浙江省温州市环大罗山联盟2022-2023学年高一数学下学期期中联考试题（Word版附解析）

2022学年第二学期环大罗山联盟期中联考

高一年级数学学科试题

考生须知：

1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．

2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．

3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．

4．考试结束后，只需上交答题纸．

选择题部分

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．）

1. 复数的虚部为（    ）

A. －3 B. 3 C. 2 D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数的概念直接可得答案.

【详解】复数的虚部为

故选：A

【点睛】本题考查复数的基本概念，属于基础题.

2. 等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求出结果.

【详解】因为，

故选：D.

3. 设，，，则的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可；

【详解】解：因为，，即，

，

所以；

故选：A

4. 在半径为9的圆中，的圆心角所对弧长为（    ）

A. 900 B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据角度制与弧度制转化并结合弧长公式即可得到答案.

【详解】，则所对弧长为.

故选：B

5. 把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如图），请根据各面上的图案判断这个正方体是（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．

【详解】结合立体图形与平面图形的相互转化，即可得出两圆应该在几何体的上下，符合要求的只有C和D，再根据三角形的位置，即可得出答案，

故选：C

6. 若为的边BC的中点，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据条件，利用向量的运算法则即可求出结果.

【详解】因为为的边BC的中点，

所以，得到，

故选：B.

7. 如图，已知直角梯形ABCD，，，，P是斜腰BC边（含端点）上的动点，的最小值为（    ）

A. 0 B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】建立合适的直角坐标系，求出直线的方程，再利用向量数量积的坐标运算即可.

【详解】因为四边形为直角梯形，则以为坐标原点建立如图所示直角坐标系，

因为，所以，

则，设直线的方程为，

则代入坐标有，解得，

则直线的方程为，

则可设，，

则，则，

因为，则其最小值为，

故选：D.

8. 小李同学到如图所示的一个影视厅观看电影，由于看电影的观众比较多，占去了观影区的其它位置，只剩下01-10座，共10个座位．电影院的平面图数据如图所示，使小李同学观影视角最好（水平方向视角，即眼睛看屏幕两侧的视线夹角最大）的座位是（    ）

A. 01座 B. 02座 C. 03座 D. 10座

【答案】B

【解析】

【分析】简化成数学模型，再设未知数，利用两角和与差的正切公式结合基本不等式即可得到答案.

【详解】将此题简化为如下数学图形，其中，，

题目转化为求找到点的位置，使得最大，

设，，则，

则，

当且仅当，即时成立，此时座位位于第2座，

故选：B.

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）

9. 若向量，，下列结论正确的是（    ）

A. 若，则

B 时，

C. 与垂直的单位向量有两个

D. 时，在上投影向量为

【答案】CD

【解析】

【分析】根据向量模的坐标运算即可判断A，根据向量共线的坐标表示即可判断B，根据向量垂直的坐标表示和单位向量的定义即可判断C，根据投影向量的求法即可判断D.

【详解】对A，，解得，故A错误；

对B，当时，，显然，故B错误；

对C，设与垂直的单位向量为，则有，

解得或，则，则C正确；

对D，，则在上的投影向量为，故D正确.

故选：CD.

10. 已知复数，则下列说法正确的是（    ）

A.  B. 的共轭复数为

C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】根据复数乘除法计算出，再利用复数模的计算、共轭复数的概念、乘方的运算法则以及虚数无法比较小的性质一一分析即可.

【详解】，

对A，则，故A错误；

对B，其共轭复数为，则B正确；

对C，两个虚数无法比较大小，故C错误；

对D， ，故D正确.

故选：BD.

11. 关于函数，其中，下列命题正确的是（    ）

A. 若，则对，若满足，则必有成立；

B. 若，在区间上单调递减；

C. 若，函数的图象关于点成中心对称；

D. 将函数的图象向右平移个单位后与的图象重合，则有最小值1．

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于ABC直接代入利用辅助角公式得，再根据平移原则结合诱导公式即可判断A，根据正弦型函数的单调性即可判断B，代入检验即判断C，根据平移原则结合正余弦函数的关系即可判断D.

【详解】若，则

对于A，对，若满足，

则

，故A正确；

对B，，，

而正弦函数在上单调递增，

因此函数在上单调递增，故B错误；

对于C，显然，所以函数的图象关于点成中心对称，故C正确；

对于D，依题意，，将其向右平移个单位得

于是得，，

则，且，则，所以，故D正确.

故选：ACD.

12. 阳马和鳖臑［biē nào］是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱（图2，图3），称为堑堵．再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开（图4），得四棱锥和三棱锥各一个．以矩形为底，有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马（图5）．余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑（图6）．若图1中的长方体是棱长为4的正方体，则下列结论正确的是（    ）

A. 鳖臑中只有一个面不是直角三角形 B. 鳖臑外接球半径为

C. 鳖臑的体积为正方体的 D. 鳖臑内切球半径为

【答案】BD

【解析】

【分析】利用题设条件，逐一对各个选项分析判断即可得到结果.

【详解】对于选项A，由题知，鳖臑是由四个直角三角形组成的四面体，所以选项A错误；

对于选项B，由题知鳖臑的外接球即长方体的外接球，而长方体是棱长为4的正方体，

又易知，正方体外接球的半径为体对角线的一半，所以鳖臑外接球的半径为，所以选项B正确；

对于选项C，鳖臑是由四个直角三角形组成的四面体，且易知面,

所以，

又正方体的体积为，故鳖臑的体积为正方体的，所以选项C错误；

对于选项D，设鳖臑内切球半径为，由选项C知，鳖臑的体积，

则，

又，所以，所以选项D正确.

故选：BD

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）

13. 若复数在复平面内的对应点关于实轴对称，且，则__________.

【答案】25

【解析】

【分析】利用对称得到复数，再利用复数的乘法求解.

【详解】解：因为复数在复平面内的对应点关于实轴对称，且，

所以，

则，

故答案为：25

14. 若一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则这个圆锥的侧面积与表面积之比为_____．

【答案】

【解析】

【分析】

【详解】试题分析：设底面圆的半径为，母线长，所以，

所以侧面积为，表面积为，所以面积比为

考点：圆锥的表面积侧面积

15. 已知，则______．

【答案】

【解析】

【分析】直接利用同角三角函数关系和商数关系即可.

【详解】因为，解得，

所以，

所以，

故答案为：.

16. 水平放置的圆柱形容器底半径为3cm，高15cm，已知该容器中装有高度为h cm的水.实验时甲同学先把一个棱长为3cm的玻璃立方体放进了容器里，然后乙同学逐个缓慢放入两个半径为3cm的实心玻璃球，使两个球都浸没在容器的水中.若第一只球放入的过程中水没溢出，第2只球放入的过程中有水溢出容器，则高度h的取值范围为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据给定的信息，结合圆柱、球、正方体的体积公式列出不等式求解作答.

【详解】依题意，圆柱的体积为，球的体积为，正方体的体积为，

圆柱形容器中原有水的体积为，

由第一只球放入的过程中水没溢出，第2只球放入的过程中有水溢出容器，

得，解得，

所以高度h的取值范围为.

故答案为：

四、解答题（本題共6小題，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，否则酌情扣分．）

17. 已知复数（，i为虚数单位）．

（1）若为纯虚数，求实数a的值；

（2）若，且复数所对应的点位于第四象限，求a的取值范围．

【答案】（1）1.    （2）

【解析】

【分析】（1）根据复数乘法运算求出，再根据纯虚数的概念求解.

（2）化简复数，根据所对应的点位于第四象限列不等式组求解.

【小问1详解】

因为复数，

则

又为纯虚数，所以，

解得，

【小问2详解】

因为

由复数所对应的点位于第四象限，可得:，解得 ，

 所以的范围为.

18. 如图，已知中，，D是边BC上一点，且．

（1）设，，试用，表示．

（2）若，求的大小．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据平面向量基本定理用基底表示向量.

（2）分别求出长度，在中用勾股定理求解.

【小问1详解】

因为，所以，

所以.

【小问2详解】

因，，

由余弦定理得 ，

因为，所以 ，

，

在中，，所以，则，

所以，

又因为为锐角，所以的大小为.

19. 如图，某公园摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为，摩天轮做匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处．

（1）已知在时刻（单位：）时点P距离地面的高度（其中，，），求函数解析式及时点P距离地面的高度；

（2）当点P距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，若游客可以在上面游玩，则游客在游玩过程中共有多少时间可以看到公园的全貌？

【答案】（1），   

（2）1

【解析】

【分析】（1）由已知可得，函数的振幅等于圆形的半径即，周期，即，，零时刻处，摩天轮上在最低点，可知初相，这样便可求得的解析式，进而求得时距离地面的高度；

（2）从最低处开始到达高度为刚好能看着全貌，经过最高点再下降至时又能看着全貌，求得两次的时间差即能看着全貌的时间．

【小问1详解】

由题意可知：，

所以，又，得到，即，

又摩天轮上的点的起始位置在最低点处，即，所以，

即，又，所以，

故，

当时，，所以时点P距离地面的高度为85.

【小问2详解】

因为从最低处开始到达高度为刚好能看着全貌，经过最高点再下降至时又能看着全貌，

由（1）知，得到，即，得到，

所以， 又，

所以，游客在游玩过程中共有可以看到公园的全貌.

20. 在中，角的对边分别是，若，．

（1）证明：是正三角形．

（2）若的三顶点都在球O表面，且球O的表面积为，求三棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角得到，进而可得到，从而证明结果；

（2）根据条件求出球的半径和外接圆的半径，再利用球的截面圆性质求出三棱锥的高，即可求出结果.

【小问1详解】

因为，由正弦定理得，，

整理得，，即，

又，所以，得到，所以，

又，所以是正三角形.

【小问2详解】

设球的半径为，因为球O的表面积为，所以，得到，

由（1）知是正三角形，且边长为3，

设外接圆半径为，由正弦定理得，所以，

设球心到所在平面距离为，则由球的截面圆性质知，，

得到，又，

所以，三棱锥的体积为.

21. 已知的角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，满足．

（1）求A；

（2）若的面积为，且，点D为边BC的中点，求AD的长．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由正弦定理得到，再利用余弦定理求出；

（2）在第一问的基础上，结合，利用三角恒等变换求出，进而由三角形面积得到，由余弦定理求出答案.

【小问1详解】

，，

即

即，

所以由正弦定理可得，即，

由余弦定理可得，

又，所以．

【小问2详解】

因为，

所以，

即，

又，则，所以，

所以，，

所以，

所以，故，，

故在中，由余弦定理可得，

则．

22. 已知函数，．

（1）指出单调性与的奇偶性，并用定义证明的奇偶性．

（2）是否存在实数使不等式对恒成立，若存在求出的范围，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）为上的增函数, 是奇函数，证明见解析.   

（2）存在使得不等式恒成立，理由见解析.

【解析】

【分析】（1）根据与的单调性判断单调性，根据奇偶性定义判断的奇偶性．

（2）根据奇函数性与单调性将不等式转化为对恒成立，换元后转化对任意恒成立求解.

【小问1详解】

∵，函数的定义域为，为增函数，为减函数，为增函数，

∴为上的增函数.

∵，函数的定义域为，定义域关于原点对称，

∴，

∴是奇函数.

∵为奇函数，

∴也是奇函数.

【小问2详解】

，

即，

即，

即，

即，

即，

∵是奇函数，

∴，

又∵为上的增函数，

∴，

∴，

∵，∴，

令，问题转化为对任意恒成立，

所以 ，解得，

故存在实数使不等式对恒成立.