奥数五年级上册 第1讲：速算与巧算（二） 教案

（ 五年级 ）                                      备课教员：××× 

第一讲    速算与巧算（二）

一、教学目标：

1. 通过观察、比较，清楚地知道哪些特殊的数字相乘能够凑

   整，并能够灵活应用乘法的运算定律进行计算。

2. 联系生活实际，体会数学与生活的密切联系，增强应用数

   学的意识。 

3. 培养观察能力、思维能力和解决问题的能力。进一步培养

   发散思维和创新能力。 

二、教学重点：

如何运用乘法的运算定律，及“分组凑整”的运用。

三、教学难点：

记住能凑整的一些特殊的数。

四、教学准备：

PPT

五、教学过程：

第一课时（50分钟）

一、导入（5分)

师：同学们，还记得暑假的时候，我们学习的速算与巧算吗？

生：记得。

师：那时候，我们主要学习的是小数的加法和减法的速算，对吗？

生：是的。

师：我们一起来pk一下，看谁能算得又对又快，大家有信心吗？

    ppt出示题目：

     1.25+7.3+8.75

     4.5+3.3+5.5+6.7

     18-4.8-5.2

     21-5.6-2.2-2.2

师：刚才我们在计算的时候，都运用了哪些运算定律呢？

生：加法交换律，加法结合律。

师：还运用了什么才使算式变得简单的？

生：减法的性质。

师：太棒了！今天我要把加法变成乘法，那么大家还知道怎么做吗?

    ppt出示题目：

  0.25×16

  1.25×16

（让学生自己说说该怎么做，把自己的想法说出来。）

师：刚才同学们都把自己的想法表达出来了，我们可以直接用笔算就行，对吗？

   如果不想动笔的话，口算呢？该怎么算呢？只要上了今天的课，以后就不用

   动笔了，直接就能脱口而出。想一起学习吗？

生：想。

师：那让我们一起进入今天的算式王国吧！

【板书课题：速算与巧算（二）】

二、探索发现授课（40分）

（一）例题1：（13分）

计算：

（1）1.25×5.6

（2）2.5×0.32×1.25 

师：同学们，一起来看1.25×5.6，谁来说说这是一个什么算式？

生：乘法算式。

师：是的，乘法算式，这题直接算肯定是比较麻烦的，仔细观察一下，我们可

以怎么计算比较简单呢？想一想，计算整数乘法算式的时候，我们知道有

哪些特殊的数字相乘是可以凑整的？

生：125与8相乘等于1000。25与4相乘等于100。

师：同样的，这样特殊的数字在小数乘法里也是可以运用的。大家同意吗？

生: 同意。

师：那一起来试试看。

（学生在下面试着做，教师巡视，了解情况。）

师：刚刚看到同学们都尝试着做出来了，跟着老师的思路一起看一遍。1.25×

5.6，当我们看到1.25，就要条件反射一样，想到8,0.8或者0.08……，

因为它们是可以凑成整数的。但是后面我们是乘5.6，我们就要思考，5.6

是否能变成与8,0.8……有关的数呢？可以吗？思考一下。

生：可以。

师：已经有同学说可以了，那么怎么变呢？

生：5.6可以变成0.8×7。

师：同意吗？

生：同意，还可以变成8×0.7。

师：是的，这里有很多种不同的变法，对吗？

生：对。

师：我们可以根据第一种情况，一起来看看。1.25×5.6，我们可以变成1.25

    ×0.8×7，这样一眼就能看出1.25×0.8=1，最后的结果就是7。

师：接下来自己先做一做第二题。

   （点两个同学到黑板做一下）

师：做好了，2.5×0.32×1.25，出现了2.5和1.25，那么我们就要想想，能不

    能找到和4、8有关的数，正好这里的0.32等于0.4×0.8。

     2.5×0.32×1.25

    =2.5×0.4×0.8×1.25

    =（2.5×0.4）×（0.8×1.25）

    =1×1

    =1

师：这样的乘法算式，要想它变得简单，我们就要关注一下是否有特殊的数字

可以凑整。我们先去寻找，或者是变形，使这样特殊的数字出现，然后再

凑整，使题目变得简单。

板书：

（1）1.25×5.6

=1.25×0.8×7

=1×7

=7

（2）2.5×0.32×1.25 

=2.5×0.4×0.8×1.25

=（2.5×0.4）×（0.8×1.25）

=1×1

=1

练习1：（6分）

计算：

（1）25×0.36

（2）0.75×0.4

（3）1.6×1.25×5

（4）0.125×3.2×0.25

分析：

    这几个题目的类型与例题完全是一样的，只要看到与25和125，我们一定要仔细去找它们的朋友，使它们在一起可以凑整，然后再计算。

板书：

（1）25×0.36

=25×0.4×0.9

=10×0.9

=9

（2）0.75×0.4

=2.5×0.3×0.4

=2.5×0.4×0.3

=1×0.3

=0.3

（3）1.6×1.25×5

=0.8×2×1.25×5

=（0.8×1.25）×（2×5）

=1×10

=10

（4）0.125×3.2×0.25

=0.125×8×0.4×0.25

=（0.125×8）×（0.4×0.25）

=1×0.1

=0.1

（二）例题2：（13分）

计算：

（1）420÷2.5÷4

    （2）（4.8×7.5×8.1）÷（2.4×2.5×2.7）

师：前面我们学的都是乘法算式。接下来看看420÷2.5÷4是什么算式呢？

生：除法算式。

师：是的，从乘法变成了除法，怎么办呢？怎么去计算比较简便呢？

生：我看到了2.5和4。它们两个相乘可以得到10，正好可以凑整。

师：太棒了！如果我们从左往右用除法来算的话，会比较难，不能够直接得出

结果。我们可以把除法变成乘法来算，利用除法的性质，除以两个数，我

们可以用这个数除以两个数的积，尝试一下？

生：420÷2.5÷4等于420÷（2.5×4），这样先算出后面的乘法，2.5×4=10，

    接下来再用420÷10=42。

师：这样的题目直接利用了除法的性质使计算变得简单了。那么接下来看看第

    二题，有什么样的特点呢？

生：被除数是几个数相乘，除数也是几个数相乘。

师：是的，被除数是三个数相乘，除数也是三个数相乘。如果要直接算的话，

是不是也需要花相当长的时间呢？那么对于这种类型的题目有没有更简便

的方法呢？思考一下。

生：老师我发现，被除数里数字与除数里的数字存在着倍数关系。

师：谁和谁存在倍数关系？

生：4.8与2.4，7.5与2.5，8.1与2.7。

师：是的，正好存在三对倍数关系的数。从这里出发，我们可以怎么去思考呢？

生：我们可以分别相除，然后再把结果相乘，这样和原来的结果是一样的。

师：说得对吗？

生：对。

师：好，看看具体该怎么计算。先用4.8÷2.4等于2，7.5÷2.5等于3，8.1

÷2.7等于3，这里出现的几个数都是整数，然后再把它们几个数相乘，2

×3×3=18。明白吗？

生：明白。

板书：

（1）420÷2.5÷4

=420÷（2.5×4）

=420÷10

=42

（2）（4.8×7.5×8.1）÷（2.4×2.5×2.7）

=（4.8÷2.4）×（7.5÷2.5）×（8.1÷2.7）

=2×3×3

=18

练习2：（8分）

计算：

（1）16÷3.2÷2.5

（2）12.5×36.8÷3.68

（3）（7.5×5.1×8.4）÷（1.7×4.2×2.5）

    （4）9.3×3.2÷3.23×6.46÷1.6÷3.1

分析：

   （1）（2）两个题目主要是利用除法的性质来解题。（3）（4）两个题目跟例题的类型也是一样的，先变成有倍数关系的两个数相除，然后再把结果相乘，最后得出结果。

板书：

（1）16÷3.2÷2.5

=16÷（0.4×8×2.5）

=16÷8

=2

（2）12.5×36.8÷3.68

=12.5×（36.8÷3.68）

=12.5×10

=125

（3）（7.5×5.1×8.4）÷（1.7×4.2×2.5）

=（7.5÷2.5）×（5.1÷1.7）×（8.4÷4.2）

=3×3×2

=18

（4）9.3×3.2÷3.23×6.46÷1.6÷3.1

=（9.3÷3.1）×（3.2÷1.6）×（6.46÷3.23）

=3×2×2

=12

三、小结：（5分）

1. 当看到25和4,125和8的时候，要知道这些特殊的数字是可以凑整的。 

2. 运用的公式：

    乘法交换律：

    乘法结合律：

    除法的性质：

第二课时（50分）

一、复习导入（3分）

师：同学们，上节课我们学了什么？

生：速算与巧算。

师：是的，主要学了哪些速算的方法呢？

生：特殊的数字相乘能够凑整。

师：是的，特殊的数字，比如说25和4相乘等于100,125和8相乘等于1000。

这些特殊的数字，其实在小数里也是适用的。所以当看到特殊数字的时候，

我们可以直接将它们凑在一起，使计算变得简便，如果没有这样的两个数，

只有其中一个数该怎么办呢？

生：我们去创造一个可以凑整的数。

师：太棒了！我们去创造，就是要将一些数进行变形，得到我们熟悉的数，对

    吗？

生：对。

师：然后我们再运用乘法交换律和结合律来解题。除了这个，还有看到除法算

式，我们也可以利用除法的性质来计算，使计算变得简单。这节课我们继

续来探讨。

（出示PPT)

二、探索发现授课（42分）

（一）例题3：（13分）

计算：

（1）99.99×0.8+11.11×2.8

（2）314×0.043+3.14×7.2-31.4×0.15

师：这里不仅有乘法，还有什么？

生：加法。

师：是的，不仅有乘法，还有加法。我们观察一下第一小题，看看有没有相同

    的数字，是否可以用乘法分配律的逆运算来做呢？

生：没有。

师：没有，那我们直接算好了，可能没有简便的方法了。是吗？

生：老师，我发现99.99和11.11有倍数的关系。

师：是的，有一定的倍数关系。我们把它变成一样的，然后再观察。99.99可以

写成9×11.11，这样就变成了9×11.11×0.8+11.11×2.8，仔细观察一下，

这里出现了相同的数11.11，对吗？

生：是的。

师：那么另外的数是否有关系呢？

生：我发现了9×0.8=7.2,7.2和2.8相加可以凑整。

师：这个就是解题的关键。现在会做了吗？

生：最后我们可以利用乘法分配律的逆运算来解答，（7.2+2.8）×11.11=10×

    11.11=111.1。

师：这是第一小题，接下来看第二小题，不仅有乘法，加法，还有减法，对吗？

生：对。

师：三种运算在一起，先来观察一下有没有相同的数，这样我们可以利用公

    式来计算。

生：没有相同的数。

师：有接近的数吗？

生：有的。

师：可不可以稍微改动一下呢？

生：可以。

师：改动一下，314变成3.14，缩小了100倍，那么另外一个因数扩大100倍，

    它们的乘积会改变吗？

生：不会。

师：那么就变成3.14×4.3，后面的继续来观察，3.14×7.2，这个就不需要变

动了，再往后面看，31.4×0.15，我们同样把31.4变成3.14，后面相应的

要扩大10倍。也就变成了3.14×1.5。那么第二题就可以转成：3.14×

4.3+3.14×7.2-3.14×1.5，变成这样以后，同学们再来观察一下。发现了

什么？

生：有一个同样的数，是3.14。

师：那么有一个相同的数，这样，我们就可以用乘法分配律的逆运算来算。

接下来就变成了3.14×（4.3+7.2-1.5），这样几个数相加减就变成了整数，

这样最后就是3.14×10=31.4。

板书：

（1）99.99×0.8+11.11×2.8

   =9×11.11×0.8+11.11×2.8

   =11.11×7.2+11.11×2.8

   =11.11×（7.2+2.8）

   =11.11×10

   =111.1

（2）314×0.043+3.14×7.2-31.4×0.15

=3.14×4.3+3.14×7.2-3.14×1.5

=3.14×（4.3+7.2-1.5）

=3.14×10

=31.4

练习3：（7分）

     计算：

（1）34.55×0.6+65.45×1.6

（2）256×0.056+2.56×8.4+25.6×0.4

分析：

   （1）（2）题中没有相同的数字，我们要通过变形，使数字变得相同。然后再利用乘法分配律的逆运算来算。

板书：

（1）34.55×0.6+65.45×1.6

=34.55×0.6+65.45×（1+0.6）

=34.55×0.6+65.45×0.6+65.45

=0.6×（34.55+65.45）+65.45

=0.6×100+65.45

=60+65.45

=125.45

（2）256×0.056+2.56×8.4＋25.6×0.4

=2.56×5.6+2.56×8.4＋2.56×4

=2.56×（5.6+8.4＋4）

=2.56×18

=46.08

（二）例题4：（13分）

计算：

2016×（2.3×47+2.4）÷（2.4×47-2.3）

师：同学们，上面的例3大家觉得难吗？

生：不难。

师：不难才对，因为上面的题目都是比较基础的题目，接下来，我们一起看看

    这样的一道算式，有哪位同学能说出你看到的特点？

生1：有两个47。

生2：有两个2.3，有两个2.4。

师：是的。那这样一个题目该怎么做呢？

生：（可能都不知道。）

师：提示一下，47和2.3,2.4能不能有什么的关系呢？

生：（2.3+2.4）×10=47。

师：接下来，我们是否可以从这里入手做题呢？一起来看看。因为47可以写成

23+24。所以我们可以把上面的算式改写成2016×［2.3×（23+24）+2.4］

÷［2.4×（23+24）-2.3］，接下来，我们再运用乘法分配律继续计算，

2016×（2.3×23+2.3×24+2.4）÷（2.4×23+2.4×24-2.3），然后再做

一些变动，一个因数扩大10倍，另一个因数相应的缩小10倍，那么就能

够使积不变。所以我们稍微来做一下变动。有谁知道怎么变动吗？

生：（试试看）

师：把第一个括号内的2.3×24变成23×2.4，把第二个括号内的2.4×23变成

   24×2.3。整体就变成了2016×（2.3×23+23×2.4+2.4）÷（24×2.3+2.4

   ×24-2.3），接下来我们运用乘法分配律的逆运算继续，2016×（2.3×23+24

   ×2.4）÷（23×2.3+2.4×24），到了这一步，大家能得出结果了吗？

生：2016。

师：是的，因为后面括号里的数通过变形已经变成一样的了，是吗？

生：是的。

师：所以最后我们一眼就能得出结果。

师：除了这种方法，还有没有别的方法呢？想想看。

板书：

方法一：

2016×（2.3×47+2.4）÷（2.4×47-2.3）

   =2016×［2.3×（23+24）+2.4］÷［2.4×（23+24）-2.3］

   =2016×（2.3×23+2.3×24+2.4）÷（2.4×23+2.4×24-2.3）

   =2016×（2.3×23+23×2.4+2.4）÷（24×2.3+2.4×24-2.3）

   =2016×［2.3×23+（23×2.4+2.4）］÷［（24×2.3-2.3）+2.4×24］

   =2016×（2.3×23+24×2.4）÷（23×2.3+2.4×24）

   =2016

方法二：

2016×（2.3×47+2.4）÷（2.4×47-2.3）

   =2016×（2.3×47+2.4）÷［（2.3＋0.1）×47－2.3］

   =2016×（2.3×47+2.4）÷（2.3×47＋4.7-2.3）

   =2016×（2.3×47+2.4）÷（2.3×47＋2.4）

   =2016

练习4：（7分）

   计算：

（1）1001×（4.3×87+4.4）÷（4.4×87-4.3）

（2）0.888×125×73+999×3

分析：

（1）与例题是同样类型的题目，要通过几次的变形，利用一些乘法分配律

     和分配律的逆运算的多次运用，然后计算出结果。

（2）这里出现了125，那么只要找到8就可以简便计算。

板书：

（1）方法一：

     1001×（4.3×87+4.4）÷（4.4×87-4.3）

=1001×［4.3×（43+44）+4.4］÷［4.4×（43+44）-4.3］ 

=1001×（4.3×43+4.3×44+4.4）÷（4.4×43+4.4×44-4.3）

=1001×［4.3×43+（43×4.4+4.4）］÷［（44×4.3-4.3)+4.4×44］

=1001×(4.3×43+44×4.4)÷（43×4.3+4.4×44)

=1001

 方法二：

     1001×（4.3×87+4.4）÷（4.4×87-4.3）

    =1001×（4.3×87+4.4）÷［（4.3＋0.1）×87－4.3］

    =1001×（4.3×87+4.4）÷（4.3×87＋8.7-4.3）

    =1001×（4.3×87+4.4）÷（4.3×87＋4.4）

    =1001

（2）0.888×125×73+999×3

=（0.8+0.08+0.008）×125×73+999×3

=（0.8×125+0.08×125+0.008×125）×73+999×3

=（100+10+1）×73+111×9×3

= 111×73+111×27

= 111×（73+27）

= 111×100

= 11100

（三）例题5（选讲）：

计算：

（1+0.12+0.23)×（0.12+0.23+0.34）-（1+0.12+0.23+0.34）×（0.12+0.23）

师：同学们，仔细观察一下，如果把它一一乘出来，你们觉得简单吗？

生：不简单，太麻烦了。

师：那我们想想别的方法。我们可以把其中的一部分看成整体，然后再来思考。

我们把0.12+0.23看成一个整体，直接假设0.12+0.23=，然后把

0.12+0.23+0.34=，这样原来的式子就可以写成什么？谁来说？（请学生

去写出来）

师：可以写成（1+）-（1+），把复杂的式子简单化，现在会算了吗？

    可以怎么算？

生：利用乘法分配律来计算。

师：是的，接下来可以得到+--，最后剩下的只有-。这里的本

    来是多少？

生：0.12+0.23+0.34。

师： 呢？原来是多少？

生：0.12+0.23。

师：那么-等于多少？

生：0.12+0.23+0.34-（0.12+0.23）=0.34。

板书：

解：设0.12+0.23=，0.12+0.23+0.34=，则有：

       （1+）-（1+）

     =+--

     =-

     =0.12+0.23+0.34-（0.12+0.23）

     =0.34

练习5（选做）：

  计算：

（2+3.15+5.87）×(3.15+5.87+7.32)-(2+3.15+5.87+7.32)×(3.15+5.87) 

分析：

   这一题也是跟例题完全一样的，方法同上。

板书：

解：假设3.15+5.87=，3.15+5.87+7.32=，则有：

        （2+）-（2+）

        =2+-2-

        =2（-）

        =2×（3.15+5.87+7.32-3.15-5.87）

        =2×7.32

        =14.64

三、总结：（5分）

乘法交换律：

乘法结合律：

乘法分配律：

除法的性质：

四、随堂练习：

1. 计算：

  （1）125×0.48

  （2）0.25×0.32×1250

板书：

（1）125×0.48

=125×0.6×0.8

=（125×0.8）×0.6

=100×0.6

=60

（2）0.25×0.32×1250

=0.25×0.4×0.8×1250

=（0.25×0.4）×（0.8×1250）

=0.1×1000

=100

2. 计算：

  （1）36÷2.5÷0.4

  （2）（5.5×4.6×5.4）÷（2.7×2.3×1.1）

板书：

（1）36÷2.5÷0.4

=36÷（2.5×0.4）

=36÷1

=36

（2）（5.5×4.6×5.4）÷（2.7×2.3×1.1）

=（5.5÷1.1）×（4.6÷2.3）×（5.4÷2.7）

=5×2×2

=20

3. 计算：

  （1）56.55×1.3+43.45×0.3

  （2）453×0.047-45.3×0.22+4.53×7.5

板书：

（1）56.55×1.3+43.45×0.3

=56.55×（1+0.3）+43.45×0.3

=56.55+56.55×0.3+43.45×0.3

=（56.55+43.45）×0.3+56.55

=100×0.3+56.55

=86.55

（2）453×0.047-45.3×0.22+4.53×7.5

=45.3×0.47-45.3×0.22+45.3×0.75

=45.3×（0.47-0.22+0.75）

=45.3×1

=45.3

4. 计算：

  （1）8.9×0.2+8.8×0.2+8.7×0.2+…+8.1×0.2

  （2）110×（2.2×45+2.3）÷（2.3×45-2.2）

板书：

（1）8.9×0.2+8.8×0.2+8.7×0.2+…+8.1×0.2

     =0.2×（8.9+8.8+8.7+8.6+……+8.2+8.1）

     =0.2×［（8.9+8.1）×9÷2］

     =0.2×76.5

     =15.3

（2）方法一：

     110×（2.2×45+2.3）÷（2.3×45-2.2）

    =110×［2.2×（22+23）+2.3］÷［2.3×（22+23）-2.2］ 

=110×（2.2×22+2.2×23+2.3）÷（2.3×22+2.3×23-2.2）

=110×［2.2×22+（22×2.3+2.3）］÷［（23×2.2-2.2)+2.3×23］

=110×(2.2×22+23×2.3)÷（22×2.2+2.3×23)

=110×1

=110

方法二：

     110×（2.2×45+2.3）÷（2.3×45-2.2）

    =110×（2.2×45+2.3）÷［（2.2＋0.1）×45－2.2］

    =110×（2.2×45+2.3）÷（2.2×45＋4.5-2.2）

=110×（2.2×45+2.3）÷（2.2×45+2.3）

=110

5. 计算：

  （3+0.21+0.13)×（0.21+0.13+0.32）-（3+0.21+0.13+0.32）×（0.21+0.13）

板书：

解：假设0.21+0.13=，0.21+0.13+0.32=，则有：

        （3+）-（3+）

        =3+-3-

        =3（-）

        =3×（0.21+0.13+0.32-0.21-0.13）

        =3×0.32

        =0.96

家庭作业

线上作业：第1讲

主管评价

主管评分

课后反思

（不少于60字）

整体效果

设计不足之处

设计优秀之处