四川省仁寿第一中学北校区2022-2023学年高二文科数学下学期4月月考试题（Word版附解析）

仁寿一中北校区高二下学期4月月考数学试卷（文科）

考试时间：120分钟     总分：150分

一．选择题（共60分，每小题5分）

1. 在复平面内，复数z满足，则复数z对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】先求出复数z，即可求出答案.

【详解】，复数z对应的点为

则复数z对应的点位于第四象限

故选：D.

2. 完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．宜采用的抽样方法依次是（    ）

A. ①简单随机抽样，②系统抽样

B. ①分层抽样，②简单随机抽样

C. ①系统抽样，②分层抽样

D. ①②都用分层抽样

【答案】B

【解析】

【分析】可以从总体的个体有无差异和总数是否比较多入手选择抽样方法，①中某社区420户家庭的收入差异较大;②中总体数量较少，且个体之间无明显差异.

【详解】①中某社区420户家庭的收入有了明显了差异，所以选择样本时宜选用分层抽样法;②个体没有差异且总数不多可用简单随机抽样法．故选：B

【点睛】本题主要考查抽样方法的特点及适用范围，属于容易题.

3. 由变量与相对应的一组数据得到的线性回归方程为，根据样本中心满足线性回归方程，则（    ）

A. 45 B. 51 C. 67 D. 63

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意求出，由于样本中心点在回归直线上，所以将代入回归方程可求出.

【详解】由题意得，

因为线性回归方程为，

所以，

故选：B.

4. 从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（    ）

A. 至少有一个白球与都是红球 B. 恰好有一个白球与都是红球

C. 至少有一个白球与都是白球 D. 至少有一个白球与至少一个红球

【答案】B

【解析】

【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可.

【详解】解：对于A，事件：“至少有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但是对立，故A错误；

对于B，事件：“恰好有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但从口袋内任取两个球时还有可能是两个都是白球，

所以两个事件互斥而不对立，故B正确；

对于C，事件：“至少有一个白球”与事件：“都是白球”可以同时发生，所以这两个事件不是互斥的，故C错误；

对于D，事件：“至少有一个白球”与事件：“至少一个红球”可以同时发生，即“一个白球，一个红球” ，所以这两个事件不是互斥的，故D错误.

故选：B.

5. 将二进制数化为十进制数，结果为（    ）

A. 11 B. 18 C. 20 D. 21

【答案】D

【解析】

【分析】根据不同进制转化算法计算可得.

详解】解：.

故选：D

6. 甲、乙两名同学12次考试中数学成绩的茎叶图如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A. 甲同学比乙同学发挥稳定，且平均成绩也比乙同学高

B. 甲同学比乙同学发挥稳定，但平均成绩比乙同学低

C. 乙同学比甲同学发挥稳定，且平均成绩也比甲同学高

D. 乙同学比甲同学发挥稳定，但平均成绩比甲同学低

【答案】C

【解析】

【分析】由茎叶图中的数据，利用平均数及方差公式求出两人成绩的平均数，根据茎叶图中的数据的分散程度，及平均数的方差的统计意义得出得到结果．

【详解】由茎叶图中的数据，得甲同学次考试成绩的平均数是．

乙同学次考试成绩的平均数是，

甲同学数学成绩比较分散，乙同学数学成绩相对集中，

所以乙同学比甲同学发挥稳定，且平均成绩比甲同学高．

故选：C

7. 若下面的程序框图输出的是30，则条件①可为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】用列举法，通过循环过程直接得出与的值，当时，此时，退出循环，从而可得判断框的条件．

【详解】循环前，，，

第1次判断后循环，，，

第2次判断并循环，，，

第3次判断并循环，，，

第4次判断并循环，，，

第5次判断不满足条件①并退出循环，

输出．条件①应该是或

故选：B

8. 哈六中数学兴趣小组的同学们为了计算六中数学组二维码中黑色部分的面积，在如图一个边长为的正方形区域内随机投掷个点，其中落入黑色部分的有个点，据此可估计黑色部分的面积为

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】设黑色部分的面积为，利用几何概型概率计算公式列出方程能估计黑色部分的面积.

【详解】设黑色部分的面积为，

正方形二维码边长为4,
在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，

，解得，

据此可估计黑色部分的面积为9，故选C.

【点睛】本题主要考查几何概型概率公式以及模拟实验的基本应用，属于简单题，求不规则图形的面积的主要方法就是利用模拟实验，列出未知面积与已知面积之间的方程求解.

9. 下列说法正确的是（    ）

A. 在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差

B. 某地气象局预报：6月9日本地降水概率为90%，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学

C. 数据2，3，4，5的方差是数据4，6，8，10的方差的一半

D. 在回归直线方程，当解释变量每增加1个单位时，预报变量多增加0.1个单位

【答案】D

【解析】

【分析】由残差图与模拟效果的关系判断A；由大概率事件也不一定发生判断B；第二组数据是由第一组乘以2得到的，可由方差的关系判断C；由回归分析模型的性质以及回归方程b的含义判断D．

【详解】对于A选项：在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好，故A选项错误；

对于B选项：概率只说明事件发生的可能性，事件不一定发生，所以并不能说明天气预报不科学，故B选项错误；

对于C选项：根据所给的数据，看出第二组是由第一组乘以2得到的，前一组的方差是后一组的四分之一，标准差是一半，故C选项错误；

对于D选项：在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量增加0.1个单位，故D选项正确．
故选：D．

10. 已知直线，直线，其中实数，则直线与交点位于第一象限的概率为（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】求出直线与直线的交点坐标，根据交点在第一象限求出实数的取值范围，再利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】若直线与相交，则，可得，

联立可得，

所以，当时，直线与直线的交点为在第一象限，

所以，，解得，

所以，直线与的交点位于第一象限的概率为.

故选：A.

11. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到经验回归方程，则的值分别是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】模型两边取对数，又，可得，又已知回归方程，可求的值.

【详解】由题意得，设，可得.

又经验回归方程为，

所以，故.

故选：B

12. 公元前5世纪下半叶开奥斯地方的希波克拉底解决了与化圆为方有关的化月牙形为方.如图，以O为圆心的大圆直径为4,以AB为直径的半圆面积等于AO与BO所夹四分之一大圆的面积,由此可知，月牙形区域的面积与△AOB的面积相等.现在在两个圆所覆盖的区域内随机取一点，则该点来自阴影部分的概率是

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

分别计算出上方阴影部分的面积和下方阴影部分面积，再代入几何概型公式即可.

【详解】上方阴影部分的面积等于的面积.

下方阴影部分面积等于.

所以根据几何概型得所求概率：.

故选：

【点睛】本题主要考查几何概型，求出方阴影部分的面积和下方阴影部分面积是解决本题的关键，属于中档题.

二．填空题（共20分，每小题5分）

13. 用秦九韶算法计算多项式当的值时，其中的值为_________ .

【答案】36

【解析】

【分析】本题可以先将多项式转化为，再令即可求出结果.

【详解】，

，

当时，，

，，.

故答案为：.

14. 若复数z满足 |z－i|≤ (i为虚数单位)， 则z在复平面内所对应的图形的面积为_____________．

【答案】2π

【解析】

【详解】分析：由的几何意义可知，点的轨迹是以为圆心，为半径的实心圆，由圆的面积公式可得结论.

详解：，

在复平面内对应点的的轨迹是以为圆心，

为半径的实心圆，

该圆的面积为，故答案为.

点睛：复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离，所以若，则表示点与点的距离，表示以为圆心，以为半径的圆.

15. 已知变量x和y的统计数据如下表：

如果由表中数据可得经验回归直线方程为，那么，当时，残差为______.（注：残差=观测值-预测值）

【答案】##

【解析】

分析】先求出回归方程，再根据回归方程求出预测值，最后计算残差即可.

【详解】，

所以，

所以时，，

所以残差为.

故答案为：.

16. 已知正方体的棱长为，则在该正方体内任取一点，则其到顶点的距离大于的概率为____________．

【答案】

【解析】

【分析】根据几何概型的知识求得正确答案.

【详解】到顶点的距离等于的点的轨迹是以为球心，半径为的球面的八分之一，

所以到顶点的距离大于的概率为.

故答案为：

三．解答题（共90分）

17. 已知是虚数单位，复数（）．

（1）若为纯虚数，求；

（2）若在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据复数的概念可得出关于实数的等式与不等式，解出的值，可得出复数，再利用共轭复数的定义可得出复数；

（2）根据复数的几何意义可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.

【小问1详解】

解：若为纯虚数，

则，解得，则，

所以.

【小问2详解】

解：若在复平面内对应的点在第四象限，

则，解得.

即实数的范围为.

18. 某校对高一年级800名学生进行食堂满意度调查，分性别得到的调查结果如下：

（1）从这800名学生中随机抽取一人，求该学生是女同学且对食堂满意的概率；

（2）该校准备在本次调查对食堂不满意的学生中，用等比例分层随机抽样的方法按性别抽取5人进行进一步调查，了解对食堂不满意的原因，并在这5人中随机选出2人发一份小礼品，求这2人恰好是一男一女的概率．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据古典概型概率计算公式计算出所求概率.

（2）利用列举法，结合古典概型概率计算公式计算出所求概率.

【小问1详解】

依题意，从这800名学生中随机抽取一人，

该学生是女同学且对食堂满意的概率为.

【小问2详解】

不满意的男女生比例为，

用等比例分层随机抽样的方法按性别抽取5人进行进一步调查，

则男生抽取人，女生抽取人，

男生记为，女生记为，

在这5人中随机选出2人，基本事件为，

，共个，

其中一男一女的为：，，共个，

所以在这5人中随机选出2人发一份小礼品，这2人恰好是一男一女的概率为.

19. 2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆，航天员翟志刚，王亚平，叶光富顺利出舱，神舟十三号载人飞行任务圆满完成．为纪念中国航天事业成就，发扬并传承中国航天精神，某校抽取100名学生进行了航天知识竞赛并纪录得分（满分：100分），根据得分将他们的成绩分成[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]六组，制成如图所示的频率分布直方图．

（1）求图中a的值；

（2）估计竞赛成绩不低于60分的概率；

（3）估计这100人竞赛成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）及中位数.

【答案】（1）   

（2）   

（3）平均数为，中位数为

【解析】

【分析】（1）根据频率之和为求得.

（2）根据频率分布直方图求得所求概率.

（3）根据平均数和中位数的求法求得正确答案.

【小问1详解】

，

.

【小问2详解】

竞赛成绩不低于60分的概率为.

【小问3详解】

平均数为

前组的频率为，

所以中位数为.

20. 某地拟于2024年将游泳列为中考体育内容.为了了解当地2023届初三学生的性别和喜欢游泳是否有关，对100名初三学生进行了问卷调查，得到如下列联表：

已知这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为.

（1）请补充完整上述列联表；

（2）判断是否有的把握认为喜欢游泳与性别有关.

附：，.

【答案】（1）见解析    （2）有的把握认为喜欢游泳与性别有关

【解析】

【分析】（1）根据题意计算即可完善列联表；

（2）计算卡方值，和10.828比较即可得出结论．

【小问1详解】

因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为，所以喜欢游泳的学生人数为．

其中女生有20人，男生有40人，列联表补充如下：

【小问2详解】因为，

所以有的把握认为喜欢游泳与性别有关．

21. 已知关于的一元二次方程，记该方程有两个不等的正实根为事件.

（1）设抛掷两枚质地均匀的正方体骰子所得点数分别为、，求事件发生的概率；

（2）利用计算器产生两个随机数、，且，，若，，求事件发生的概率.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）计算出基本事件的总数，列举出事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得，即为所求；

（2）根据题意求出事件所构成的区域，作出图形，利用面积比可求得，即为所求.

【详解】（1）抛掷两枚质地均匀的骰子所得点数构成有序数对的所有基本事件数为，

用事件表示“方程有两个不等的正实数根”，则且，

则事件包含的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共个基本事件，

所以，；

（2）用事件表示“方程有两个不等的正实数根”，

，

，

，

所以事件构成区域如下图中的阴影部分区域如下图所示：

阴影部分区域的面积为，

因此，.

【点睛】方法点睛：常见的几何概型类型如下：

（1）长度型；

（2）面积型；

（3）体积型.

22. 某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x与烧开一壶水所用时间y的一组数据，且作了一定的数据处理（如下表），得到了散点图（如下图）.

表中，.

（1）根据散点图判断，与哪一个更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型?（不必说明理由）

（2）根据判断结果和表中数据，建立y关于x的回归方程；

（3）若单位时间内煤气输出量t与旋转的弧度数x成正比，那么x为多少时，烧开一壶水最省煤气？

附：对于一组数据，，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.

【答案】（1）选更适宜；   

（2）；   

（3）.

【解析】

【分析】（1）根据给定的散点图直接选择回归方程类型作答.

（2）由（1）中方程类型，令，求出关于的回归直线方程即可作答.

（3）由（2）的结论，列出煤气用量关于x的函数，借助均值不等式求解作答.

【小问1详解】

由于随x的增大散点图中的点近似地在一条曲线上逐渐下降，所以选更适宜.

【小问2详解】

由（1）令，于是得关于的回归直线方程，

由最小二乘法公式得：，

，则关于的回归直线方程为，

所以所求回归方程为.

【小问3详解】

依题意，设，

则煤气用量，当且仅当，即时取“=”，