高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线随堂练习题

3.2.2 双曲线的简单几何性质

A级 必备知识基础练

1. ［探究点三］（多选题）设双曲线的渐近线方程为,则该双曲线的离心率可以为(  )

A.  B.  C.  D.

2. ［探究点二］已知双曲线的离心率为,则双曲线的渐近线方程为(  )

A.  B.  C.  D.

3. ［探究点一］如图,双曲线的左焦点为,双曲线上的点与关于轴对称,则的值是(  )

A. 3 B. 4 C. 6 D. 8

4. ［探究点一］已知双曲线的离心率为,,是的两个焦点,为上一点,,若的面积为,则双曲线的实轴长为(  )

A. 1 B. 2 C. 4 D. 6

5. ［探究点三］两个正数,的和为5,积为6,且,则双曲线的离心率,渐近线方程为.

6. ［探究点一］已知为双曲线的左焦点,,为上的点.若的长等于虚轴长的2倍,点在线段上,则的周长为.

7. ［探究点三］双曲线的左、右焦点分别为,,以坐标原点为圆心,以为半径作圆,圆与双曲线的一个交点为,若三角形的面积为,则双曲线的离心率为.

8. ［探究点二］求适合下列条件的双曲线的标准方程：

（1） 焦点在轴上，虚轴长为8，离心率为；

（2） 经过点,且与双曲线有共同的渐近线.

9. ［探究点四］双曲线的右顶点为，右焦点为，过点且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点，求的面积.

B级 关键能力提升练

10. 过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦,是另一焦点,若,则双曲线的离心率等于(  )

A.  B.  C.  D.

11. 已知双曲线，过原点作一条倾斜角为的直线分别交双曲线左、右两支于，两点，以线段为直径的圆过双曲线的右焦点，则双曲线的离心率为(  )

A.  B.  C. 2 D.

12. [2023江苏镇江期末]已知椭圆和双曲线具有相同的焦点,离心率分别为,,椭圆的长轴恰好被双曲线的焦点、顶点、中心平分为若干条等长线段,则(  )

A.  B.  C.  D.

13. 已知双曲线的方程为,则以点为中点的双曲线的弦所在的直线方程为(  )

A.  B.  C.  D.

14. （多选题）已知双曲线的两条渐近线的夹角为 ,则双曲线的方程可能为(  )

A.  B.  C.  D.

15. （多选题）已知，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且，则下列结论正确的是(  )

A. 双曲线 的渐近线方程为

B. 以 为直径的圆的方程为

C. 点 到双曲线的一条渐近线的距离为1

D. 的面积为1

16. 已知为双曲线的一条渐近线,其倾斜角为,且的右焦点为,则的右顶点为；的方程为.

17. 已知为双曲线的右焦点，过点向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为，且交另一条渐近线于点，若，则双曲线的离心率是.

18. 已知点和，动点到,两点的距离之差的绝对值为2.

（1） 求点的轨迹方程；

（2） 点的轨迹与经过点且斜率为1的直线交于，两点，求线段的长.

C级 学科素养创新练

19. [2023山东日照期末]已知,分别为双曲线的两个焦点,双曲线上的点到原点的距离为,且,则该双曲线的渐近线方程为(  )

A.  B.  C.  D.

3.2.2 双曲线的简单几何性质

基础落实·必备知识全过关

知识点 双曲线的几何性质

过关自诊

提示不是，在双曲线中， ， 没有大小关系，只需 ， .

提示把直线与双曲线的方程联立成方程组,通过消元后化为 的形式,

在 的情况下可得:

（1） 时,直线与双曲线有两个不同的公共点;

（2） 时,直线与双曲线只有一个公共点;

（3） 时,直线与双曲线没有公共点.

此外，当直线平行于双曲线的渐近线时，直线与双曲线只有一个公共点，故直线与双曲线只有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件.

3. 解由方程可知,双曲线的焦点在轴上,且,,,

,,,

双曲线的实轴长为2,虚轴长为,焦点坐标为,,渐近线方程为

4. 解由可得,所以渐近线方程为.

重难探究·能力素养全提升

探究点一 由双曲线的方程求几何性质

思路分析将双曲线方程化为标准方程,先求出参数 , , 的值,再写出各个结果.

【例1】 解双曲线的方程化为标准形式是，

，，

，，.

又双曲线的焦点在轴上， 顶点坐标为，，

焦点坐标为，，

实轴长，虚轴长，

离心率，

渐近线方程为.

变式探究 解双曲线的方程化为标准形式是，

，，，，.

又双曲线的焦点在轴上， 顶点坐标为，，

焦点坐标为，，

实轴长，虚轴长，

离心率，渐近线方程为.

 变式训练1（1） A

[解析]双曲线的一条渐近线的斜率是,可得,解得.故选.

（2） 证明不妨设双曲线的一个焦点为,一条渐近线的方程为,即,则点到该渐近线的距离为,即为虚半轴长.

同理可证当焦点在轴上时,也满足题意.

探究点二 根据双曲线几何性质求其标准方程

【例2】 （1） 解 设双曲线方程为.

双曲线过点,.

由题意得解得

故所求双曲线方程为.

（2） 设所求双曲线方程为.

,,

.

由题意得解得

所求的双曲线方程为.

（3） 设双曲线方程为,即,由题意得.

当时,,,双曲线方程为;

当时,,,双曲线方程为.

故所求双曲线方程为或.

变式训练2 （1） 解 由已知,双曲线焦点在轴上,设其方程为,则,即.

又,且,所以,,因此双曲线的标准方程为.

（2） 由双曲线的渐近线方程为,可设双曲线方程为.

因为在双曲线上,所以 ,即,所求双曲线的标准方程为.

探究点三 双曲线的渐近线与离心率问题

角度1.求双曲线的离心率或取值范围

【例3】 解设,,将代入双曲线的方程得,那么.

由, ,

知,

所以,所以,所以,所以,

即,

所以或（舍去）,

所以双曲线的离心率为.

变式训练3 A

[解析]依题意可得,,,

设,则由,得,整理得.

由得.

因为双曲线上恰有4个不同的点满足,

所以方程有两个不相等的实数根,所以只需,解得,

则.

角度2.双曲线的渐近线与离心率的综合

【例4】 D

[解析]由已知可得 ,则.

故选.

变式训练4 或

[解析]依题意得,所以,即,解得.

若双曲线焦点在轴上,则其渐近线方程为,即；

若双曲线焦点在轴上,则其渐近线方程为,即.

探究点四 直线与双曲线的位置关系

【例5】 （1） 解 联立

消去并整理,得.

直线与双曲线有两个不同的交点，

则

解得，且.

若直线与双曲线有两个不同交点，实数的取值范围为.

（2） 设，，

对于（1）中的方程，

由根与系数的关系，得，

，.

又点到直线的距离，

，

即，解得或.

实数的值为或0.

变式探究 解当时，即或,直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个交点；当时，由解得或，此时直线与双曲线相切，只有一个交点.

综上所述，当或时，直线与双曲线有一个交点.

本节要点归纳

分层作业

A级 必备知识基础练

1. AC

[解析]当焦点在轴上时,,所以,所以；当焦点在轴上时,,所以,所以.

2. C

[解析]已知双曲线的离心率为,故有,所以,解得.故双曲线的渐近线方程为.故选.

3. C

[解析]设为右焦点,连接（图略）,

由双曲线的对称性,知,

所以.

4. C

[解析]由题意知,点在双曲线的右支上,

则.

又,,.又,.

则在中,

,

,故,解得（负值舍去）,

实轴长为.故选.

5. ;

[解析]由解得或

又,,,,.渐近线方程为.

6. 44

[解析]由双曲线的方程,知,,,

点是双曲线的右焦点,且,点,在双曲线的右支上,

由双曲线的定义,得,

,

的周长为.

7.

[解析]不妨设为右支上一点,

设,,

由双曲线的定义可得,

由题意可得为直角三角形,

且 ,

可得,且,

由,即,可得.

8. （1） 解 设所求双曲线的标准方程为，则,,从而，代入，得，故方程为.

（2） 由题意可设所求双曲线方程为，将点的坐标代入，得 ，

解得，所以所求双曲线的标准方程为.

9. 解由题意得，双曲线的右顶点，右焦点，渐近线方程为.

不妨设直线的方程为，代入双曲线方程并整理，得，

解得,,所以,.

所以.

B级 关键能力提升练

10. C

[解析]不妨设双曲线标准方程为,依题意知直线所在直线方程为,代入双曲线方程得.

因为,所以,即,于是,所以,解得或（舍去）.故选.

11. B

[解析]设,，依题意，直线的方程为，代入双曲线方程并化简，得,，故,,.设右焦点坐标为，,由于以线段为直径的圆经过点，故，即，即，

即，两边除以，得，解得.

故，故选.

12. B

[解析]不妨设椭圆和双曲线的焦点在轴上,

由于椭圆的长轴恰好被双曲线的焦点、顶点、中心平分为若干条等长线段,设双曲线的实轴长为,则椭圆的长轴长为,

则椭圆的左、右顶点分别为,,双曲线左、右顶点分别为,,椭圆以及双曲线的左、右焦点均分别为,,所以,,所以,故错误,正确；

,故错误；,故错误.

故选.

13. A

[解析]设弦的两端点分别为，，则，，两式相减得，.

又，，

，即.

因此直线的方程为，

即.

经验证，直线与双曲线相交.

因此适合题意的直线方程为，

故选.

14. ABD

[解析]依题意,知渐近线与轴的夹角为 或 ,所以双曲线的渐近线方程为或,根据选项检验可知,,均可能.

15. ACD

[解析]易得双曲线的渐近线方程为，故正确；由得，因此以为直径的圆的方程为，故错误；易知，则到双曲线的一条渐近线的距离,故正确；

由得，，因此点在圆上，由得,故，因此，,故正确.故选.

16. ;

[解析]由题意可得,即,一条渐近线的斜率为,解得,则双曲线的右顶点为,的方程为.

17.

[解析]如图所示，过向另一条渐近线引垂线，垂足为.

由题意得，双曲线的渐近线方程为,

则到渐近线的距离,

即.

又,

，.

为等腰三角形，

为的中点，.

，，

即，

整理得，

.则,.

18. （1） 解 点和，

动点到,两点的距离之差的绝对值为，

点的轨迹方程是以和为焦点的双曲线，且，，

点的轨迹方程是.

（2） 点的轨迹方程是，经过点且斜率为1的直线方程为.

联立得，

设,，则，，

.故线段的长为.

C级 学科素养创新练

19. A

[解析]由双曲线的方程可知,双曲线的焦点在轴上,

设为双曲线的下焦点,为双曲线的上焦点,

过点作于点（图略）.

因为,

所以,.

由双曲线的定义可知,,所以.

因为双曲线上的点到原点的距离为,即,且,所以, ,故,.

因为,所以.所以,将代入双曲线中,即,

化简得.

又,所以,

,,,

解得或（舍去）,则,,

则该双曲线的渐近线方程为故选.