山东省枣庄市滕州市东郭中学2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷

这是一份山东省枣庄市滕州市东郭中学2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年山东省枣庄市滕州市东郭中学九年级第一学期开学数学试卷
一、单选题（3*12＝36分）
1．方程x2＝x的解是（　　）
A．1 B．0 C．0或1 D．无实数解
2．若a为方程x2+2x﹣4＝0的解，则﹣a2﹣2a的值为（　　）
A．2 B．4 C．﹣4 D．﹣12
3．某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（　　）
A．200+200（1+x）+200（1+x）2＝1000
B．200（1+x）2＝1000
C．200+200•3•x＝1000
D．200+200•2•x＝1000
4．若关于x的方程kx2﹣3x﹣＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A．k＝0 B．k≥﹣1且k≠0 C．k≥﹣1 D．k＞﹣1
5．若方程x2+px+q＝0的根是2和3，那么代数式x2﹣px+q可分解因式为（　　）
A．（x﹣2）（x﹣3） B．（x+2）（x+3） C．（x+2）（x﹣3） D．（x﹣2）（x+3）
6．根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（　　）
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
﹣0.06
﹣0.02
0.03
0.09
A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
7．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有（　　）

A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠1＝∠2
8．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+1＝0的两个实数根是x1，x2，且x12+x22＝24，则k的值是（　　）
A．8 B．﹣7 C．6 D．5
9．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为AD的中点，若OE＝2，则菱形ABCD的周长是（　　）

A．8 B．12 C．16 D．20
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，M为EF的中点，则AM的最小值是（　　）
​

A． B． C． D．
11．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，OA＝6，则BE的长为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
12．如图，菱形ABCD的对角线交于原点O，，．将菱形绕原点点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题
13．若把代数式x2﹣2x﹣3化为（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k＝　 　．
14．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣15＝0，则代数式x2﹣x的值是 　 　．
15．如图，正方形ABCD，点A在直线l上，点B到直线l的距离为3，点D到直线l的距离为2，则正方形的边长为 　 　．

16．定义一种新运算“*”，a*b＝ab+a+b，例如：1*2＝1×2+1+2．若x*（x+4）＝116，则x的值为 　 　．
17．如图，正方形ABCD，∠EAF＝45°，∠EAF的两边分别交边BC，DC于点E、F，若BE＝2，DF＝3，则AF的长为 　 　．

18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AB的中点，则CD的长为 　 　．

三、解答题
19．解下列方程：
（1）（3x﹣1）2＝2（3x﹣1）；
（2）2x2﹣4x+1＝0．
20．关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两实数根x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1•x2，求k的值．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由）

22．如图：在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若BF＝16，DF＝8，求CD的长．

23．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，CE垂直于AB边的延长线于点E，CF垂直于AD边的延长线于点F，且CE＝CF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）当AB：AE＝3：5，CE＝5时，求菱形ABCD的面积．

24．某商城在2021年端午节期间促销海尔冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000元．
（1）商城举行了“新老用户粽是情”摸奖活动，中奖者商城将冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率；
（2）市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商城要想使海尔冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？


参考答案
一、单选题（3*12＝36分）
1．方程x2＝x的解是（　　）
A．1 B．0 C．0或1 D．无实数解
【分析】解方程x2＝x，先将x移项到等号的左边，使右边为0，再分解因式，计算．
解：∵x2＝x
∴x2﹣x＝0
∴x（x﹣1）＝0
∴x＝0或1．故选：C．
【点评】解方程x2＝x，一般不用方程两边都除以x来计算，容易漏掉x＝0这个解．
建议都移项到等号的另一边，使等号的一边为0，再解方程．
2．若a为方程x2+2x﹣4＝0的解，则﹣a2﹣2a的值为（　　）
A．2 B．4 C．﹣4 D．﹣12
【分析】将x＝a代入原方程，可得出a2+2a＝4，进而可求出﹣a2﹣2a的值．
解：将x＝a代入原方程得a2+2a﹣4＝0，
∴a2+2a＝4，
∴﹣a2﹣2a＝﹣（a2+2a）＝﹣1×4＝﹣4．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，将方程的解代入原方程，找出a2+2a＝4是解题的关键．
3．某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（　　）
A．200+200（1+x）+200（1+x）2＝1000
B．200（1+x）2＝1000
C．200+200•3•x＝1000
D．200+200•2•x＝1000
【分析】根据平均每月增长率为x，可求二月、三月的营业额，利用一月、二月、三月的营业额共1000万元，可建立方程．
解：由题意，二月的营业额为200（1+x），三月的营业额为200（1+x）2，
∵一月、二月、三月的营业额共1000万元，
∴200+200（1+x）+200（1+x）2＝1000，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
4．若关于x的方程kx2﹣3x﹣＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A．k＝0 B．k≥﹣1且k≠0 C．k≥﹣1 D．k＞﹣1
【分析】讨论：当k＝0时，方程化为﹣3x﹣＝0，方程有一个实数解；当k≠0时，Δ＝（﹣3）2﹣4k•（﹣）≥0，然后求出两个种情况下的k的公共部分即可．
解：当k＝0时，方程化为﹣3x﹣＝0，解得x＝﹣；
当k≠0时，Δ＝（﹣3）2﹣4k•（﹣）≥0，解得k≥﹣1，
所以k的范围为k≥﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
5．若方程x2+px+q＝0的根是2和3，那么代数式x2﹣px+q可分解因式为（　　）
A．（x﹣2）（x﹣3） B．（x+2）（x+3） C．（x+2）（x﹣3） D．（x﹣2）（x+3）
【分析】由方程x2+px+q＝0的根是2和3，知x2+px+q＝（x﹣2）（x﹣3），据此得出p、q的值，再进一步求解即可．
解：∵方程x2+px+q＝0的根是2和3，
∴x2+px+q＝（x﹣2）（x﹣3），
则x2+px+q＝x2﹣5x+6，
∴p＝﹣5，q＝6，
∴x2﹣px+q
＝x2+5x+6
＝（x+2）（x+3），
故选：B．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
6．根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（　　）
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
﹣0.06
﹣0.02
0.03
0.09
A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
【分析】利用x＝3.24，ax2+bx+c＝﹣0.02，而x＝3.25，ax2+bx+c＝0.03，则可判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
解：∵x＝3.24，ax2+bx+c＝﹣0.02，
x＝3.25，ax2+bx+c＝0.03，
∴3.24＜x＜3.25时，ax2+bx+c＝0，
即方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
故选：C．
【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．
7．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有（　　）

A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠1＝∠2
【分析】根据平行四边形的性质．菱形的判定方法即可一一判断．
解：A、正确．对角线垂直的平行四边形的菱形．
B、正确．邻边相等的平行四边形是菱形．
C、错误．对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形．
D、正确．可以证明平行四边形ABCD的邻边相等，即可判定是菱形．
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法．
8．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+1＝0的两个实数根是x1，x2，且x12+x22＝24，则k的值是（　　）
A．8 B．﹣7 C．6 D．5
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到，两根之和与两根之积，代入已知条件中，求得k的值．
解：由根与系数的关系可知：x1+x2＝﹣＝6，
x1•x2＝＝k+1，
∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝36﹣2（k+1）＝24，
解之得k＝5．故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要会代数式变形为两根之积或两根之和的形式．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
9．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为AD的中点，若OE＝2，则菱形ABCD的周长是（　　）

A．8 B．12 C．16 D．20
【分析】由菱形的性质得AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD，再由直角三角形斜边上的中线性质得AD＝2OE＝4，即可得出结论．
解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD，
∴∠AOD＝90°，
∵OE＝2，点E为线段AD的中点，
∴AD＝2OE＝4，
∴菱形的周长＝4AD＝4×4＝16，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，掌握菱形的性质，由直角三角形斜边上的中线性质求出AD的长是解题的关键．
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，M为EF的中点，则AM的最小值是（　　）
​

A． B． C． D．
【分析】连接MP，根据矩形的判定和性质得出EF＝AP，根据当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小，利用勾股定理解答即可．
解：连接MP．
∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝10，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF＝AP，EF与AP互相平分，
∵M是EF的中点，
∴M为AP的中点，
∴AM＝AP，
∵AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短，
∴当AP⊥BC时，AP＝＝4.8，
∴AP最短时，AP＝4.8，
∴当AM最短时，AM＝AP＝2.4．
即AM的最小值为2.4．
故选：B．

【点评】此题考查矩形的判定和性质，关键是根据矩形的判定和性质得出EF＝AP解答．
11．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，OA＝6，则BE的长为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】根据矩形的性质得出∠BAE＝∠EAD＝45°，AD∥BC，OA＝OB＝6，证出∠AEB＝∠EAD＝45°，得出BE＝BA．证出△OAB为等边三角形，得出BO＝BA＝6，则可得出答案．
解：在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝45°，AD∥BC，OA＝OB＝6，
∴∠AEB＝∠EAD＝45°，
∴BE＝BA．
∵∠CAE＝15°，∠BAE＝45°，
∴∠BAC＝60°，
又∵OA＝OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴BO＝BA＝6，
∴BO＝BE＝6．
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形和等腰三角形的判定及三角形的内角和等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
12．如图，菱形ABCD的对角线交于原点O，，．将菱形绕原点点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（　　）

A． B． C． D．
【分析】菱形的对角线相互垂直，根据点的坐标求出旋转第一次、第二次、第三次后对应的点坐标，4次一个循环，即可得出答案．
解：∵A（﹣2，2），B（﹣1，﹣）．
∴OA＝＝4，tan∠BOE＝＝，
∴∠BOE＝60°，
∵菱形ABCD的对角线交于原点O，
∴BD⊥AC，OC＝OA＝3，∠DOF＝∠BOE＝60°，
此时，C点坐标是（2，﹣2），
由题意，每次旋转角为90°，
∴逆时针旋转第1次后C1坐标为（4cos60°，4sin60°），即（2，2），
逆时针旋转第2次后C2坐标为（﹣2，2），
逆时针旋转第3次后C3坐标为（﹣2，﹣2），
逆时针旋转第4次后D4坐标为（2，﹣2），
2023次旋转，4次一个循环，
2023÷4＝505...3，
等同于C3，
∴点C坐标为（﹣2，﹣2），
故选：C．

【点评】本题考查了菱形的性质、锐角三角函数、直角三角形的性质、坐标与图形的性质、规律型、旋转等知识，熟练掌握菱形的性质，找出点C的坐标规律是解题的关键．
二、填空题
13．若把代数式x2﹣2x﹣3化为（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k＝　﹣3　．
【分析】根据完全平方公式的结构，按照要求x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣4＝（x﹣1）2﹣4，可知m＝1．k＝﹣4，则m+k＝﹣3．
解：∵x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣4＝（x﹣1）2﹣4，
∴m＝1，k＝﹣4，
∴m+k＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查完全平方公式的变形，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
14．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣15＝0，则代数式x2﹣x的值是 　5　．
【分析】已知方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0求出所求式子的值即可．
解：已知方程分解因式得：（x2﹣x﹣5）（x2﹣x+3）＝0，
可得x2﹣x﹣5＝0或x2﹣x+3＝0（无解），
∴x2﹣x＝5．
故答案为：5．
【点评】此题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解本题的关键．
15．如图，正方形ABCD，点A在直线l上，点B到直线l的距离为3，点D到直线l的距离为2，则正方形的边长为 　　．

【分析】作DE⊥l于点E，BF⊥l于点F，则BF＝3，DE＝2，可证明△DAE≌△ABF，得AE＝BF＝3，则AD＝＝，于是得到问题的答案．
解：作DE⊥l于点E，BF⊥l于点F，则∠DEA＝∠AFB＝90°，
∵点B到直线l的距离为3，点D到直线l的距离为2，
∴BF＝3，DE＝2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BA，∠DAB＝90°，
∴∠DAE＝∠ABF＝90°﹣∠BAF，
在△DAE和△ABF中，
，
∴△DAE≌△ABF（AAS），
∴AE＝BF＝3，
∴AD＝＝＝，
故答案为：．

【点评】此题重点考查正方形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
16．定义一种新运算“*”，a*b＝ab+a+b，例如：1*2＝1×2+1+2．若x*（x+4）＝116，则x的值为 　8或﹣14　．
【分析】根据定义的新运算得出一元二次方程，利用因式分解法解方程即可．
解：由题意得x*（x+4）＝x（x+4）+x+（x+4）＝116，
整理得：x2+6x﹣112＝0，
因式分解得：（x﹣8）（x+14）＝0，
所以x﹣8＝0或x+14＝0，
所以x＝8或x＝﹣14，
故答案为：8或﹣14．
【点评】本题考查了新定义，解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键．
17．如图，正方形ABCD，∠EAF＝45°，∠EAF的两边分别交边BC，DC于点E、F，若BE＝2，DF＝3，则AF的长为 　3　．

【分析】延长CB到点G，使BG＝DF，根据正方形的性质利用SAS证明△ABG≌△ADF，△GAE≌△FAE，根据全等三角形的性质推出GE＝FE，设正方形ABCD的边长为a，根据勾股定理求出a＝6，再根据勾股定理求解即可．
解：如图，延长CB到点G，使BG＝DF，

正方形ABCD中，AB＝AD，∠D＝∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴∠ABG＝90°＝∠D，
又AB＝AD，BG＝DF，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠BAE＝∠BAG+∠BAE＝∠EAG＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EAG＝∠EAF，
又AG＝AF，AE＝AE，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴GE＝FE，
∵GE＝BG+BE＝DF+BE，
∴FE＝DF+BE＝2+3＝5，
设正方形ABCD的边长为a，
∴CE＝BC﹣CE＝a﹣2，CF＝CD﹣DF＝a﹣3，
∵FE2＝CE2+CF2，
∴52＝（a﹣2）2+（a﹣3）2，
∴a＝﹣1（舍去）或a＝6，
∴AF＝＝＝3，
故答案为：3．
【点评】此题考查了正方形的性质，熟记正方形的性质是解题的关键．
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AB的中点，则CD的长为 　5　．

【分析】先运用勾股定理求出斜边AB的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出CD的长．
解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝10，
又∵D为AB的中点，
∴CD＝AB＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了勾股定理及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，比较简单．
三、解答题
19．解下列方程：
（1）（3x﹣1）2＝2（3x﹣1）；
（2）2x2﹣4x+1＝0．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用配方法求解即可．
解：（1）∵（3x﹣1）2＝2（3x+1），
∴（3x﹣1）2﹣2（3x+1）＝0，
∴（3x﹣1）（3x﹣3）＝0，
则3x﹣1＝0或3x﹣3＝0，
解得x1＝，x2＝1；
（2）∵2x2﹣4x+1＝0，
∴2x2﹣4x＝﹣1，
∴x2﹣2x＝﹣，
∴x2﹣2x+1＝﹣+1，
（x﹣1）2＝，
∴x﹣1＝±，
解得x1＝1+，x2＝1﹣．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20．关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两实数根x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1•x2，求k的值．
【分析】（1）利用判别式的意义得到Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2+1）＞0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2+1，则判断x1＜0，x2＜0，则由|x1|+|x2|＝x1•x2得到﹣（x1+x2）＝x1•x2，所以﹣（2k﹣1）＝k2+1，然后解关于k的方程即可得到满足条件的k的值．
解：（1）根据题意得Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2+1）＞0，
解得k＜﹣；
（2）x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2+1，
∵k＜﹣，
∴x1+x2＝2k﹣1＜0，
而x1x2＝k2+1＞0，
∴x1＜0，x2＜0，
∵|x1|+|x2|＝x1•x2，
∴﹣（x1+x2）＝x1•x2，即﹣（2k﹣1）＝k2+1，
整理得k2+2k＝0，解得k1＝0，k2＝﹣2，
而k＜﹣，
∴k＝﹣2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了判别式的值．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由）

【分析】（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD＝BD，根据菱形的判定推出即可；
（3）当∠A＝45°，四边形BECD是正方形．
【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD；

（2）解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝BD，
∴四边形BECD是菱形；

（3）解：当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，
理由：∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°，
由（2）可知，四边形BECD是菱形，
∴∠ABC＝∠CBE＝45°，
∴∠DBE＝90°，
∴四边形BECD是正方形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，正方形的判定、直角三角形的性质的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．如图：在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若BF＝16，DF＝8，求CD的长．

【分析】（1）由CF＝BE，可得EF＝BC，即EF＝AD，结合AD∥BC，可得四边形AEFD是平行四边形，再结合AE⊥BC，可得平行四边形AEFD是矩形；
（2）在菱形ABCD中，BC＝CD，可得CF＝BF﹣BC＝16﹣CD，在Rt△CFD中，有，即可求解．
解：（1）在菱形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝CD＝AB，
∵CF＝BE，
∴CF+EC＝BE+EC，
∴EF＝BC，
∴EF＝AD，
∵AD∥BC，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴平行四边形AEFD是矩形；
（2）在菱形ABCD中，BC＝CD，
∵BF＝16，
∴CF＝BF﹣BC＝16﹣CD，
∵在矩形AEFD中，∠F＝90°，
∵DF＝8，
∴在Rt△CFD中，，
解得：CD＝10．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握菱形的性质是解答本题的关键．
23．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，CE垂直于AB边的延长线于点E，CF垂直于AD边的延长线于点F，且CE＝CF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）当AB：AE＝3：5，CE＝5时，求菱形ABCD的面积．

【分析】（1）根据角平分线的性质可得AC是∠DAC的平分线，再根据平行四边形的性质证明AD＝CD，进而可得平行四边形ABCD是菱形；
（2）设AB＝3x，BE＝2x，根据勾股定理求出x的值，进而根据菱形的面积公式即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵CE⊥AE，CF⊥AF，CE＝CF，
∴AC是∠DAB的平分线，
∴∠FAC＝∠EAC，
在平行四边形ABCD中，CD∥AB，
∴∠DCA＝∠EAC，
∴∠DCA＝∠FAC，
∴AD＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵AB：AE＝3：5，
设AB＝3x，则AE＝5x，
∴BE＝2x，
在菱形ABCD中，BC＝AB＝3x，
在Rt△EBC中，CE＝5，
由勾股定理得：BC2＝BE2+CE2，
∴52+4x2＝9x2，
解得x＝（负值舍去），
∴AB＝3x＝3，
∴菱形ABCD的面积＝AB•CE＝3×5＝15．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质，等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
24．某商城在2021年端午节期间促销海尔冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000元．
（1）商城举行了“新老用户粽是情”摸奖活动，中奖者商城将冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率；
（2）市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商城要想使海尔冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？
【分析】（1）设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是60（1﹣x）元，第二次后的价格是60（1﹣x）2元，据此即可列方程求解；
（2）假设下调a个50元，销售利润＝一台冰箱的利润×销售冰箱数量，一台冰箱的利润＝售价﹣进价，降低售价的同时，销售量就会提高，“一减一加”，根据每台的盈利×销售的件数＝5000元，即可列方程求解．
解：（1）设每次降价的百分率为x，
依题意得：3000（1﹣x）2＝2430，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）
答：每次降价的百分率是10%；

（2）假设下调a个50元，依题意得：5000＝（2900﹣2500﹣50a）（8+4a）．
解得a1＝a2＝3．
所以下调150元，因此定价为2750元．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程．