分别为,的中点.

（1） 求点到平面的距离;

（2） 求直线到平面的距离.

B级 关键能力提升练

6. 在空间直角坐标系中，定义：平面 的一般方程为（,,,,且,,不同时为零），点到平面 的距离,则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心到侧面的距离等于(  )

A.  B.  C. 2 D. 5

7. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为上任意一点，，为上两个动点，且的长为定值，则点到平面的距离(  )

A. 等于 B. 和 的长度有关

C. 等于 D. 和点 的位置有关

8. （多选题）已知正方体的棱长为1,点是的中点，在正方体内部且满足,则下列说法正确的是(  )

A. 点 到直线 的距离是

B. 点 到直线 的距离是

C. 平面 与平面 间的距离为

D. 点 到直线 的距离为

9. 如图，棱长为1的正方体中，,分别为,的中点，为线段上的点，且,过,,的平面交于点,则到平面的距离为.

10. 如图，正方体的棱长为4,,,,分别为,,,的中点，则平面与平面的距离为.

11. 如图,在梯形中,,,, 平面,且,点在上,且.

（1） 求点到平面的距离；

（2） 求到平面的距离.

C级 学科素养创新练

12. ［北师大版教材例题］已知向量,,,对任意的实数,,当向量的长度最小时,求,的值.

第1课时 距离问题

A级 必备知识基础练

1. B

[解析] 点,点，,

,

又直线的方向向量为,

点到的距离,，故选.

2. C

[解析]建立空间直角坐标系，如图，则,,,,,所以，，，，

所以点到直线的距离故选.

3. A

[解析]建立如图所示的空间直角坐标系，则,

,,,

,,.

设平面的法向量为,

则即

令,则,,

可得

点到平面的距离

4.

[解析]如图所示,建立空间直角坐标系,

则,,,,,,

,,.

设平面的法向量为,

则即

令得,,

点到平面的距离

.

5. （1） 解 建立以为坐标原点,,,分别为轴、轴、轴正方向的空间直角坐标系，如图所示.

则,,,,,,,1,,所以,,,

设平面的法向量,

则即

令,则,,所以,

所以点到平面的距离,因此点到平面的距离为.

（2） 因为,分别为,的中点,所以.

又因为 平面, 平面,

所以平面.

因为,所以点到平面的距离.

所以直线到平面的距离为.

B级 关键能力提升练

6. B

[解析]以底面中心为坐标原点，建立空间直角坐标系,如图，

则,,,.

设平面的方程为,将，，三点的坐标代入计算得,,,所以方程可化为,即,所以.

7. A

[解析]取的中点，连接，，，则, 点到平面的距离即点到平面的距离，与的长度无关，故错误.又平面， 点到平面的距离即点到平面的距离，即点到平面的距离，与点的位置无关，故错误.

如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，则,,,,0,,

,,,0,.设是平面的法向量,

则由得

令,则,，所以是平面的一个法向量.

设点到平面的距离为,则,故正确，错误.故选.

8. BC

[解析]如图，建立空间直角坐标系，

则，，，，，，，0，，

所以,,0,.

设 ,则，

.

故点到直线的距离,故错误,正确.

,,.

设平面的法向量为,

则所以

令,得,,所以

所以点到平面的距离.

因为易证得平面平面,所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离,

所以平面与平面间的距离为,故正确.

因为，

所以,,,

又,则，

所以点到的距离,

故错误.

9.

[解析]以点为坐标原点，直线,,分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示,则,1,,,1,,,0,,,,

,,,.

又 平面, 平面，

平面到平面的距离，即为到平面的距离.

设平面的一个法向量为,

则即

令,则,,

又,

点到平面的距离,到平面的距离为.

10.

[解析]如图所示，建立空间直角坐标系,

则,,,,,,,,,,

,,

,,,.

平面平面.

设是平面的法向量，

则解得

取,则,,得

平面到平面的距离就是点到平面的距离.

, 平面与平面间的距离.

11. （1） 解 由题意知,,两两垂直,建立空间直角坐标系,如图，

则,,,,.设,

则,

,

,

,,即.

设平面的法向量为,

则

解得

取,得

设点到平面的距离为,由,

得

（2） 由于,,.

设平面的法向量为,

由得

取,得

设点到平面的距离为,

, 平面,

平面,

则为到平面的距离,

C级 学科素养创新练

12. 解 如图所示,,,要使向量的长度最小,也就是线段的长度最短.

由点到平面距离的定义,当且仅当 平面时,线段的长度最短.这时,

由,,,

得

即解得

所以当的长度最小时,,.