山东省+德州市+德城区德州市第五中学2023-2024学年八年级上学期开学数学试卷
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这是一份山东省+德州市+德城区德州市第五中学2023-2024学年八年级上学期开学数学试卷,共25页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2023-2024学年山东省德州五中八年级(上)开学数学试卷
一、选择题(每小题4分,共48分)
1.(4分)在下列所给出坐标的点中在第二象限的是( )
A.(2,3) B.(﹣2,3) C.(﹣2,﹣3) D.(2,﹣3)
2.(4分)下列调查中,适宜采用抽样调查方式的是( )
A.调查奥运会100米决赛参赛运动员兴奋剂的使用情况
B.调查一个班级的学生对电视节目“奇葩说”的知晓率
C.调查一架“歼15”舰载战机各零部件的质量
D.调查湘潭市中小学生每天体育锻炼的时间
3.(4分)实数π,,,,3.14,0.61414(每相邻两个2之间0的个数逐次加1)中,无理数的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.(4分)下列各式中,正确的是( )
A. B. C. D.
5.(4分)如图,点E在BC的延长线上,则下列条件中( )
A.∠D+∠DAB=180° B.∠B=∠DCE
C.∠1=∠2 D.∠3=∠4
6.(4分)下列命题中,是真命题的是( )
A.三条直线a、b、c在同一平面内,若a⊥b,b⊥c,则a⊥c
B.无限小数都是无理数
C.经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
D.同旁内角互补
7.(4分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(1,3)(2,1).将线段AB沿某一方向平移后,若点A的对应点A'的坐标为(﹣2,0)( )
A.(5,2) B.(﹣1,﹣2) C.(﹣1,﹣3) D.(0,﹣2)
8.(4分)《九章算术》是我国古代数学的经典著作,书中有一个问题:“今有黄金九枚,白银一十一枚,交易其一,金轻十三两(每枚黄金重量相同),乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同),称重两袋相等,甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计),问黄金、白银每枚各重多少两?设每枚黄金重x两( )
A.
B.
C.
D.
9.(4分)如图,AB∥CD,点E在AB上,若∠1=65°,则∠2的度数为( )
A.45° B.50° C.57.5° D.65°
10.(4分)如图,已知△ABC的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中能和△ABC重合的是( )
A.丙和乙 B.甲和丙 C.只有甲 D.只有丙
11.(4分)若关于x的不等式组恰有3个整数解,则a的取值范围是( )
A.0≤a< B.0≤a<1 C.﹣<a≤0 D.﹣1≤a<0
12.(4分)横、纵坐标均为整数的点称为整点.如图,一列有规律的整点,其坐标依次为(1,0),(2,0),(2,1),(1,1),(1,2),(2,2),…,第2022个整点的坐标为( )
A.(45,3) B.(45,13) C.(45,22) D.(45,0)
二、填空题(每小题4分,共24分)
13.(4分)写出一个比大比小的整数 .
14.(4分)若P(a+2,a﹣1)在y轴上,则点P的坐标是 .
15.(4分)等腰三角形的两边长分别为5和8,则这个等腰三角形的周长是 .
16.(4分)如图△ABC中,AD平分∠BAC,AB=4,且△ABD的面积为3,则△ACD的面积为 .
17.(4分)数学课上,老师要求同学们利用三角板画两条平行线.老师说苗苗和小华两位同学画法都是正确的,两位同学的画法如下:
苗苗的画法:
①将含30°角的三角尺的最长边与直线a重合,另一块三角尺最长边与含30°角的三角尺的最短边紧贴;
②将含30°角的三角尺沿贴合边平移一段距离,画出最长边所在直线b,则b∥a.
小华的画法:
①将含30°角三角尺的最长边与直线a重合,用虚线做出一条最短边所在直线;
②再次将含30°角三角尺的最短边与虚线重合,画出最长边所在直线b,则b∥a.
请在苗苗和小华两位同学画平行线的方法中选出你喜欢的一种,并写出这种画图的依据.
答:我喜欢 同学的画法,画图的依据是 .
18.(4分)在平面直角坐标系xOy中,对于P,Q两点给出如下定义:若点P到x,y轴的距离中的最大值,则称P(1,3),Q(3,2)两点即为“等距点”.若T1(﹣1,﹣k﹣3),T2(4,4k﹣3)两点为“等距点”,则k的值为 .
三、解答题(共78分)
19.(16分)计算:
(1)4(x+2)2=49;
(2)(x﹣1)3=64;
(3);
(4)解不等式组,并写出它的整数解.
20.(8分)“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”,是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划,旨在培养中国自己的杰出人才,B,C,D,E五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地,并开设了暑期夏令营活动,随机抽取部分学生进行调查,并将统计数据整理后
(1)这次抽取的学生人数是 ;
(2)请将条形统计图补充完整;
(3)在扇形统计图中,D所在的扇形的圆心角的度数为 ;
(4)若该市有1000名中学生参加本次活动,估计选择A大学的大约有多少人?
21.(10分)如图,已知∠1=∠BDC,∠2+∠3=180°.
(1)请你判断DA与CE的位置关系,并说明理由;
(2)若DA平分∠BDC,CE⊥AE于E,∠1=70°
22.(10分)如图,已知AB∥CD,AB=CD.
(1)求证:△ABC≌△CDA;
(2)判断BC与AD的位置关系,并说明理由.
23.(10分)如果x2=a,那么x是a的平方根或二次方根,记作±3=a,那么x是a的立方根或三次方根,记作4=a,那么x是a的四次方根,记作
(1)求256的四次方根;
(2)计算;
(3)一个正数a的两个六次方根分别为m+1和2m+5,求这个正数a.
24.(10分)某校计划购买《论语》和《孟子》供学生阅读,已知用1300元购买了《孟子》和《论语》各20本,《孟子》的单价比《论语》的单价少15元.
(1)求《论语》和《孟子》这两种书的单价各是多少元;
(2)根据需要,学校决定再次购进两种书共50本,正逢书店开展“优惠促销”活动,《论语》的单价打8折.如果此次学校购买书的总费用不超过1500元,且购买《论语》不少于38本,学校应选择哪种方案?为什么?
25.(14分)如图1,在平面直角坐标系中,点A(﹣1,0),(3,0),现将线段AB先向上平移2个单位,再向右平移1个单位,连接AC,BD.
(1)写出点C,D的坐标,并求出四边形ABDC的面积;
(2)在x轴上是否存在一点P,使得三角形DPC的面积是三角形DPB面积的2倍?若存在,请求出点P的坐标,请说明理由;
(3)如图2,点Q是直线BD上的一个动点,连接QC,当点Q在直线BD上运动时(不与B,D重合),请直接写出∠OQC与∠QCD
2023-2024学年山东省德州五中八年级(上)开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题4分,共48分)
1.(4分)在下列所给出坐标的点中在第二象限的是( )
A.(2,3) B.(﹣2,3) C.(﹣2,﹣3) D.(2,﹣3)
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数,纵坐标是正数解答即可.
【解答】解:∵第二象限内点的横坐标是负数,纵坐标是正数,
∴(2,3),5),﹣3),﹣3)中只有(﹣5.
故选:B.
【点评】本题考查了点的坐标的知识,解答本题的关键在于记住各象限内点的坐标的符号.四个象限的符号特点分别是:第一象限(+,+);第二象限(﹣,+);第三象限(﹣,﹣);第四象限(+,﹣).
2.(4分)下列调查中,适宜采用抽样调查方式的是( )
A.调查奥运会100米决赛参赛运动员兴奋剂的使用情况
B.调查一个班级的学生对电视节目“奇葩说”的知晓率
C.调查一架“歼15”舰载战机各零部件的质量
D.调查湘潭市中小学生每天体育锻炼的时间
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确,但所费人力、物力和时间较多,而抽样调查得到的调查结果比较近似解答.
【解答】解:A、调查奥运会100米决赛参赛运动员兴奋剂的使用情况,故本选项不符合题意;
B、调查一个班级的学生对电视节目“奇葩说”的知晓率,故本选项不符合题意;
C、调查一架“歼15”舰载战机各零部件的质量,故本选项不符合题意;
D、了调查湘潭市中小学生每天体育锻炼的时间,故本选项符合题意.
故选:D.
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别,选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用,一般来说,对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大,应选择抽样调查,对于精确度要求高的调查,事关重大的调查往往选用普查.
3.(4分)实数π,,,,3.14,0.61414(每相邻两个2之间0的个数逐次加1)中,无理数的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【分析】根据无理数的定义判断即可.
【解答】解:=3,
故无理数有π,,0.2020020002…(每相邻两个2之间6的个数逐次加1).
故选:C.
【点评】本题考查了无理数的识别,无限不循环小数叫无理数,初中范围内常见的无理数有:①π类,如2π;②开方开不尽的数,如;③具有特殊结构的数,如0.1010010001…(两个1之间依次增加1个0),0.2121121112…(两个2之间依次增加1个1).
4.(4分)下列各式中,正确的是( )
A. B. C. D.
【分析】根据算术平方根和平方根的定义求解即可得出答案.
【解答】解:A、==6;
B、=3;
C、=4;
D、±=±2;
故选:A.
【点评】本题主要考查的是平方根和算术平方根的性质,熟练掌握平方根、算术平方根性质是解题的关键.
5.(4分)如图,点E在BC的延长线上,则下列条件中( )
A.∠D+∠DAB=180° B.∠B=∠DCE
C.∠1=∠2 D.∠3=∠4
【分析】A、利用同旁内角互补两直线平行,得到AB与CD平行,本选项不合题意;
B、利用同位角相等两直线平行,得到AB与CD平行,本选项不合题意;
C、利用内错角相等两直线平行,得到AB与CD平行,本选项不合题意;
D、利用内错角相等两直线平行,得到AD与BC平行,本选项符合题意.
【解答】解:A、∵∠D+∠DAB=180°,
∴AB∥CD,本选项不合题意;
B、∵∠B=∠DCE,
∴AB∥CD,本选项不合题意;
C、∵∠1=∠2,
∴AB∥CD,本选项不合题意;
D、∵∠8=∠4,
∴AD∥BC,本选项符合题意.
故选:D.
【点评】此题考查了平行线的判定,平行线的判定方法有:同位角相等两直线平行;内错角相等两直线平行;同旁内角互补两直线平行,熟练掌握平行线的判定是解本题的关键.
6.(4分)下列命题中,是真命题的是( )
A.三条直线a、b、c在同一平面内,若a⊥b,b⊥c,则a⊥c
B.无限小数都是无理数
C.经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
D.同旁内角互补
【分析】根据平行线的判定、无理数的概念、平行公理、平行线的性质定理判断.
【解答】解:A、三条直线a、b,若a⊥b,则a∥c;
B、无限不循环小数都是无理数;
C、经过直线外一点,本选项说法是真命题;
D、两直线平行,本选项说法是假命题;
故选:C.
【点评】本题考查的是命题的真假判断,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.
7.(4分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(1,3)(2,1).将线段AB沿某一方向平移后,若点A的对应点A'的坐标为(﹣2,0)( )
A.(5,2) B.(﹣1,﹣2) C.(﹣1,﹣3) D.(0,﹣2)
【分析】根据点A、点A的对应点的坐标确定出平移规律,然后根据规律求解点B的对应点的坐标即可.
【解答】解:∵A(1,3)的对应点的坐标为(﹣2,
∴平移规律为横坐标减3,纵坐标减3,
∴点B(4,1)的对应点的坐标为(﹣1.
故选:B.
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移,平移中点的变化规律是:横坐标右移加,左移减;纵坐标上移加,下移减,本题根据对应点的坐标确定出平移规律是解题的关键.
8.(4分)《九章算术》是我国古代数学的经典著作,书中有一个问题:“今有黄金九枚,白银一十一枚,交易其一,金轻十三两(每枚黄金重量相同),乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同),称重两袋相等,甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计),问黄金、白银每枚各重多少两?设每枚黄金重x两( )
A.
B.
C.
D.
【分析】根据“甲袋中装有黄金9枚,乙袋中装有白银11枚,称重两袋相等;两袋互相交换1枚后,甲袋比乙袋轻了13两”,即可列出关于x,y的二元一次方程组,此题得解.
【解答】解:∵甲袋中装有黄金9枚,乙袋中装有白银11枚,
∴9x=11y;
∵两袋互相交换2枚后,甲袋比乙袋轻了13两,
∴(10y+x)﹣(8x+y)=13.
根据题意可列方程组.
故选:C.
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.
9.(4分)如图,AB∥CD,点E在AB上,若∠1=65°,则∠2的度数为( )
A.45° B.50° C.57.5° D.65°
【分析】根据平行线的性质,由AB∥CD,得∠AEC=∠1=65°.根据角平分线的定义,得EC平分∠AED,那么∠AED=2∠AEC=130°,进而求得∠2=180°﹣∠AED=50°.
【解答】解:∵AB∥CD,
∴∠AEC=∠1=65°.
∵EC平分∠AED,
∴∠AED=2∠AEC=130°.
∴∠2=180°﹣∠AED=50°.
故选:B.
【点评】本题主要考查平行线的性质、角平分线,熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义是解决本题的关键.
10.(4分)如图,已知△ABC的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中能和△ABC重合的是( )
A.丙和乙 B.甲和丙 C.只有甲 D.只有丙
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可.
【解答】解:甲中的三角形和△ABC全等,符合全等三角形的判定定理SAS;
乙中的三角形和△ABC不全等,不符合全等三角形的判定定理;
丙中的三角形和△ABC全等,符合全等三角形的判定定理AAS;
故选:B.
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理,能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键,注意:全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,两直角三角形全等还有HL等.
11.(4分)若关于x的不等式组恰有3个整数解,则a的取值范围是( )
A.0≤a< B.0≤a<1 C.﹣<a≤0 D.﹣1≤a<0
【分析】求出两个关于x的不等式的解集,再根据不等式组恰有3个整数解,即可得a的范围.
【解答】解:解不等式x<2(x﹣a),得:x>2a,
解不等式x﹣8≤x,得:x≤2,
∵不等式组恰有3个整数解,
∴0≤6a<1,
解得:0≤a<
故选:A.
【点评】本题主要考查不等式组的整数解,求出两个不等式的解集,根据不等式组的解集确定a的范围是关键.
12.(4分)横、纵坐标均为整数的点称为整点.如图,一列有规律的整点,其坐标依次为(1,0),(2,0),(2,1),(1,1),(1,2),(2,2),…,第2022个整点的坐标为( )
A.(45,3) B.(45,13) C.(45,22) D.(45,0)
【分析】观察图中点的坐标可知,以最外边的矩形边长上的点为准,点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方,故可得当n为奇数时,第n2个点的坐标为(n,0),当n为偶数时,第n2个点的坐标为(1,n2),然后按照规律求解即可.
【解答】解:观察图中点的坐标可知,以最外边的矩形边长上的点为准,
如:第12个点的坐标为(7,0),
第26个点的坐标为(1,25),
第32个点的坐标为(4,0),
第46个点的坐标为(1,42),
第52个点的坐标为(4,0),
第67个点的坐标为(1,65),
...
当n为奇数时,第n2个点的坐标为(n,0),
当n为偶数时,第n8个点的坐标为(1,n2),
∵452=2025,45为奇数,
∴第2025个点的坐标为(45,0),
∴退3个点,得到第2022个点是(45,
故选:A.
【点评】本题主要考查规律型:点的坐标,根据图形得出点的个数与横坐标之间存在的平方关系是解答此题的关键.
二、填空题(每小题4分,共24分)
13.(4分)写出一个比大比小的整数 2(答案不唯一) .
【分析】估算无理数的大小即可得出答案.
【解答】解:∵1<2<3,16<17<25,
∴1<<6<5,
∴比大比.
故答案为:7(答案不唯一).
【点评】本题考查了估算无理数的大小,无理数的估算常用夹逼法,用有理数夹逼无理数是解题的关键.
14.(4分)若P(a+2,a﹣1)在y轴上,则点P的坐标是 (0,﹣3) .
【分析】让横坐标为0可得a的值,进而可得P的坐标.
【解答】解:∵P(a+2,a﹣1)在y轴上,
∴a+5=0,
解得a=﹣2,
∴点P的坐标是 (8,﹣3),
故答案为(0,﹣8).
【点评】考查点的坐标的相关知识;用到的知识点为:在y轴上的点的横坐标为0.
15.(4分)等腰三角形的两边长分别为5和8,则这个等腰三角形的周长是 18或21 .
【分析】分5是腰长和底边长两种情况讨论求解.
【解答】解:5是腰长时,三角形的三边分别为5、8、8,
能组成三角形,
周长=5+8+8=18,
5是底边长时,三角形的三边分别为8、8、8,
能组成三角形,
周长=4+8+8=21,
综上所述,这个等腰三角形的周长是18或21.
故答案为:18或21.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质,三角形的三边关系,难点在于要分情况讨论.
16.(4分)如图△ABC中,AD平分∠BAC,AB=4,且△ABD的面积为3,则△ACD的面积为 .
【分析】过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,由角平分线的性质可得出DE=DF,再由AB=4,△ABD的面积为3求出DE的长,由AC=2即可得出△ACD的面积.
【解答】解:过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,
∵AD平分∠BAC,
∴DE=DF,
∵AB=4,△ABD的面积为3,
∴S△ABD=AB•DE=,解得DE=;
∴DF=,
∵AC=2,
∴S△ACD=AC•DF==.
故答案为:.
【点评】本题考查的是角平分线的性质,根据题意作出辅助线,利用数形结合求解是解答此题的关键.
17.(4分)数学课上,老师要求同学们利用三角板画两条平行线.老师说苗苗和小华两位同学画法都是正确的,两位同学的画法如下:
苗苗的画法:
①将含30°角的三角尺的最长边与直线a重合,另一块三角尺最长边与含30°角的三角尺的最短边紧贴;
②将含30°角的三角尺沿贴合边平移一段距离,画出最长边所在直线b,则b∥a.
小华的画法:
①将含30°角三角尺的最长边与直线a重合,用虚线做出一条最短边所在直线;
②再次将含30°角三角尺的最短边与虚线重合,画出最长边所在直线b,则b∥a.
请在苗苗和小华两位同学画平行线的方法中选出你喜欢的一种,并写出这种画图的依据.
答:我喜欢 苗苗 同学的画法,画图的依据是 苗苗:同位角相等,两直线平行.
小华:内错角相等,两直线平行 .
【分析】直接利用平移的性质结合平行线的性质得出画图依据.
【解答】解:我喜欢苗苗同学的画法,画图的依据是:苗苗:同位角相等.
小华:内错角相等,两直线平行.
故答案为:苗苗,苗苗:同位角相等;小华:内错角相等.
【点评】此题主要考查了平行线的性质以及平移变换,正确应用平行线的性质是解题关键.
18.(4分)在平面直角坐标系xOy中,对于P,Q两点给出如下定义:若点P到x,y轴的距离中的最大值,则称P(1,3),Q(3,2)两点即为“等距点”.若T1(﹣1,﹣k﹣3),T2(4,4k﹣3)两点为“等距点”,则k的值为 1或2 .
【分析】由等距点的定义对4k﹣3分类讨论,求出不同情况下的k值即可.
【解答】解:∵T2(4,6k﹣3)到x轴的距离为|4k﹣3|,
若|4k﹣3|≤7,即−,
则有|﹣k﹣3|=3,
解得k=﹣7或k=1,
∵k=﹣4不合题意,舍去,
∴k=1,
若|4k﹣5|>4,即k<−,
则|﹣k﹣4|=|4k﹣3|,
解得:k=4,或k=2,
∵k=0不合题意,舍去,
∴k=7,
综上,k的值为1或2,
故答案为:7或2.
【点评】本题考查了平面直角坐标系的知识,属于阅读理解类型题目,关键是要读懂题目里定义的“等距点”.
三、解答题(共78分)
19.(16分)计算:
(1)4(x+2)2=49;
(2)(x﹣1)3=64;
(3);
(4)解不等式组,并写出它的整数解.
【分析】(1)利用直接开平方法即可求出答案;
(2)利用立方根的意义即可求出答案;
(3)利用代入消元法解方程组即可;
(4)先求出其中各不等式的解集,再求出这些解集的公共部分,即可得到不等式组的解集.
【解答】解:(1)∵4(x+2)5=49,
∴(x+2)2=,
∴x+2=±,
解得x1=,x2=﹣;
(2)∵(x﹣7)3=64;
∴x﹣1=2,
解得x=5;
(3),
由①得:x=2y+1③,
把③代入②得:2y+3﹣5y=3,
解得y=5,
把y=5代入③得:x=10+2=11,
∴方程组的解为;
(4),
解不等式①,得x≤3,
解不等式②,可得x>﹣1,
∴不等式组的解集为:﹣1<x≤8,
∴整数解为0,1,5,3,4.
【点评】本题主要考查了解一元二次方程,立方根,解二元一次方程组,一元一次不等式组,熟练掌握各种解法是关键.
20.(8分)“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”,是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划,旨在培养中国自己的杰出人才,B,C,D,E五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地,并开设了暑期夏令营活动,随机抽取部分学生进行调查,并将统计数据整理后
(1)这次抽取的学生人数是 50 ;
(2)请将条形统计图补充完整;
(3)在扇形统计图中,D所在的扇形的圆心角的度数为 14.4° ;
(4)若该市有1000名中学生参加本次活动,估计选择A大学的大约有多少人?
【分析】(1)根据C组的人数和所占的百分比,可以计算出本次抽取的学生人数;
(2)用总人数减去其它人数可计算出选择B的人数,从而可以将条形统计图补充完整;
(3)根据条形统计图中的数据,可以计算出在扇形统计图中,D所在的扇形的圆心角的度数和该市有1000名中学生参加本次活动,选择A大学的学生人数.
【解答】解:(1)本次抽取的学生有:14÷28%=50(人),
(2)其中选择B的学生有:50﹣10﹣14﹣2﹣8=16(人),
补全的条形统计图如图所示;
(3)在扇形统计图中,D所在的扇形的圆心角的度数为:360°×,
故答案为:14.4°.
(4)该市有1000名中学生参加本次活动,则选择A大学的大约有:1000×,
【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体,解答本题的关键是明确题意,找到题眼.
21.(10分)如图,已知∠1=∠BDC,∠2+∠3=180°.
(1)请你判断DA与CE的位置关系,并说明理由;
(2)若DA平分∠BDC,CE⊥AE于E,∠1=70°
【分析】(1)根据平行线的性质推出AB∥CD,推出∠2=∠ADC,求出∠ADC+∠3=180°,根据平行线的判定推出即可;
(2)求出∠ADC度数,求出∠2=∠ADC=35°,∠FAD=∠AEC=90°,代入∠FAB=∠FAD﹣∠2求出即可.
【解答】解:(1)AD∥EC,
理由是:∵∠1=∠BDC,
∴AB∥CD,
∴∠2=∠ADC,
又∵∠8+∠3=180°,
∴∠ADC+∠3=180°,
∴AD∥EC.
(2)∵DA平分∠BDC,
∴∠ADC=∠BDC=35°,
∴∠2=∠ADC=35°,
∵CE⊥AE,AD∥EC,
∴∠FAD=∠AEC=90°,
∴∠FAB=∠FAD﹣∠6=90°﹣35°=55°.
【点评】本题考查了平行线的性质和判定,角平分线定义的应用,注意:平行线的性质有:①两直线平行,同位角相等,②两直线平行,内错角相等,③两直线平行,同旁内角互补.
22.(10分)如图,已知AB∥CD,AB=CD.
(1)求证:△ABC≌△CDA;
(2)判断BC与AD的位置关系,并说明理由.
【分析】(1)利用SAS证明△ABC≌△CDA即可;
(2)由△ABC≌△CDA,得∠BCA=∠CAD,进而可以判断BC与AD的位置关系.
【解答】(1)证明:∵AB∥CD,
∴∠BAC=∠ACD,
在△ABC与△CDA中,
,
∴△ABC≌△CDA(SAS),
(2)解:BC∥AD,理由如下:
∵△ABC≌△CDA,
∴∠BCA=∠CAD,
∴BC∥AD.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,解决本题的关键是得到△ABC≌△CDA.
23.(10分)如果x2=a,那么x是a的平方根或二次方根,记作±3=a,那么x是a的立方根或三次方根,记作4=a,那么x是a的四次方根,记作
(1)求256的四次方根;
(2)计算;
(3)一个正数a的两个六次方根分别为m+1和2m+5,求这个正数a.
【分析】(1)根据是四次方根的定义即可求出答案;
(2)根据是四次方根的定义即可求出答案;
(3)根据是六次方根的定义即可求出答案.
【解答】解:(1)∵(±4)4=256,
∴256的四次方根是±2;
(2)+=7+2=5;
(3)∵a的六次方根是m+8和2m+5,
∴m+5+2m+5=2,
解得m=﹣2,
∴m+1=﹣8+1=﹣1,
∴a=(﹣7)6=1.
【点评】本题考查四次方根以及五次方根,解题的关键是正确理解四次方根以及五次方根,本题属于基础题型.
24.(10分)某校计划购买《论语》和《孟子》供学生阅读,已知用1300元购买了《孟子》和《论语》各20本,《孟子》的单价比《论语》的单价少15元.
(1)求《论语》和《孟子》这两种书的单价各是多少元;
(2)根据需要,学校决定再次购进两种书共50本,正逢书店开展“优惠促销”活动,《论语》的单价打8折.如果此次学校购买书的总费用不超过1500元,且购买《论语》不少于38本,学校应选择哪种方案?为什么?
【分析】(1)设《孟子》的单价是x元,则《论语》的单价是(x+15)元,根据用1300元购买了《孟子》和《论语》各20本,可列出关于x的一元一次方程,解之可求出《孟子》的单价,再将其代入(x+15)中,即可求出《论语》的单价;
(2)设购买《论语》m本,则购买《孟子》(50﹣m)本,根据“此次学校购买书的总费用不超过1500元,且购买《论语》不少于38本”,可列出关于m的一元一次不等式组,解之可求出m的取值范围,结合m为正整数,可得出各购买方案,再分别求出各方案所需总费用,比较后即可得出结论.
【解答】解:(1)设《孟子》的单价是x元,则《论语》的单价是(x+15)元,
根据题意得:20x+20(x+15)=1300,
解得:x=25,
∴x+15=25+15=40.
答:《孟子》的单价是25元,《论语》的单价是40元;
(2)设购买《论语》m本,则购买《孟子》(50﹣m)本,
根据题意得:,
解得:38≤m≤,
又∵m为正整数,
∴m可以为38,39,
∴共有3种购买方案,
方案1:购买《论语》38本,《孟子》12本;
方案7:购买《论语》39本,《孟子》11本;
方案3:购买《论语》40本,《孟子》10本.
∵1468<1479<1490,
∴学校应选择方案1:购买《论语》38本,《孟子》12本.
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出一元一次方程;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式组.
25.(14分)如图1,在平面直角坐标系中,点A(﹣1,0),(3,0),现将线段AB先向上平移2个单位,再向右平移1个单位,连接AC,BD.
(1)写出点C,D的坐标,并求出四边形ABDC的面积;
(2)在x轴上是否存在一点P,使得三角形DPC的面积是三角形DPB面积的2倍?若存在,请求出点P的坐标,请说明理由;
(3)如图2,点Q是直线BD上的一个动点,连接QC,当点Q在直线BD上运动时(不与B,D重合),请直接写出∠OQC与∠QCD
【分析】(1)根据点的平移规律可得C、D的坐标以及四边形ABDC的面积;
(2)根据角形DPC的面积是三角形DPB面积的2倍,得BP=CD.即可求出点P的坐标;
(3)分三种情况,当点Q在线段BD上运动时,当点Q在线段BD的延长线上运动时,当点Q在DB的延长线上运动时,分别画图得出答案.
【解答】解:(1)∵点A,B的坐标分别为(﹣1,(3,
∴将点A,B分别向上平移6个单位长度,2),2);
∴AB=CD,AB∥CD,
∴四边形ABDC为平行四边形,
∴四边形ABDC的面积为:AB•OC=7;
(2)存在,∵C(0,D(4,
∴CD=4,
∵三角形DPC的面积是三角形DPB面积的2倍,
∴BP=CD.
∵点B的坐标为(3,0),
∴点P的坐标为(4,0)或(5;
(3)当点Q在线段BD上运动时,如图,
∵CD∥AB,
∴∠QCD=∠CEO,
∴∠OQC=∠QOE+∠CEO,
∴∠OQC=∠QCD+∠QOB;
当点Q在线段BD的延长线上运动时,如图,
∵AB∥CD,
∴∠QOB=∠CFO,
∵∠CFO=∠QCD+∠OQC,
∴∠OQC=∠QOB﹣∠QCD;
当点Q在DB的延长线上运动时,如图,
∵AB∥CD,
∴∠QCD=∠OMC,
∵∠OMC=∠QOB+∠OQC,
∴∠OQC=∠QCD﹣∠QOB.
综上:当点Q在线段BD上运动时,∠OQC=∠QCD+∠QOB;
当点Q在线段BD的延长线上运动时,∠OQC=∠QOB﹣∠QCD;
当点Q在DB的延长线上运动时,∠OQC=∠QCD﹣∠QOB.
【点评】本题考查了坐标与图形的性质,平行线的性质,三角形外角的性质,以及点的平移的规律,对点Q的位置进行分类讨论是解题的关键.
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