2022-2023学年广西柳州市鹿寨中学九年级（上）开学数学试卷（C卷）（含解析）

这是一份2022-2023学年广西柳州市鹿寨中学九年级（上）开学数学试卷（C卷）（含解析），共25页。试卷主要包含了若y＝﹣3，则x+y＝，下列各组数据为勾股数的是，抛物线y＝2，下列各式中，运算正确的是，方程，抛物线y＝x2+3上有两点A，已知一次函数y＝等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年广西柳州市鹿寨中学九年级第一学期开学数学试卷（C卷）
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．若y＝﹣3，则x+y＝（　　）
A．1 B．5 C．﹣5 D．﹣1
2．下列各组数据为勾股数的是（　　）
A．，， B．1，， C．5，12，13 D．2，3，4
3．若样本x1，x2，x3，…xn的平均数为18，方差为2，则对于样本x1+2，x2+2，x3+2，…xn+2，下列结论正确的是（　　）
A．平均数为20，方差为2 B．平均数为20，方差为4
C．平均数为18，方差为2 D．平均数为18，方差为4
4．抛物线y＝2（x+9）2﹣3的顶点坐标是（　　）
A．（ 9，3） B．（9，﹣3） C．（﹣9，3） D．（﹣9，﹣3）
5．下列各式中，运算正确的是（　　）
A．＝±6 B．×＝9 C．3﹣＝3 D．÷＝3
6．方程（x+1）2＝9的解为（　　）
A．x1＝2，x2＝﹣4 B．x1＝﹣2，x2＝4
C．x1＝4，x2＝2 D．x1＝﹣2，x2＝﹣4
7．抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是（　　）
A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0
C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不对
8．某校举办“汉字听写大赛”，7名学生进入决赛，他们所得分数互不相同，比赛共设3个获奖名额，某学生知道自己的分数后，要判断自己能否获奖，他应该关注的统计量是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
9．已知一次函数y＝（2+m）x+m2﹣4的图象过原点，则m的值为（　　）
A．0 B．2 C．﹣1 D．±2
10．如图，在正方形ABCD的内侧，作等边三角形ADE，则∠AEB的度数是（　　）

A．60° B．65° C．70° D．75°
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE，则DE的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，有下列4个结论：①abc＞0；②a+c＞b；③4a+2b+c＞0；④a+b≥am2+bm（m是任意实数）．其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．计算：＝　 　．
14．某公司欲招聘职员，对应聘者进行三项测试：语言、创新、综合知识，并按测试得分1：3：2的比例确定测试总分，已知某位应聘者三项得分（单位：分）分别为86，72，50，则这位应聘者的测试总分为　 　．
15．若关于x的一元二次方程ax2﹣4x+2＝0有两个实数根，则a的取值范围是 　 　．
16．已知矩形ABCD的对角线交于点O，若AB：AC＝：2，则∠AOB的度数为　 　．
17．等边△ABC的边长为2，点D在射线CB上，点E在射线AC上，AD＝AE，∠EDC＝15°，则线段CD的长为　 　．
18．在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点C（4，0），B（6，2），直线y＝4x+1以每秒2个单位的速度向下平移，经过　 　秒该直线可将平行四边形OABC的面积平分．

三．解答题（共8小题，满分26分）
19．解一元二次方程：x2﹣x﹣1＝0．
20．某养鸡场有2500只鸡准备对外出售．从中随机抽取了一部分鸡，根据它们的质量（单位：kg），绘制出如下的统计图1和图2．

请根据相关信息，解答下列问题：
（1）图1中m的值为　 　；
（2）求统计的这组数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据样本数据，估计这2500只鸡中，质量为2.0kg的约多少只？
21．一次函数y＝2x+a的图象与x轴交于点（2，0），
（1）求出a的值；
（2）将该一次函数的图象向上平移5个单位长度，求平移后的函数解析式．
22．如图，菱形ABCD的边AB＝5cm，对角线AC＝8cm，求另一对角线BD的长．

23．如图，直线y＝kx+b经过点A（5，0），B（1，4）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若直线y＝2x﹣4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；
（3）根据图象，直接写出关于x的不等式2x﹣4≥kx+b的解集．

24．如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）求证：四边形EBFD是平行四边形．

25．某钢铁厂计划今年第一季度一月份的总产量为500t，三月份的总产量为720t，若平均每月的增长率相同．
（1）第一季度平均每月的增长率；
（2）如果第二季度平均每月的增长率保持与第一季度平均每月的增长率相同，请你估计该厂今年5月份总产量能否突破1000t？
26．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），连接BC．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是第三象限抛物线上一点，直线PE与y轴交于点D，△BCD的面积为12，求点P的坐标．
（3）在（2）的条件下，若点E是线段BC上点，连接OE，将△OEB沿直线OE翻折得到△OEB'，当直线EB'与直线BP相交所成锐角为45°时，求点B'的坐标．



参考答案
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．若y＝﹣3，则x+y＝（　　）
A．1 B．5 C．﹣5 D．﹣1
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求得x＝2，则y＝﹣3，代入求值即可．
解：由题意，得
解得x＝2，
所以y＝﹣3，
所以x+y＝2﹣3＝﹣1．
故选：D．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2．下列各组数据为勾股数的是（　　）
A．，， B．1，， C．5，12，13 D．2，3，4
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
解：A、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故错误；
B、12+（）2＝（）2，能构成直角三角形，但不是整数，故错误；
C、122+52＝132，能构成直角三角形，故正确；
D、22+32≠42，不能构成直角三角形，故错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
3．若样本x1，x2，x3，…xn的平均数为18，方差为2，则对于样本x1+2，x2+2，x3+2，…xn+2，下列结论正确的是（　　）
A．平均数为20，方差为2 B．平均数为20，方差为4
C．平均数为18，方差为2 D．平均数为18，方差为4
【分析】根据平均数、方差随数据的变化规律进行判断，将一组数的每个数据都增加n，所得到的新一组数据的平均数就增加n，而方差不变．
解：样本x1+2，x2+2，x3+2，…xn+2，对于样本x1，x2，x3，…xn来说，
每个数据均在原来的基础上增加了2，根据平均数、方差的变化规律得：
平均数较前增加2，而方差不变，即：平均数为18+2＝20，方差为2，
故选：A．
【点评】考查平均数、方差的意义以及受数据变化的影响，掌握规律，理解意义是解决问题的关键．
4．抛物线y＝2（x+9）2﹣3的顶点坐标是（　　）
A．（ 9，3） B．（9，﹣3） C．（﹣9，3） D．（﹣9，﹣3）
【分析】由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标．
解：∵y＝2（x+9）2﹣3，
∴抛物线顶点坐标为（﹣9，﹣3），
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式．
5．下列各式中，运算正确的是（　　）
A．＝±6 B．×＝9 C．3﹣＝3 D．÷＝3
【分析】A．根据算术平方根的算法进行求解即可得出答案；
B．根据二次根式的乘法法则进行计算即可得出答案；
C．根据二次根式加减运算进行计算即可得出答案；
D．根据二次根式的除法法则进行计算即可得出答案．
解：A．∵＝6，∴A选项不符合题意；
B．∵＝＝＝3，∴B选项不符合题意；
C．∵3＝2，∴C选项不符合题意；
D．∵＝＝，∴D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练应用二次根式的混合运算法则进行求解是解决本题的关键．
6．方程（x+1）2＝9的解为（　　）
A．x1＝2，x2＝﹣4 B．x1＝﹣2，x2＝4
C．x1＝4，x2＝2 D．x1＝﹣2，x2＝﹣4
【分析】把方程两边开方得到x+1＝±3，然后解两个一次方程即可．
解：（x+1）2＝9，
x+1＝±3，
所以x1＝2，x2＝﹣4．
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
7．抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是（　　）
A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0
C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不对
【分析】根据二次函数的性质判断即可．
解：抛物线y＝x2+3开口向上，对称轴为y轴，
∵抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＜y2，
∴|x1|＜|x2|，
∴0≤x1＜x2或x2＜x1≤0或0＜﹣x1＜x2或0＜x1＜﹣x2，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
8．某校举办“汉字听写大赛”，7名学生进入决赛，他们所得分数互不相同，比赛共设3个获奖名额，某学生知道自己的分数后，要判断自己能否获奖，他应该关注的统计量是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【分析】由于比赛设置了3个获奖名额，共有7名选手参加，故应根据中位数的意义分析．
解：因为3位获奖者的分数肯定是7名参赛选手中最高的，
而且7个不同的分数按从小到大排序后，中位数之后的共有3个数，
故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了．
故选：B．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
9．已知一次函数y＝（2+m）x+m2﹣4的图象过原点，则m的值为（　　）
A．0 B．2 C．﹣1 D．±2
【分析】根据一次函数的定义：形如y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）知2+m≠0；又由图象过原点，知x＝0时y＝0，即b＝0．
解：∵一次函数y＝（2+m）x+m2﹣4的图象过原点，
∴，
解得m＝2．
故选：B．
【点评】本题要注意利用一次函数的特点，即y＝kx+b的图象过原点时k≠0，b＝0解答．
10．如图，在正方形ABCD的内侧，作等边三角形ADE，则∠AEB的度数是（　　）

A．60° B．65° C．70° D．75°
【分析】根据正方形的性质求出∠BAD＝90°，AB＝AD，根据等边三角形性质求出∠EAD的度数和∠ABE＝∠AEB，根据三角形的内角和定理求出即可．
解：∵正方形ABCD，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∵等边△AED，
∴∠EAD＝60°，AD＝AE＝AB，
∴∠BAE＝90°﹣60°＝30°，
∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣∠BAE）＝75°．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理、等腰三角形的性质，等边三角形的性质、正方形的性质的知识点的应用，关键是求出∠EAD的度数和证出∠ABE＝∠AEB．
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE，则DE的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据勾股定理求出BC，再根据三角形中位线定理计算即可．
解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，
则BC＝＝＝6，
∵D、E分别是AC、AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝3，
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，熟记三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，有下列4个结论：①abc＞0；②a+c＞b；③4a+2b+c＞0；④a+b≥am2+bm（m是任意实数）．其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由抛物线开口向下得到a＜0；由抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1得到b＞0；由抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到c＞0，则abc＜0；观察图象得到当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0；当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0；根据二次函数的最值问题得到x＝1时，y有最大值a+b+c，则a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），变形得到a+b＞m（am+b）
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＞0；
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，所以②不正确；
当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，所以③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴x＝1时，y有最大值a+b+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
∴a+b≥＞am2+bm，所以④正确．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象为一条抛物线，当a＜0，抛物线的开口向下，当x＝﹣时，函数值最大；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．计算：＝　　．
【分析】根据二次根式的除法，即可解答．
解：＝，故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的除法，解决本题的关键是熟记二次根式的除法法则．
14．某公司欲招聘职员，对应聘者进行三项测试：语言、创新、综合知识，并按测试得分1：3：2的比例确定测试总分，已知某位应聘者三项得分（单位：分）分别为86，72，50，则这位应聘者的测试总分为　67分　．
【分析】根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，可以计算出这位应聘者的测试总分．
解：＝67（分），
即这位应聘者的测试总分为67分，
故答案为：67分．
【点评】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．
15．若关于x的一元二次方程ax2﹣4x+2＝0有两个实数根，则a的取值范围是 　a≤2且a≠0　．
【分析】由关于x的一元二次方程ax2﹣4x+2＝0有有两个实数根及一元二次方程的定义，即可得判别式△≥0，a≠0，继而可求得a的范围．
解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣4x+2＝0有两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×a×2＝16﹣8a≥0，
解得：a≤2，
∵方程ax2﹣4x+2＝0是一元二次方程，
∴a≠0，
∴a的范围是：a≤2且a≠0，
故答案为：a≤2且a≠0．
【点评】此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个实数根，即可得△≥0．同时考查了一元二次方程的定义．
16．已知矩形ABCD的对角线交于点O，若AB：AC＝：2，则∠AOB的度数为　120°　．
【分析】根据矩形的性质和勾股定理进而可求解BC的长，进而解答即可．
解：∵AB：AC＝：2，
∴，
∴∠BAC＝30°，
∵AC，BD为矩形对角线，
∴AC＝BD，
∴OB＝OA，
∵∠BAO＝30°，
∴△AOB为等腰三角形，
∴∠AOB＝120°，
故答案为，120°．
【点评】此题考查矩形的性质，关键是熟练掌握矩形的性质及等边三角形的性质．
17．等边△ABC的边长为2，点D在射线CB上，点E在射线AC上，AD＝AE，∠EDC＝15°，则线段CD的长为　4　．
【分析】连接DE，由△ABC是等边三角形，得到∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，根据三角形的外角的性质得到∠E＝45°，得到∠DAC＝90°，根据等腰三角形的性质得到AB＝BD＝2，于是得到结论．
解：连接DE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∵∠EDC＝15°，
∴∠E＝45°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠E＝45°，
∴∠DAC＝90°，
∴∠ADB＝∠BAD＝30°，
∴AB＝BD＝2，
∴CD＝BD+BC＝4，
故答案为：4．

【点评】本题考查了的等边三角形的性质，直角三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．
18．在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点C（4，0），B（6，2），直线y＝4x+1以每秒2个单位的速度向下平移，经过　6　秒该直线可将平行四边形OABC的面积平分．

【分析】首先连接AC、BO，交于点D，当y＝4x+1经过D点时，该直线可将▱OABC的面积平分，然后计算出过D且平行直线y＝4x+1的直线解析式，从而可得直线y＝4x+1要向下平移，进而可得答案．
解：连接AC、BO，交于点D，当y＝4x+1经过D点时，该直线可将▱OABC的面积平分；
∵四边形AOCB是平行四边形，
∴BD＝OD，
∵B（6，2），点C（4，0），
∴D（3，1），
设DE的解析式为y＝kx+b，
∵平行于y＝4x+1，
∴k＝4，
∵过D（3，1），
∴DE的解析式为y＝4x﹣11，
∴直线y＝4x+1要向下平移12个单位，
∴时间为6秒，
故答案为：6

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，以及一次函数，关键是正确掌握经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积．
三．解答题（共8小题，满分26分）
19．解一元二次方程：x2﹣x﹣1＝0．
【分析】利用公式法求解即可．
解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
则x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20．某养鸡场有2500只鸡准备对外出售．从中随机抽取了一部分鸡，根据它们的质量（单位：kg），绘制出如下的统计图1和图2．

请根据相关信息，解答下列问题：
（1）图1中m的值为　28　；
（2）求统计的这组数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据样本数据，估计这2500只鸡中，质量为2.0kg的约多少只？
【分析】（1）根据扇形统计图中的数据，可以计算出m%的值，从而可以得到m的值；
（2）根据扇形统计图中的数据可以得到这组数据的平均数，然后根据条形统计图中的数据可以得到这组数据的众数和中位数；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出质量为2.0kg的约多少只．
解：（1）m%＝1﹣10%﹣22%﹣32%﹣8%＝28%，
即m的值是28，
故答案为：28；
（2）平均数是：1.0×10%+1.2×22%+1.5×28%+1.8×32%+2.0×8%＝1.52（kg），
∵本次调查了5+11+14+16+4＝50只鸡，
中位数是：1.5kg，众数是1.8kg；
（3）2500×8%＝200（只），
答：质量为2.0kg的约200只．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数、平均数、众数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．一次函数y＝2x+a的图象与x轴交于点（2，0），
（1）求出a的值；
（2）将该一次函数的图象向上平移5个单位长度，求平移后的函数解析式．
【分析】（1）代入交点坐标，利用待定系数法即可求得；
（2）根据平移的规律求得即可．
解：（1）∵一次函数y＝2x+a的图象与x轴交于点（2，0），
∴4+a＝0，
解得a＝﹣4；
（2）将一次函数y＝2x﹣4的图象向上平移5个单位长度，得到y＝2x﹣4+5，即y＝2x+1，
故平移后的函数解析式为y＝2x+1．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象与几何变换．解题的关键是待定系数法求函数解析式．
22．如图，菱形ABCD的边AB＝5cm，对角线AC＝8cm，求另一对角线BD的长．

【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，OA＝AC，然后利用勾股定理列式求出OB，再根据BD＝2OB计算即可得解．
解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，OA＝AC＝×8＝4cm，
在Rt△AOB中，OB＝＝＝3cm，
所以，BD＝2OB＝2×3＝6cm．
【点评】本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理的应用，是基础题，熟记性质是解题的关键．
23．如图，直线y＝kx+b经过点A（5，0），B（1，4）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若直线y＝2x﹣4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；
（3）根据图象，直接写出关于x的不等式2x﹣4≥kx+b的解集．

【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；
（2）联立两直线解析式，解方程组即可得到点C的坐标；
（3）根据图形，找出点C右边的部分的x的取值范围即可．
解：（1）∵直线y＝kx+b经过点A（5，0）、B（1，4），
∴，
解方程组得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5；

（2）∵直线y＝2x﹣4与直线AB相交于点C，
∴解方程组，
解得，
∴点C的坐标为（3，2）；

（3）由图可知，x≥3时，2x﹣4≥kx+b．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数解析式，联立两直线解析式求交点坐标的方法，求一次函数与一元一次不等式关键在于准确识图，确定出两函数图象的对应的函数值的大小．
24．如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）求证：四边形EBFD是平行四边形．

【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定即可得到结论；
（2）由平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，证出BE＝DF，即可得出四边形EBFD是平行四边形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AD＝BC，AB＝CD，
∵E、F分别是边AB、CD的中点，
∴CF＝CD，AE＝AB，
∴CF＝AE，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD．
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE＝AB，DF＝CD，
∴BE＝DF．
∴四边形EBFD是平行四边形．

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
25．某钢铁厂计划今年第一季度一月份的总产量为500t，三月份的总产量为720t，若平均每月的增长率相同．
（1）第一季度平均每月的增长率；
（2）如果第二季度平均每月的增长率保持与第一季度平均每月的增长率相同，请你估计该厂今年5月份总产量能否突破1000t？
【分析】（1）设第一季度平均每月的增长率为x，根据该厂一月份及三月份的总产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据五月份的总产量＝三月份的总产量×（1+增长率）2，即可求出今年五月份的总产量，再与1000进行比较即可得出结论．
解：（1）设第一季度平均每月的增长率为x，
根据题意得：500（1+x）2＝720，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．
答：第一季度平均每月的增长率为20%．
（2）720×（1+20%）2＝1036.8（t），
∵1036.8＞1000，
∴该厂今年5月份总产量能突破1000t．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，求出今年五月份的总产量．
26．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），连接BC．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是第三象限抛物线上一点，直线PE与y轴交于点D，△BCD的面积为12，求点P的坐标．
（3）在（2）的条件下，若点E是线段BC上点，连接OE，将△OEB沿直线OE翻折得到△OEB'，当直线EB'与直线BP相交所成锐角为45°时，求点B'的坐标．

【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）先由△BDC的面积求出OD的长，从而确定D点坐标为（0，﹣4），再由待定系数法求出直线BD的解析式，直线BD与抛物线的交点即为所求；
（3）当B'在第一象限时，由∠ODB＝45°，可知EB'∥CD，求出直线BC的解析式，可设E（t，﹣t+2），在Rt△OHB'中，B'H＝，则BE＝+t﹣2，在Rt△BHE中，由勾股定理得（+t﹣2）2＝（4﹣t）2+（﹣t+2）2，求出t的值即可求B'坐标；当B'在第二象限时，B'G∥x轴，可得四边形 B'OBE是平行四边形，则B'（t﹣4，﹣t+2），由折叠的性质可判断平行四边形OBEB'是菱形，再由BE＝OB，可得＝4，求出t的值即可求B'坐标．
解：（1）将A（﹣1，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+x+2；
（2）令y＝0，则﹣x2+x+2＝0，
解得x＝﹣1或x＝4，
∴B（4，0），
∴OB＝4，
∴S△BCD＝×4×（2+OD）＝12，
∴OD＝4，
∴D（0，﹣4），
设直线BD的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x﹣4，
联立方程组，
解得或，
∴P（﹣3，﹣7）；
（3）如图1，当B'在第一象限时，
设直线BC的解析式为y＝k'x+b'，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+2，
设E（t，﹣t+2），
∴OH＝t，EH＝﹣t+2，
∵D（0，﹣4），B（4，0），
∴OB＝OD，
∴∠ODB＝45°，
∵直线EB'与直线BP相交所成锐角为45°，
∴EB'∥CD，
由折叠可知，OB'＝BO＝4，BE＝B'E，
在Rt△OHB'中，B'H＝，
∴B'E＝﹣（﹣t+2）＝+t﹣2，
∴BE＝+t﹣2，
在Rt△BHE中，（+t﹣2）2＝（4﹣t）2+（﹣t+2）2，
解得t＝，
∵0≤t≤4，
∴t＝，
∴B'（，）；
如图2，当B'在第二象限，∠BGB'＝45°时，
∵∠ABP＝45°，
∴B'G∥x轴，
∵将△OEB沿直线OE翻折得到△OEB'，
∴BE＝B'E，OB＝OB'，∠BOE＝∠B'OE，
∴∠BOE＝∠B'EO，
∴B'E∥B'O，
∵B'E＝BO，
∴四边形 B'OBE是平行四边形，
∴B'E＝4，
∴B'（t﹣4，﹣t+2），
由折叠可知OB＝OB'＝4，
∴平行四边形OBEB'是菱形，
∴BE＝OB，
∴＝4，
解得t＝4+或t＝4﹣，
∵0≤t≤4，
∴t＝4﹣，
∴B'（﹣，）；
综上所述：B'的坐标为（，）或（﹣，）．
方法2：在Rt△BCO中，BC＝2，CO：OB：BC＝1：2：，
∵BP与x轴和y轴的夹角都是45°，BP与B'E的夹角为45°，
∴B'E∥x轴或B'E∥y轴，
当B'E∥y轴时，延长B'E交x轴于F，
∴B'F⊥OB，
∵∠CBA＝∠OB'E，
∴△OB'F∽△CBO，
∴OF：FB'：B'O＝1：2：，
∵OB＝OB'＝4，
∴FO＝，B'F＝，
∴B'（，）；
当B'E∥x轴时，过B'作B'F⊥x中交于F，
∴B'F⊥OF，B'E∥OB，
∵B'E和BE关于OE对称，OB和OB'关于OE对称，
∴BE∥OB'，
∵∠FOB'＝∠OBC，
∴△OB'F∽△BCO，
∴B'F：FO：OB'＝1：2：，
∵OB＝OB'＝4，
∴B'F＝，OF＝，
∴B'（﹣，）；
综上所述：B'坐标为（，）或（﹣，）．




【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，折叠的性质，勾股定理的应用是解题的关键．