东省枣庄市滕州市张汪中学2023-2024学年九年级上学期开学检测 数学试题

这是一份东省枣庄市滕州市张汪中学2023-2024学年九年级上学期开学检测 数学试题，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年山东省枣庄市滕州市张汪中学九年级第一学期开学数学试卷
一、单选题（3*12＝36分）
1．如果方程ax2+bx+c＝0（a≠0），a+c＝b，那么方程必有一个根为（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝0 D．x＝2
2．如果关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　）
A．k＜1 B．k≠0 C．k＜1且k≠0 D．k＞1
3．用配方法解一元二次方程x2﹣8x+2＝0，此方程可化为的正确形式是（　　）
A．（x﹣4）2＝14 B．（x﹣4）2＝18 C．（x+4）2＝14 D．（x+4）2＝18
4．已知关于x的一元二次方程x2+3x+1＝0有两根为x1和x2，则x1x2+x1+x2的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
5．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则DF的值为（　　）

A． B． C． D．
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC，BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE，则△AED的面积为（　　）

A．6 B．8 C．12 D．24
7．已知多项式M═x2﹣3x﹣2，N＝x2﹣ax+3下列说法正确的个数为（　　）
①若M＝0，则代数式的值为；
②当a＝﹣3时，代数式M﹣N的最小值为﹣14；
③当a＝3时，若|M﹣2N+2|+|M﹣2N+15|＝13，则x的取值范围是．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．一个菱形的边长为5，一条对角线长是6，则该菱形的面积为（　　）
A．8 B．12 C．16 D．24
9．某商品原价121元，连续两次降价a%后售价为100元，下列所列方程正确的是（　　）
A．121（1+a%）2＝100 B．121（1﹣a%）2＝100
C．121（1﹣2a%）＝100 D．121（1﹣a2%）＝100
10．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边△CDE，BE与AC相交于点M，则下列结论中：
①BM＝DM；
②∠BEC＝∠MDC＝15°；
③∠AMD的度数是75°；
④△AMB≌△AMD≌△EMD．
正确的有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
11．现定义运算“★”：对于任意实数a、b，都有a★b＝a2﹣2a+b，如3★4＝32﹣2×3+4，若x★3＝6，则实数x的值为（　　）
A．3或﹣1 B．﹣3或1 C．±2 D．±3
12．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2+3a﹣4＝0有一个实数根是x＝0，则a的值为（　　）
A．1或﹣4 B．1 C．﹣4 D．﹣1或4
二、填空题（4*6＝24分）
13．已知关于x的方程x2+nx﹣m＝0的两个根是0和﹣2，则m+n的值为 　 　．
14．若关于x的方程（m﹣4）x|m﹣2|+2x﹣5＝0是一元二次方程，则m＝　 　．
15．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠B：∠BCD＝1：2，则对角线AC等于 　 　．

16．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为 　 　．

17．某工程队计划将一块长64m，宽40m的矩形场地建设成绿化广场如图，广场内部修建三条宽相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的80%，求小路的宽．设小路的宽为xm，则可列方程 　 　．

18．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝5，OH＝3，则菱形ABCD的面积为 　 　．

三、解答题
19．计算：
（1）2（x﹣1）2＝18；
（2）x2﹣4x﹣3＝0（配方法）；
（3）2x2﹣2x+1＝0；
（4）x（2x﹣5）＝4x﹣10．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．
21．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AB＝1，BE＝EO，求BC的长．

22．已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．

23．某商场以每件30元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于55元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间符合一次函数y＝﹣2x+140的关系．
（1）当每件售价35元时，每天的利润是多少元？
（2）该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？
（3）该商场销售这种商品每天是否能获得900元的利润？请说明理由．
24．已知正方形ABCD，点E，F分别在边BC，CD上．
（1）如图1，过点A作AG⊥AF交CB的延长线于点G，AE平分∠BAF交BC于点E．
①求证：△ADF≌△ABG；
②试判断AF，DF，BE之间的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，若∠EAF＝∠CEF＝45°，直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N，求证：EF2＝ME2+NF2．



参考答案
一、单选题（3*12＝36分）
1．如果方程ax2+bx+c＝0（a≠0），a+c＝b，那么方程必有一个根为（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝0 D．x＝2
【分析】根据题意知，当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，即：a+c＝b，由此可以判定x＝﹣1是原方程的一个根．
解：∵a﹣b+c＝0，且当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，
即：a+c＝b，
∴x＝﹣1是原方程的一个根．
故选：B．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
2．如果关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　）
A．k＜1 B．k≠0 C．k＜1且k≠0 D．k＞1
【分析】方程有两个不相等的实数根，则Δ＞0，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围．
解：由题意知：k≠0，Δ＝36﹣36k＞0，
∴k＜1且k≠0．
故选：C．
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
注意到二次项系数不等于0这一条件是解题的关键．
3．用配方法解一元二次方程x2﹣8x+2＝0，此方程可化为的正确形式是（　　）
A．（x﹣4）2＝14 B．（x﹣4）2＝18 C．（x+4）2＝14 D．（x+4）2＝18
【分析】移项，配方，即可得出选项．
解：x2﹣8x+2＝0，
x2﹣8x＝﹣2，
x2﹣8x+16＝﹣2+16，
（x﹣4）2＝14，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
4．已知关于x的一元二次方程x2+3x+1＝0有两根为x1和x2，则x1x2+x1+x2的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
【分析】由题意知，x1+x2＝﹣3，x1x2＝1，代入求解即可．
解：由题意知，x1+x2＝﹣3，x1x2＝1，
∴x1x2+x1+x2＝1﹣3＝﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于熟练掌握：一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1和x2，则，．
5．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则DF的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】由矩形的性质得∠A＝90°，AB∥CD，AD＝BC＝3，则∠ABD＝∠CDB，由折叠得∠EDB＝∠CDB，所以∠ABD＝∠EDB，则DF＝BF，由勾股定理得32+（5﹣DF）＝DF2，则DF＝，于是得到问题的答案．
解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝5，BC＝3，
∴∠A＝90°，AB∥CD，AD＝BC＝3，
∴∠ABD＝∠CDB，
由折叠得∠EDB＝∠CDB，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴DF＝BF，
∵AD2+AF2＝DF2，AF＝5﹣BF＝5﹣DF，
∴32+（5﹣DF）＝DF2，
解得DF＝，
故选：B．
【点评】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，证明DF＝BF是解题的关键．
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC，BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE，则△AED的面积为（　　）

A．6 B．8 C．12 D．24
【分析】过点A作AF⊥BD于F，根据勾股定理求出BD＝AC＝10，得到DE的长度，利用面积法求出AF即可．
解：过点A作AF⊥BD于F，

在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，
∴，
∵对角线AC，BD相交于点O，
∴，
∵E为OD的中点，
∴，
∵
∴
∴△AED的面积为
故选：A．
【点评】此题考查了矩形的性质，勾股定理，正确掌握矩形的性质及利用面积法求出AF是解题的关键．
7．已知多项式M═x2﹣3x﹣2，N＝x2﹣ax+3下列说法正确的个数为（　　）
①若M＝0，则代数式的值为；
②当a＝﹣3时，代数式M﹣N的最小值为﹣14；
③当a＝3时，若|M﹣2N+2|+|M﹣2N+15|＝13，则x的取值范围是．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】①根据x2﹣3x﹣2＝0，解方程求得x的值后求出代数式的值即可；
②当a＝﹣3时，求出M﹣N关于x的解析式是一次函数，故可判断②；
③当a＝3时求出M﹣2N，再根据绝对值的意义得出∴﹣15≤﹣x2+3x﹣8≤﹣2，再根据二次函数的性质求出x的取值范围．
解：①∵M＝0，
∴x2﹣3x﹣2＝0，
解得：x＝或x＝，
∴13x＝，
∵x2﹣3x﹣2＝0，
∴x2﹣3x﹣1＝1，
∴＝13x＝，
故①是错误的，不符合题意；
②当a＝﹣3时，
M﹣N＝（x2﹣3x﹣2）﹣（x2+3x+3）
＝﹣6x﹣5，
∴M﹣N没有最小值，
故②是错误的，不符合题意；
③当a＝3时，N＝x2﹣3x+3，
∴M﹣2N＝x2﹣3x﹣2﹣2（x2﹣3x+3）＝﹣x2+3x﹣8，
∴|M﹣2N+2|+|M﹣2N+15|＝13，
∴﹣15≤﹣x2+3x﹣8≤﹣2，
令y＝﹣x2+3x﹣8＝﹣（x﹣）2﹣，
∵﹣1＜0，
∴y有最大值﹣，
∵﹣15＜﹣＜﹣2，
当﹣x2+3x﹣8＝﹣15时，
解得x1＝，x2＝，
∴﹣x2+3x﹣8≥﹣15的解集为≤x≤，
即当|M﹣2N+2|+|M﹣2N+15|＝13时，则x的取值范围是≤x≤．
故③错误，不符合题意•．
故选：A．
【点评】本题考查了配方的应用和一元二次方程的解法，解题的关键是掌握一元二次方程的解法．
8．一个菱形的边长为5，一条对角线长是6，则该菱形的面积为（　　）
A．8 B．12 C．16 D．24
【分析】根据菱形的性质利用勾股定理求得另一条对角线，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得菱形的面积．
解：如图，当BD＝6时，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝3，
∵AB＝5，
∴AO＝＝＝4，
∴AC＝8，
∴菱形的面积是：6×8÷2＝24，
故选：D．
【点评】本题考查菱形的性质，菱形的面积公式，勾股定理，关键是掌握菱形的面积等于两条对角线的积的一半．
9．某商品原价121元，连续两次降价a%后售价为100元，下列所列方程正确的是（　　）
A．121（1+a%）2＝100 B．121（1﹣a%）2＝100
C．121（1﹣2a%）＝100 D．121（1﹣a2%）＝100
【分析】根据原价及经两次降价后的价格，即可得出关于a的一元二次方程，此题得解．
解：根据题意可得，
100（1﹣a%）2＝121，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边△CDE，BE与AC相交于点M，则下列结论中：
①BM＝DM；
②∠BEC＝∠MDC＝15°；
③∠AMD的度数是75°；
④△AMB≌△AMD≌△EMD．
正确的有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据正方形的性质得：BC＝DC，∠BCA＝∠DCA＝45°，依据“SAS”可判定△BCM和△DCM全等，从而可以结论①进行判定；
根据等边三角形和正方形的性质可证∠BEC＝∠EBC，∠BCE＝150°，据此可求出∠BEC＝15°，再根据△BCM和△DCM全等得：∠MBC＝∠MDC，据此可对结论②进行判定；
由∠MDC＝15°，∠DCA＝45°可求出∠AMD的度数，据此可对结论③进行判定；
由AB＝AD，∠BAM＝∠DAM＝45°可依据“SAS”判定△AMB和△AMD全等，由AD＝ED，∠ADM＝∠EDM＝75°可依据“SAS”判定△AMD和△EMD全等，据此可对结论④进行判定．
解：∵四边形ABCD为正方形，AC为对角线，
∴BC＝DC，∠BCA＝∠DCA＝45°，BC＝DC，∠BCD＝90°，
在△BCM和△DCM中，
，
∴△BCM≌△DCM（SAS），
∴BM＝DM，故结论①正确；
∵△CDE为等边三角形，
∴∠DCE＝60°，DC＝CE，
∴BC＝CE，
∴∠BEC＝∠EBC，
∵∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝90°+60°＝150°，
∴°，
∵△BCM≌△DCM，
∴∠MBC＝∠MDC，
即：∠BEC＝∠MDC＝15°；故结论②正确；
∵∠MDC＝15°，∠DCA＝45°，
∴∠AMD＝∠MDC+∠DCA＝60°，故结论③不正确；
在△AMB和△AMD中，
，
∴△AMB≌△AMD（SAS），
∵四边形ABCD为正方形，△CDE为等边三角形，
∴AD＝ED，∠ADC＝90°，∠EDC＝60°，
∵∠MDC＝15°，
∴∠ADM＝∠ADC﹣∠MDC＝75°，∠EDM＝∠MDC+∠EDC＝75°，
∴∠ADM＝∠EDM＝75°，
在△AMD和△EMD中，
，
∴△AMD≌△EMD（SAS），
∴△AMB≌△AMD≌△EMD，故结论④正确，
综上所述：正确的结论是①②④，共有3个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定等知识点，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定，理解正方形和等边三角形的性质．
11．现定义运算“★”：对于任意实数a、b，都有a★b＝a2﹣2a+b，如3★4＝32﹣2×3+4，若x★3＝6，则实数x的值为（　　）
A．3或﹣1 B．﹣3或1 C．±2 D．±3
【分析】首先根据新定义有a★b＝a2﹣2a+b把x★3＝6转化为x2﹣2x+3＝6，然后利用因式分解法解一元二次方程即可．
解：∵对于任意实数a、b，都有a★b＝a2﹣2a+b，如3★4＝32﹣2×3+4，
∴x★3＝x2﹣2x+3，
∵x★3＝6，
∴x2﹣2x+3＝6，
∴x2﹣2x﹣3＝0
∴x1＝﹣1，x2＝3．
故选：A．
【点评】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是掌握新定义a★b＝a2﹣2a+b，此题难度不大．
12．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2+3a﹣4＝0有一个实数根是x＝0，则a的值为（　　）
A．1或﹣4 B．1 C．﹣4 D．﹣1或4
【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解．
解：（1）∵x＝0是方程的根，由一元二次方程的根的定义，可得a2+3a﹣4＝0，解此方程得到a1＝﹣4，a2＝1；
（2）∵原方程是一元二次方程，∴二次项系数a﹣1≠0，即a≠1；
综合上述两个条件，a＝﹣4，
故选：C．
【点评】本题逆用一元二次方程解的定义易得出a的值，但不能忽视一元二次方程成立的条件a﹣1≠0，因此在解题时要重视解题思路的逆向分析．
二、填空题（4*6＝24分）
13．已知关于x的方程x2+nx﹣m＝0的两个根是0和﹣2，则m+n的值为 　2　．
【分析】根据一元二次方程解的定义，将两个根是0和﹣2代入关于x的方程x2+nx﹣m＝0中，可得到关于n、m的二元一次方程组，解之即可解答．
解：∵关于x的方程x2+nx﹣m＝0的两个根是0和﹣2，
∴，
解得：，
∴m+n＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，根据定义得出二元一次方程组是解题的关键．
14．若关于x的方程（m﹣4）x|m﹣2|+2x﹣5＝0是一元二次方程，则m＝　0　．
【分析】根据一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数，可得答案．
解：∵方程（m﹣4）x|m﹣2|+3x+5＝0是一元二次方程，
∴，
解得m＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
15．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠B：∠BCD＝1：2，则对角线AC等于 　5　．

【分析】根据题意可得出∠B＝60°，结合菱形的性质可得BA＝BC，判断出△ABC是等边三角形，即可得到AC的长．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B+∠BCD＝180°，AB＝BC，
∵∠B：∠BCD＝1：2，
∴∠B＝180°×＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝5．
故答案为：5．
【点评】此题考查了菱形的性质及等边三角形的判定与性质，根据菱形的性质判断出△ABC是等边三角形是解答本题的关键．
16．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为 　20　．

【分析】根据题意可知OM是△ADC的中位线，所以OM的长可求；根据勾股定理可求出AC的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出BO的长，进而求出四边形ABOM的周长．
解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，
∴OM＝CD＝AB＝2.5，
∵AB＝5，AD＝12，
∴AC＝＝13，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴BO＝AC＝6.5，
∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM＝5+6+6.5+2.5＝20，
故答案为：20．
【点评】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，题目的综合性很好，难度不大．
17．某工程队计划将一块长64m，宽40m的矩形场地建设成绿化广场如图，广场内部修建三条宽相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的80%，求小路的宽．设小路的宽为xm，则可列方程 　（64﹣2x）（40﹣x）＝64×40×80%　．

【分析】根据矩形的面积公式结合绿化区域的面积为广场总面积的80%，即可得出关于x的一元二次方程．
解：设小路的宽为x米，则绿化区域的长为（64﹣2x）米，宽为（40﹣x）米，
根据题意得，（64﹣2x）（40﹣x）＝64×40×80%，
故答案为：（64﹣2x）（40﹣x）＝64×40×80%．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找准等量关系，是正确列出一元二次方程的关键．
18．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝5，OH＝3，则菱形ABCD的面积为 　30　．

【分析】由菱形的性质得OA＝OC＝5，OB＝OD，AC⊥BD，则AC＝10，再由直角三角形斜边上的中线性质求出BD的长度，然后由菱形的面积公式求解即可．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝5，OB＝OD，AC⊥BD，
∴AC＝10，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∵BD是斜边上的中线，
∴BD＝2OH＝2×3＝6，
∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×10×6＝30，
故答案为：30．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，菱形的面积公式等知识；熟练掌握菱形的性质，求出BD的长是解题的关键．
三、解答题
19．计算：
（1）2（x﹣1）2＝18；
（2）x2﹣4x﹣3＝0（配方法）；
（3）2x2﹣2x+1＝0；
（4）x（2x﹣5）＝4x﹣10．
【分析】（1）方程整理后，利用直接开平方法解答即可；
（2）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
（3）根据完全平方公式和直接开平方法解答即可；
（4）方程利用因式分解法求解即可．
解：（1）2（x﹣1）2﹣18＝0，
2（x﹣1）2＝18，
（x﹣1）2＝9，
x﹣1＝±3，
x＝1±3，
解得x1＝4，x2＝﹣2；
（2）x2﹣4x﹣3＝0，
x2﹣4x＝3，
配方得：x2﹣4x+4＝3+4，
（x﹣2）2＝7，
开方得：x﹣2＝±，
解得：x1＝2+，x2＝2﹣；
（3）2x2﹣2x+1＝0，
（x﹣1）2＝0，
解得：x1＝x2＝；
（4）x（2x﹣5）＝4x﹣10，
x（2x﹣5）＝2（2x﹣5），
x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，
（2x﹣5）（x﹣2）＝0，
2x﹣5＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝，x2＝2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，直接开平方法，完全平方公式，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．
【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ≥0，然后利用根的判别式的意义得到结论；
（2）设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得1+t＝m+2，1×t＝2m，然后解方程组求出m和t即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+2）2﹣4×2m
＝（m﹣2）2≥0，
∴不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）解：设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得1+t＝m+2①，1×t＝2m②，
②﹣①得﹣1＝m﹣2，
解得m＝1，
把m＝1代入②得t＝2，
所以m的值为1，方程的另一个根为2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．
21．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AB＝1，BE＝EO，求BC的长．

【分析】（1）由矩形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，证明△ABE≌△CDF（AAS），由全等三角形的性质得出AE＝CF，由平行四边形的判定可得出结论；
（2）根据垂直平分线的性质可得AO＝AB＝1，然后根据勾股定理即可求出BC的长，
【解答】（1）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，∠AEB＝∠DFC＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠FDC，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝2AO，
∵AE⊥BO，BE＝EO，
∴AO＝AB＝1，
∴AC＝2，
∴BC＝＝＝．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，熟记各性质与平行四边形的判定是解题的关键．
22．已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．

【分析】（1）由菱形的性质得出∠B＝∠D，AB＝BC＝DC＝AD，由已知和三角形中位线定理证出AE＝BE＝DF＝AF，OF＝DC，OE＝BC，OE∥BC，由SAS证明△BCE≌△DCF即可；
（2）由（1）得：AE＝OE＝OF＝AF，证出四边形AEOF是菱形，再证出∠AEO＝90°，四边形AEOF是正方形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，AB＝BC＝DC＝AD，
∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，
∴AE＝BE＝DF＝AF，OF＝DC，OE＝BC，OE∥BC，
在△BCE和△DCF中，，
∴△BCE≌△DCF（SAS）；
（2）解：当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形，理由如下：
由（1）得：AE＝OE＝OF＝AF，
∴四边形AEOF是菱形，
∵AB⊥BC，OE∥BC，
∴OE⊥AB，
∴∠AEO＝90°，
∴四边形AEOF是正方形．
【点评】本题考查了正方形的判定、菱形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定是解决问题的关键．
23．某商场以每件30元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于55元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间符合一次函数y＝﹣2x+140的关系．
（1）当每件售价35元时，每天的利润是多少元？
（2）该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？
（3）该商场销售这种商品每天是否能获得900元的利润？请说明理由．
【分析】（1）利用每天的利润＝每件的销售利润×每天的销售量，即可求出结论；
（2）利用每天的利润＝每件的销售利润×每天的销售量，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（3）假设能，利用每天的利润＝每件的销售利润×每天的销售量，可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣200＜0，可得出该方程没有实数根，假设不成立，即该商场销售这种商品每天不能获得900元的利润．
解：（1）当x＝35时，（x﹣30）（﹣2x+140）＝（35﹣30）×（﹣2×35+140）＝350．
答：当每件售价35元时，每天的利润是350元；
（2）根据题意得：（x﹣30）（﹣2x+140）＝600，
整理得：x2﹣100x+2400＝0，
解得：x1＝40，x2＝60（不符合题意，舍去）．
答：每件商品的售价应定为40元；
（3）该商场销售这种商品每天不能获得900元的利润，理由如下：
假设能，根据题意得：（x﹣30）（﹣2x+140）＝900，
整理得：x2﹣100x+2550＝0，
∵Δ＝（﹣100）2﹣4×1×2550＝﹣200＜0，
∴该方程没有实数根，
∴假设不成立，即该商场销售这种商品每天不能获得900元的利润．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．已知正方形ABCD，点E，F分别在边BC，CD上．
（1）如图1，过点A作AG⊥AF交CB的延长线于点G，AE平分∠BAF交BC于点E．
①求证：△ADF≌△ABG；
②试判断AF，DF，BE之间的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，若∠EAF＝∠CEF＝45°，直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N，求证：EF2＝ME2+NF2．

【分析】（1）①根据正方形的性质得出AB＝AD，进而理由ASA证明△ADF与△ABG全等即可；
②先由∠BAG+∠BAE＝∠DAF+∠FAE得∠GAE＝∠DAE，则AF＝AG＝EG＝BG+BE＝DF+BE；
（2）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连接GM．由（1）知△AEG≌△AEF，则EG＝EF．再由△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，得出CE＝CF，BE＝BM，NF＝DF，然后证明∠GME＝90°，MG＝NF，利用勾股定理得出EG2＝ME2+MG2，等量代换即可证明EF2＝ME2+NF2．
【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，
∴∠ABG＝180°﹣∠ABC＝90°，
∴∠ABG＝∠D，
∵AG⊥AF，
∴∠GAF＝90°，
∴∠BAG＝∠DAF＝90°﹣∠BAF，
在△AGB和△AFD中，
，
∴△AGB≌△AFD（ASA）．
②解：AF＝DF+BE，理由如下：
∵∠BAG＝∠DAF，∠BAE＝∠FAE，
∴∠BAG+∠BAE＝∠DAF+∠FAE，
∴∠GAE＝∠DAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠GEA，
∴∠GAE＝∠GEA，
∴AF＝AG＝EG＝BG+BE＝DF+BE；
（2）证明：将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连接GM．

由（1）可知：△ADF≌△ABG，DF＝BG．
由（1）知△AEG≌△AEF，
∴EG＝EF．
∵∠CEF＝45°，
∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，
∴CE＝CF，BE＝BM，NF＝DF，
∴a﹣BE＝a﹣DF，
∴BE＝DF，
∴BE＝BM＝DF＝BG，
∴∠BMG＝45°，
∴∠GME＝45°+45°＝90°，
∴EG2＝ME2+MG2，
∵EG＝EF，MG＝BM＝DF＝NF，
∴EF2＝ME2+NF2．
【点评】本题是四边形综合题，其中涉及到正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．