湖北省武汉市武昌区水果湖第一中学2022-2023学年上学期八年级期中数学试卷

这是一份湖北省武汉市武昌区水果湖第一中学2022-2023学年上学期八年级期中数学试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省武汉市武昌区水果湖一中八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列品牌的标识中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列各组线段中能围成三角形的是（　　）
A．8cm，4cm，3cm B．3cm，4cm，6cm
C．14cm，7cm，6cm D．2cm，3cm，6cm
3．（3分）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）如图是由一副三角板拼凑得到的，图中的∠ABC的度数为（　　）

A．50° B．60° C．75° D．80°
5．（3分）已知点A的坐标为（3，﹣4），则点A关于y轴对称的点的坐标为（　　）
A．（3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（3，﹣4） D．（﹣3，4）
6．（3分）如图，点E、F在BC上，BE＝FC（　　）

A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．AF＝DE D．∠AFB＝∠DEC
7．（3分）若点A（a，5），在第二象限，则点A关于直线m（直线m上各点的横坐标都是1）（　　）
A．（﹣a，5） B．（2﹣a，5） C．（﹣a﹣4，﹣5） D．（﹣a﹣2，﹣5）
8．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与边AB，E．已知△ABC与△BCE的周长分别为22cm和14cm，则BD的长为（　　）

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC．过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，则∠ACD的度数为（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°
10．（3分）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，AC＝5，BC﹣AB＝2（　　）

A．2 B．2.5 C．4 D．5
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）在△ABC中，∠A＝70°，AB＝AC　 　．
12．（3分）一个等腰三角形的两边长分别是3cm和7cm，则它的周长是 　 　cm．
13．（3分）一个n边形的每个内角都等于144°，则n＝　 　．
14．（3分）在△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点O，则∠A的度数为 　 　．
15．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝20，则CD＝　 　．

16．（3分）如图，△ACE中，AC＝AE，BD⊥AE交EA的延长线于点D，若∠BAD＝∠CAE，AE＝2，则AD的长为 　 　．

三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：∠A＝∠D．

18．（8分）如图，在△ABC中，D是边BC的中点，DF⊥AB，垂足分别为E，F

19．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，BE⊥AC于点E，交AD于点F．
（1）求证：△BDF≌△ADC；
（2）若BC＝10，DF＝4，求AF的长．

20．（8分）如图，在等边△ABC中，P为AB边上的一点，连接DA并延长交直线CP于点E．
（1）若∠ACE＝20°，求∠CED的度数；
（2）若AE＝1，CE＝4．求AD的长．

21．（8分）在10×10的网格中建立如图的平面直角坐标系，点A（﹣3，0），点B（﹣1，5）
（1）在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小（保留画图过程的痕迹）；
（2）在x轴的正半轴上找一点Q，使∠ABQ＝45°（保留画图过程的痕迹）；
（3）画出△ABQ中BQ边上的高AH（保留画图过程的痕迹）．

22．（10分）（1）[问题背景]如图1，B、E、M三点共线，∠DEF＝∠B＝∠M，求证：△DBE≌△EMF；
（2）[变式运用]如图2，B、E、C三点共线，△DEF为等边三角形，∠C＝30°，求证：EC＝BD+BE．


23．（10分）在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点．

（1）如图1，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，F．求证：∠EDF＝2∠B；
（2）点M，N分别在AB，AC上
①如图2，求证：DM＝DN；
②如图3，若MD＝MB，连接MN，求的值．

24．（12分）已知A（0，﹣6），B（6，0），D为第一象限内一点．

（1）如图1，若AD交x轴于点C，AC＝CD＝DB；
（2）如图2，BM⊥AD，交OD于点M，∠NDO＝∠ODA，试探究AD，BM之间的数量关系，说明理由；
（3）如图3，若BD⊥AD，OF⊥AD于点F，D（t，1），F（m，n），n之间的数量关系式．


2022-2023学年湖北省武汉市武昌区水果湖一中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列品牌的标识中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析．
【解答】解：A．是轴对称图形；
B．不是轴对称图形；
C．不是轴对称图形；
D．不是轴对称图形；
故选：A．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．
2．（3分）下列各组线段中能围成三角形的是（　　）
A．8cm，4cm，3cm B．3cm，4cm，6cm
C．14cm，7cm，6cm D．2cm，3cm，6cm
【答案】B
【分析】运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
【解答】解：A．8cm，3cm，不能围成三角形，不符合题意；
B．8cm，6cm，能围成三角形，符合题意；
C．14cm，6cm，不能围成三角形，不符合题意；
D．3cm，6cm，不能围成三角形，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系的运用，三角形的两边差小于第三边，三角形两边之和大于第三边．
3．（3分）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．
【解答】解：为△ABC中BC边上的高的是A选项．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．
4．（3分）如图是由一副三角板拼凑得到的，图中的∠ABC的度数为（　　）

A．50° B．60° C．75° D．80°
【答案】C
【分析】由三角形的外角性质可求得∠ABF＝15°，从而可求得∠ABC的度数．
【解答】解：∵∠F＝30°，∠BAC＝45°，
∴∠ABF＝∠BAC﹣∠F＝15°，
∵∠CBF＝90°，
∴∠ABC＝∠CBF﹣∠ABF＝75°．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
5．（3分）已知点A的坐标为（3，﹣4），则点A关于y轴对称的点的坐标为（　　）
A．（3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（3，﹣4） D．（﹣3，4）
【答案】B
【分析】根据关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数，即可求解．
【解答】解：点A的坐标为（3，﹣4），﹣8）．
故选：B．
【点评】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，掌握关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数是解题的关键．
6．（3分）如图，点E、F在BC上，BE＝FC（　　）

A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．AF＝DE D．∠AFB＝∠DEC
【答案】C
【分析】由全等三角形的判定方法依次判断可求解．
【解答】解：∵BE＝CF，
∴BF＝CE，
若AB＝DC，∠B＝∠C；
若∠A＝∠D，∠B＝∠C；
若AF＝DE，∠B＝∠C；
若∠AFB＝∠DEC，∠B＝∠C；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
7．（3分）若点A（a，5），在第二象限，则点A关于直线m（直线m上各点的横坐标都是1）（　　）
A．（﹣a，5） B．（2﹣a，5） C．（﹣a﹣4，﹣5） D．（﹣a﹣2，﹣5）
【答案】B
【分析】利用已知直线m上各点的横坐标都是1，得出其解析式，再利用对称点的性质得出答案．
【解答】解：∵直线m上各点的横坐标都是1，
∴直线为：x＝1，
∵点P（a，2）在第二象限，
∴a到1的距离为：1﹣a，
∴点P关于直线m对称的点的横坐标是：8﹣a+1＝2﹣a，
故P点对称的点的坐标是：（5﹣a，5）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了坐标与图形的性质，根据题意得出对称点的横坐标是解题关键．
8．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与边AB，E．已知△ABC与△BCE的周长分别为22cm和14cm，则BD的长为（　　）

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】B
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式计算即可得到结论．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，AD＝BD＝．
∵△BCE的周长是14cm，
∴BC+BE+EC＝14cm，即AC+BC＝14cm．
∵△ABC的周长是22cm，
∴AB+AC+BC＝22cm，
∴AB＝22﹣14＝2（cm），
∴BD＝AB＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查了段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC．过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，则∠ACD的度数为（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】C
【分析】根据平行线的性质以及角平分线的性质得出AB＝AD，进而得出AC＝AD，进而得出∠DAC＝∠ACB＝40°，根据三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：∵∠BAD＝140°，AD∥BC，
∴∠ABC＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝40°，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB＝40°，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC＝20°，
∴∠ABD＝∠ADB＝20°，
∴AB＝AD，
∴AC＝AD，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的性质与判定，证明AC＝AD是解题的关键．
10．（3分）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，AC＝5，BC﹣AB＝2（　　）

A．2 B．2.5 C．4 D．5
【答案】B
【分析】分别延长CD与BA交于点G，作GH⊥AC交AC延长线于点H，求面积最大值转化成求线段GH的最大值即可．
【解答】解：分别延长CD与BA交于点G，作GH⊥AC交AC延长线于点H，
∵BD平分∠ABC，CD⊥BD，
∴BC＝BG，CD＝GD（三线合一），
∵BC﹣AB＝2，
∴AG＝2，
∴S△ADC＝S△ACG＝×AC•GH＝，
∵GH⊥AC，
∴当点A、H重合时，最大值为2，
∴S△ADC＝GH＝，
故选：B．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三线合一是解本题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）在△ABC中，∠A＝70°，AB＝AC　55°　．
【答案】55°．
【分析】先利用三角形内角和定理可得∠B+∠C＝110°，然后再利用等腰三角形的性质进行计算即可解答．
【解答】解：∵∠A＝70°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠A＝110°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝55°，
故答案为：55°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
12．（3分）一个等腰三角形的两边长分别是3cm和7cm，则它的周长是 　17　cm．
【答案】见试题解答内容
【分析】等腰三角形两边的长为3cm和7cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【解答】解：①当腰是3cm，底边是7cm时：不满足三角形的三边关系．
②当底边是8cm，腰长是7cm时，则其周长＝3+5+7＝17cm．
故答案为：17．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
13．（3分）一个n边形的每个内角都等于144°，则n＝　10　．
【答案】10．
【分析】根据多边形的内角和定理：（n﹣2）180°求解即可．
【解答】解：由题意可得：（n﹣2）180°＝n×144°，
解得n＝10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理．熟练掌握n边形的内角和为：（n﹣2）180°是关键．
14．（3分）在△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点O，则∠A的度数为 　120°　．
【答案】120°．
【分析】根据三角形内角和定理易得∠OBC+∠OCB＝30°，利用角平分线定义可得∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝60°，进而利用三角形内角和定理可得∠A的的度数．
【解答】解：如图，
∵∠BOC＝150°，
∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣150°＝30°，
∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于O点，
∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣60°＝120°．
故答案为：120°．

【点评】本题考查了三角形的角平分线概念和三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
15．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝20，则CD＝　4　．

【答案】见试题解答内容
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E；
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴CD＝DE；
∵S△ABD＝AB•DE＝，
∴DE＝4，
∴CD＝DE＝7．
故答案为：4．

【点评】该题主要考查了角平分线的性质、三角形的面积公式的运用；解题的关键是作辅助线，利用角平分线的性质进行计算．
16．（3分）如图，△ACE中，AC＝AE，BD⊥AE交EA的延长线于点D，若∠BAD＝∠CAE，AE＝2，则AD的长为 　2　．

【答案】2．
【分析】延长ED到点F，使FD＝AD，连接BF，易证BF＝AB＝6，再证AC∥BF，得出∠ACE＝∠FBE，推出∠AEC＝∠FBE，则BF＝EF＝6，即可得出答案．
【解答】解：如图，延长ED到点F，连接BF，

∵BD⊥AE，
∴BF＝AB＝6，
∴∠BAD＝∠BFA，
∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BFA＝∠CAE，
∴AC∥BF，
∴∠ACE＝∠FBE，
∵AC＝AE，
∴∠ACE＝∠AEC，
∴∠AEC＝∠FBE，
∴BF＝EF＝6，
∴AF＝EF﹣AE＝5﹣2＝4，
∵FD＝AD，
∴AD＝AF＝，
故答案为：2．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：∠A＝∠D．

【答案】证明见解答过程．
【分析】利用SAS证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质即可得解．
【解答】证明：∵BF＝EC，
∴BF+CF＝EC+CF，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠A＝∠D．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用SAS证明△ABC≌△DEF是解题的关键．
18．（8分）如图，在△ABC中，D是边BC的中点，DF⊥AB，垂足分别为E，F

【答案】见解析．
【分析】利用HL证明Rt△DFB≌Rt△DEC，得到∠B＝∠C，然后根据等角对等边得出结论．
【解答】证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠DFB＝∠DEC＝90°，
∵D是边BC的中点，
∴BD＝CD，CE＝BF
在Rt△DFB和Rt△DEC中，
，
∴Rt△DFB≌Rt△DE（HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC．
∵BF＝CE
∴AB﹣BF＝AC﹣CE，
∴AF＝AE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等角对等边，熟练掌握全等三角形的判定定理证明三角形全等是解题的关键．
19．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，BE⊥AC于点E，交AD于点F．
（1）求证：△BDF≌△ADC；
（2）若BC＝10，DF＝4，求AF的长．

【答案】（1）见解析；
（2）AF＝2．
【分析】（1）由题意可得BD＝AD，由余角的性质可得∠CBE＝∠DAC，由ASA可证△BDF≌△ADC；
（2）根据（1）的结论可得DC＝DF＝4，由BC＝10，求得BD＝6，根据AF＝AD﹣DF即可求解．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠BDF＝∠ADC＝90°．
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝∠ABC＝45°，
∴BD＝AD．
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠C+∠DAC＝90°，
∠C+∠CBE＝90°，
∴∠CBE＝∠DAC．
在△BDF和△ADC中，
，
∴△BDF≌△ADC（ASA）；
（2）解：∵△BDF≌△ADC，DF＝4，
∴DC＝DF＝4，
∵BC＝10，
∴BD＝BC﹣DC＝10﹣4＝6，
∵AD＝BD，
∴AF＝AD﹣DF＝6﹣3＝2．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
20．（8分）如图，在等边△ABC中，P为AB边上的一点，连接DA并延长交直线CP于点E．
（1）若∠ACE＝20°，求∠CED的度数；
（2）若AE＝1，CE＝4．求AD的长．

【答案】（1）60°；
（2）2．
【分析】（1）求出∠CAD，再利用三角形的外角的性质解决问题即可；
（2）过点C作CT⊥DE于T．设∠ECA＝α，则∠ECB＝∠ECD＝60°﹣α，首先证明∠E＝60°，求出ET，AT，可得结论．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，CB＝CA，
∵∠ACE＝20°，
∴∠ECB＝60°﹣20°＝40°，
由翻折的性质可知，CB＝CD，
∴CA＝CD，∠ACD＝40°﹣20°＝20°，
∴∠CAD＝∠D＝80°，
∵∠DAC＝∠CED+∠ACE，
∴∠CED＝80°﹣20°＝60°．

（2）过点C作CT⊥DE于T．设∠ECA＝α，
∴∠ACD＝60°﹣2α，
∵CA＝CD，
∴∠CAD＝（180°﹣60°+2α）＝60°+α，
∵∠DAC＝∠E+∠ACE，
∴∠E＝60°+α﹣α＝60°，
∵CT⊥AD，CA＝CD，
∴AT＝DT，
∴∠ECT＝30°，
∴ET＝EC＝2，
∴AT＝DT﹣AE＝2﹣5＝1，
∴AD＝2AT＝2．

【点评】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的性质解直角三角形等知识，解题的关键是证明∠E＝60°，构造直角三角形解决问题．
21．（8分）在10×10的网格中建立如图的平面直角坐标系，点A（﹣3，0），点B（﹣1，5）
（1）在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小（保留画图过程的痕迹）；
（2）在x轴的正半轴上找一点Q，使∠ABQ＝45°（保留画图过程的痕迹）；
（3）画出△ABQ中BQ边上的高AH（保留画图过程的痕迹）．

【答案】见试题解答内容
【分析】（1）作A点关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于P点，根据两点之间线段最短可判断P点满足条件；
（2）利用网格特点过A点作AD⊥AB且AD＝AB，再连接BD交x轴于Q点，利用△ADB为等腰直角三角形可得到∠ABQ＝45°；
（3）利用网格特点过B点作BC⊥AB且BC＝AB，再连接CD，则四边形ABCD为正方形，然后利用AC交BD于H，则AH⊥BD．
【解答】解：（1）如图，点P为所作；
（2）如图，点Q为所作；
（3）如图，AH为所作．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了坐标与图形性质、勾股定理和最短路径问题．
22．（10分）（1）[问题背景]如图1，B、E、M三点共线，∠DEF＝∠B＝∠M，求证：△DBE≌△EMF；
（2）[变式运用]如图2，B、E、C三点共线，△DEF为等边三角形，∠C＝30°，求证：EC＝BD+BE．


【答案】（1）证明过程见解答；
（2）证明过程见解答．
【分析】（1）先由∠DEF＝∠B，根据三角形内角和定量得∠D＝180°﹣∠B﹣∠BED＝180°﹣∠DEF﹣∠BED＝∠FEM，即可根据全等三角形的判定定理“AAS”证明△DBE≌△EMF；
（2）设BE＝m，由∠B＝60°，∠C＝30°，得∠BDC＝90°，再由△DEF是等边三角形，得∠EDF＝60°，则∠BDE＝30°，∠BED＝90°，即可根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”推导出BD＝2m，BC＝4m，则EC＝BD+BE＝3m．
【解答】（1）证明：∵∠DEF＝∠B，
∴∠D＝180°﹣∠B﹣∠BED＝180°﹣∠DEF﹣∠BED＝∠FEM，
在△DBE和△EMF中
，
∴△DBE≌△EMF（AAS）．
（2）设BE＝m，
∵∠B＝60°，∠C＝30°，
∴∠BDC＝90°，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠EDF＝60°，
∴∠BDE＝∠BDC﹣∠EDF＝30°，
∴∠BED＝90°，
∴BD＝2BE＝2m，
∴BD+BE＝6m，
∵BC＝2BD＝4m，
∴EC＝BC﹣BE＝7m，
∴EC＝BD+BE．
【点评】此题重点考查等边三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．
23．（10分）在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点．

（1）如图1，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，F．求证：∠EDF＝2∠B；
（2）点M，N分别在AB，AC上
①如图2，求证：DM＝DN；
②如图3，若MD＝MB，连接MN，求的值．

【答案】（1）证明见解答；
（2）①证明见解答，②．
【分析】（1）由等边对等角可得∠B＝∠C，进而根据等角的余角相等得出∠EDF＝180°﹣2（90°﹣∠B）＝2∠B，即可得证；
（2）①过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．由（1）可得∠EDF＝2∠B，证明△BDE≌△CDF（AAS），进而证明△EMD≌△FDN（ASA），根据全等三角形的性质即可得证；
②过点M作MH⊥BC于点H，证明△MHD≌△MDG（AAS），进而根据等腰三角形的性质得出，即可求解．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
∴∠EDB＝∠FDC＝90°﹣∠B，
∴∠EDF＝180°﹣2（90°﹣∠B）＝2∠B；
（2）①过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，F．如图，
由（1）可得∠EDF＝2∠B，

∵∠MDN＝2∠B，
∴∠EDF＝∠MDN，
∴∠EDF﹣∠MDF＝∠MDN﹣∠MDF，
即∠EDM＝∠FDN，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
∵D为BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BDE与△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴DE＝DF，
在△EMD与△FDN中，
，
∴△EMD≌△FDN（ASA），
∴DM＝DN；
②如图，过点M作MH⊥BC于点H，

∵MD＝MB，MH⊥BC，
∴BH＝DH，∠MDB＝∠B，
由①可知DM＝DN，
∵G为MN的中点，
∴MG＝GN，
∴DG⊥MN，
∴∠DGM＝∠DHM＝90°，∠GDM＝∠GDN，
∵∠MDN＝2∠B，
∴∠MDG＝∠B＝∠MDH，
在△MHD与△MDG，
，
∴△MHD≌△MDG（AAS），
∴DG＝DH，
∵，
∴．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等角的余角相等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
24．（12分）已知A（0，﹣6），B（6，0），D为第一象限内一点．

（1）如图1，若AD交x轴于点C，AC＝CD＝DB；
（2）如图2，BM⊥AD，交OD于点M，∠NDO＝∠ODA，试探究AD，BM之间的数量关系，说明理由；
（3）如图3，若BD⊥AD，OF⊥AD于点F，D（t，1），F（m，n），n之间的数量关系式．

【答案】（1）（2，0）；
（2）AD＝BM+DN；
（3）m+n＝1．
【分析】（1）过点D作DE⊥x轴，根据等腰三角形的性质得出CE＝EB，根据AAS证明△ACO≌△DCE，得出OC＝CE，根据B（6，0），可得OB＝6，即可求解；
（2）结论为AD＝BM+DN，如图，延长NO交AD于点G，设BM，AD交于点H，AD于x轴交于点K，证明△DON≌△DOG（ASA），△OAG≌△OBM（AAS），根据全等三角形的性质以及等量代换，即可得出AD＝BM+DN
（3）连接OD，过点O作OP⊥OD，交AD于点P，设AD交x轴于点Q，证明△AOP＝△BOD（SAS），得出△OPD是等腰直角三角，DF＝FP，过点D，P分别做DT⊥y轴于点T，PS⊥y轴于点S，证明△TOD≌△SOP（AAS），得出P（1，﹣t），根据F是DP的中点，得出，即m+n＝1．
【解答】解：（1）过点D作DE⊥x轴，如图，

∵CD＝DB，DE⊥CB，
∴CE＝EB，
∵AC＝CD，∠AOC＝∠DEC＝90°，
∴△ACO≌△DCE（AAS），
∴OC＝CE，
∴OC＝CE＝EB，
∵B（6，0），
∴OB＝3，，
∴C（2，0），
（2）AD＝BM+DN，理由如下，
如图，延长NO交AD于点G，AD交于点H，

∵A（4，﹣6），0），
∴OA＝OB＝3，
∵ON⊥OD，
∴∠DON＝∠DOG＝90°，
在△DON与△DOG中，
，
∴△DON≌△DOG（ASA），
∴ND＝DG，
∵BM⊥AD，
∴∠MHG＝∠BHG＝90°，
又∠AOB＝90°，∠BKH＝∠OKA，
∴∠MBO＝∠GAO，
∵∠DOG＝90°，∠MHG＝90°，
∴∠OMH+∠OGH＝180°，
又∠OGA+∠OGH＝180°，
∴∠OGA＝∠OMB，
在△OAG与△OBM中，
，
∴△OAG≌△OBM（AAS），
∴AG＝MB，
又DN＝DG，
∴AD＝AG+GD＝BM+DN，
即AD＝BM+DN；
（3）如图，连接OD，交AD于点P，

∵BD⊥AD，OF⊥AD，
∴DB∥OF，
∴∠DBQ＝∠QOF，
∵∠QOF+∠FOA＝90°，∠FQA+∠OAP＝90°，
∴∠DBO＝∠OAP，
∵OD⊥OP，BO⊥OA，
∴∠BOA＝∠DOP＝90°，
∴∠AOB﹣∠POQ＝∠OPD﹣∠POQ，
即∠AOP＝∠BOD，
又AO＝BO，
∴△AOP＝△BOD（SAS），
∴OP＝OD，
∴△OPD是等腰直角三角，
∵OF⊥AD，
∴DF＝FP，
如图，过点D，PS⊥y轴于点S，

∴∠OTD＝∠PSO＝90°，∠TDO＝90°﹣∠TOD＝∠SOP，
又∵OD＝OP，
∴△TOD≌△SOP（AAS），
∵D（t，1），
∴OS＝TD＝t，SP＝TO＝1，
∴P（6，﹣t），
∵F是DP的中点，
∴．
∴m+n＝1．
【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，等腰三角形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．