数学选择性必修 第一册2.4 圆的方程课后测评

这是一份数学选择性必修 第一册2.4 圆的方程课后测评，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 过点且与直线垂直的直线方程为( )
A. B. C. D.
2. 圆心为且过的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
3. [2023江苏连云港期中]已知圆关于直线对称，则( )
A. 0B. 1C. 2D. 4
4. 若动点，分别在直线和上移动，则线段的中点到原点的距离的最小值为( )
A. B. C. D.
5. 已知圆，圆，当时，圆与圆的公切线的条数为( )
A. 0B. 4C. 3D. 2
6. 已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
7. 两圆与有且只有一条公切线,那么的最小值为( )
A. 1B. C. 5D.
8. 已知圆与圆相交于,两点,且,则下列结论错误的是( )
A. 是定值B. 四边形 的面积是定值
C. 的最小值为D. 的最大值为2
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 等腰直角三角形的直角顶点为，若点，则点的坐标可能是( )
A. B. C. D.
10. 已知点，圆上存在点，满足（为坐标原点），则的取值可能是( )
A. 1B. C. D. 0
11. 已知实数,满足方程,则下列说法正确的是( )
A. 的最大值为
B. 的最大值为
C. 的最大值为
D. 的最大值为8
12. 已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，，切点分别是和，下列说法正确的为( )
A. 圆 上恰有一个点到直线 的距离为B. 切线长 的最小值为1
C. 四边形 面积的最小值为2D. 直线 恒过定点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，点在直线上，若直线平行于直线，则点的坐标为.
14. 圆与圆的公共弦所在直线的方程为，公共弦长为.
15. 过点可作圆的两条切线，则实数的取值范围是.
16. 已知直线与圆交于，两点，，分别为，的中点，则的最小值为.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （10分）已知直线经过点，且斜率为.
（1） 求直线的方程；
（2） 若直线与平行，且点到直线的距离为3，求直线的方程.
18. （12分）根据下列条件求圆的方程：
（1） 圆心在点，半径；
（2） 以点，为直径.
19. （12分）已知直线恒过定点，过点引圆的两条切线，设切点分别为，.
（1） 求直线的一般式方程；
（2） 求四边形的外接圆的标准方程.
20. （12分）已知圆,圆,且圆上任意一点关于直线的对称点都在圆上.
（1） 求圆的方程；
（2） 证明圆和圆相交，并求两圆公共弦的长度.
21. （12分）已知两个条件：①圆心在直线上，直线与圆相交所得的弦长为4；②圆过圆和圆的公共点.在这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
问题：是否存在唯一的圆过点且，并说明理由.
22. （12分）已知圆,线段的端点的坐标是,端点在圆上运动,且点满足,记点的轨迹为曲线 .
（1） 求曲线 的方程.
（2） 过点且斜率为的直线与曲线 交于,两点,试探究：
① 设为坐标原点,是否存在满足的直线?若存在,求出；若不存在,说明理由.
② 求线段的中点的轨迹方程.
第二章测评
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. C
[解析]设该直线方程为，
由于点在该直线上，
则，
即，
即该直线方程为.
2. C
[解析]由题意，设圆的方程为， 过点,
.
所求圆的方程为.
故选.
3. C
[解析]由于圆关于直线对称，
故圆心在直线上，，.
4. C
[解析]由题意，知点的轨迹为平行于直线，,且到，距离相等的直线，
故其方程为，所以点到原点的距离的最小值为.
5. D
[解析]圆的圆心为，半径为1，
圆的圆心为，半径为，
，半径之和为，半径之差为，
当时，，两圆相交，此时公切线有2条.故选.
6. A
[解析]设动圆圆心的坐标为，半径为，
则由题意可得，，相减可得，
故点的轨迹是以,为焦点的双曲线的左支.
由题意可得，，,
故点的轨迹方程为.
故选.
7. B
[解析]根据题意,圆,其圆心为,半径,
圆,即,其圆心为,半径为2,若两圆有且只有一条公切线,则两圆内切,则有,变形可得,则,
又,,则,当且仅当时，等号成立,故,即的最小值为.
8. C
[解析]圆的圆心,半径,则为边长为的等边三角形.
对于,,正确；
对于,,,易得的边上的高,
,
,
,正确；
对于,由知,
,即,
,
,
,
,当且仅当时，等号成立,的最小值为,错误;
对于,由得,,,
当且仅当时，等号成立,的最大值为2,
正确.故选.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. AC
[解析]设点的坐标为，
根据题意知
则
解得或
10. ABC
[解析]设，
由，得，
整理得.
圆上存在点，满足，
即两圆与有交点，
则，解得.
的取值可能是1，，.故选.
11. BCD
[解析]由,知,
表示圆心为,半径为的圆.
对于,的几何意义为圆上的点与原点距离的平方,其最大值为,故错误；
对于,的几何意义为圆上的点与点距离的平方,其最大值为,故正确；
对于,设，则直线与圆有公共点，所以，解得，
所以的最大值为，故正确；
对于，设，则直线与圆有公共点，
所以，
解得.
所以的最大值为8，故正确.
故选.
12. BD
[解析]对于, 圆，
圆心，半径， 圆心到直线的距离为，而,故错误；
对于，由圆的性质，切线长，当最小时，有最小值，
又，则,故正确;
对于,四边形的面积为,故四边形的面积最小值为1，故错误；
对于,设，
由题意知，在以为直径的圆上，
又，
以为直径的圆的方程为,
即,
又圆,即,故直线的方程为,即,
由解得
即直线恒过定点，故正确.
故选.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.
[解析]因为直线平行于直线，
所以设直线的方程为.
又点在直线上，
所以，解得，
所以直线的方程为，
联立两直线方程
解得故点的坐标为.
14. ;
[解析]圆与圆的方程相减得.
由圆的圆心为，半径为2，
且圆心到直线的距离，
得公共弦长为.
15.
[解析]把圆的方程化为标准方程得，
圆心坐标为，半径，
则点到圆心的距离.
由题意可知点在圆外，
，即，且，解得，则实数的取值范围是.
16.
[解析]如图，直线的方程可化为，由得，即直线恒过定点.
，分别为，的中点，
.
当时，最小，
此时,
.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （1） 解由直线的点斜式方程，得，整理得所求直线方程为.
（2） 由直线与直线平行，可设直线的方程为，
由点到直线的距离公式得
，
即，解得或，
故所求直线方程为或.
18. （1） 解 圆心在点，半径，
所求圆的方程为.
（2） 要求圆的圆心为的中点，
圆心坐标为，
半径
.
所求圆的方程为.
19. （1） 解 直线，
直线恒过定点.
由题意可知直线是其中一条切线，不妨令切点为.
由圆的性质可知，
,
，
直线的方程为，即.
（2） 由题意知.
，，
四边形的外接圆是以为直径的圆，的中点坐标为
四边形的外接圆的标准方程为.
20. （1） 解圆的圆心，因为圆上任意一点关于直线的对称点都在圆上，
所以直线经过点，可得，解得，则圆的方程为.
（2） 因为圆的圆心,半径,圆的圆心,半径,
所以.
因为,
所以圆和圆相交.
由两式相减可得公共弦所在的直线方程为，
点到该直线的距离为，
所以，解得，则两圆公共弦的长度.
21. 解选择①，不存在唯一的圆.理由如下,
设圆的方程为，
因为圆心在直线上，所以，①
圆心到直线的距离,
则.②
又因为圆过点，
则，③
由①②③解得，，或，，，
所以圆的方程为或.故不存在唯一的圆.
选择②，存在唯一的圆C.理由如下,
易知圆不过点,则可设圆的方程为，
又因为圆过点，则，即.
所以圆的方程为,即.
故存在唯一的圆C.
22. （1） 解设,则,
设,
因为,所以
则,
即曲线 的方程为.
（2） ① 易知直线 的方程为 ,
设 , ,
联立 可得 ,则 ,解得 ,且有 , ,
所以 .
（2） ① 不存在.理由如下，
,解得,与不符,
故不存在这样的直线,使得.
② 的中点坐标为,
则,,
即点的坐标为.
又因为,
所以,
整理可得,即点的轨迹方程为.