福建省福州市闽侯县2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份福建省福州市闽侯县2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
福建省福州市闽侯县2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷（解析版）
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分，每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂）
1．（4分）现实世界中，对称现象无处不在．以下银行图标是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（4分）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（　　）
A．3cm，4cm，8cm B．12cm，13cm，19cm
C．7cm，8cm，15cm D．5cm，5cm，12cm
3．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣3，5）关于x轴的对称点的坐标是（　　）
A．（3，5） B．（3，﹣5） C．（5，﹣3） D．（﹣3，﹣5）
4．（4分）如图，△ABC≌△DCB，若AC＝8，则DE的长为（　　）

A．8 B．5 C．13． D．3
5．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝55°，DE∥AB，则∠DEC等于（　　）

A．62° B．55° C．63° D．117°
6．（4分）下列图形对称轴最多的是（　　）
A．正方形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．线段
7．（4分）如图，用尺规作图作∠AOC＝∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，那么第二步的作图痕迹②的作法是（　　）

A．以点F为圆心，OE长为半径画弧
B．以点F为圆心，EF长为半径画弧
C．以点E为圆心，OE长为半径画弧
D．以点E为圆心，EF长为半径画弧
8．（4分）如图，△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，P为MN上任一点（　　）

A．△AA′P是等腰三角形
B．MN垂直平分CC'
C．△ABC与△A'B'C'周长相等
D．直线AB、A'B'的交点不一定在MN上
9．（4分）如图，△ABC的三边AB，BC，10，12，则S△ABO：S△BCO：S△ACO的比值为（　　）

A．1：1：1 B．2：3：4 C．4：5：6 D．2：3：5
10．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC（1）分别以B，C为圆心，两弧交于点D；（2）连接DB、DA、DC，则下列结论中错误的是（　　）

A．AD垂直平分BC
B．若∠BAC＝120°，则DE＝4AE
C．S四边形ABDC＝AD•BC
D．若∠BAC＝60°，则BC垂直平分AD
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分，请将答案填写在答题卡相应位置）
11．（4分）在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝4∠C　 　．
12．（4分）如果一个正多边形的每一个内角度数都是120°，则该正多边形的边数为 　 　．
13．（4分）如图，已知∠1＝∠2，要使△ABD≌△ACD　 　．（填写一个即可）

14．（4分）如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2＝9cm，则△PMN的周长为　 　cm．

15．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，交AB于E，且BD平分∠ABC　 　度．

16．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AB＝13，若M，N为边BC，那么CN+MN的最小值为 　 　．

三、解答题（共9小题，满分86分）
17．（8分）已知一个多边形的边数为n．
（1）若n＝6，求这个多边形的内角和．
（2）若这个多边形的内角和的为300°，求n的值．
18．（8分）如图，点C，E，F，B在同一直线上，D在BC异侧，AB∥CD，∠A＝∠D，求证：△ABE≌△DCF．

19．（8分）如图，在△ABC中，以点B为圆心，交BC边于点D，连接AD．若∠B＝44°，求∠ADB和∠DAC的度数．
​

20．（8分）如图，已知△ABC的三个顶点分别为A（2，6），B（3，3），C（﹣2，1）．
（1）请在图中画出△ABC关于x轴的轴对称图形△DEF．（点A，B，C的对应点分别是D，E，F），并直接写出D，E，F的坐标．
（2）已知，求四边形BCFE的周长．

21．（8分）证明：如果两个三角形有两条边和其中一条边上的高分别相等，那么这两个三角形全等．（请根据图形，用符号语言表示出已知和求证，并写出证明过程．）

22．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）用直尺和圆规在AC上作点P，连接BP，使得AP＝BP．（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）在（1）的条件下，若点P分别到AB和BC的距离相等

23．（10分）如图，在△ABC中，AC＞BC，点D是AB边上一点，且CD＝CB，与AC交于点F，过点C作CG⊥BD
（1）求证：∠BCD＝2∠ABF；
（2）判断△BCF的形状，并说明理由．

24．（12分）在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是射线CB上的动点．
（1）如图1，当点E在线段CB的延长线上时，连接AE，AE＝AB＝BC，则∠BAD的度数为 　 　．
（2）如图2，∠ABC＞∠ACB，点P在线段AD的延长线上，并证明．
（3）如图3，当∠DAE＝90°，∠BAC＝30°时，请求出∠ADB的度数．

25．（14分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，作点A关于直线CH的对称点D，连接AD，CD，其中BD交直线CH于点E（45°＜α＜90°）
（1）设△ABE，△ADE，△ABD的周长分别为m，n，k；（用m，n，k表示）
（2）试探究∠ADB的大小是否会随着α的改变而改变？如果改变，请用含α的式子表示其大小；如果不变；
（3）若CE＝4，试说明△ACE的面积和△BCE的面积满足S△ACE﹣S△BCE＝8．


参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分，每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂）
1．（4分）现实世界中，对称现象无处不在．以下银行图标是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的知识得出结论即可．
【解答】解：ABD选项中的图形都不是轴对称图形，C选项中的图形是轴对称图形，
故选：C．
【点评】本题主要考查轴对称图形的知识，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键．
2．（4分）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（　　）
A．3cm，4cm，8cm B．12cm，13cm，19cm
C．7cm，8cm，15cm D．5cm，5cm，12cm
【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
【解答】解：A、3+4＜2，4cm，故A不符合题意；
B、12+13＞19，13cm，故B不符合题意；
C、7+6＝15，8cm，故C不符合题意；
D、5+5＜12，5cm，故D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
3．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣3，5）关于x轴的对称点的坐标是（　　）
A．（3，5） B．（3，﹣5） C．（5，﹣3） D．（﹣3，﹣5）
【分析】关于x轴对称的两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数．
【解答】解：∵关于x轴对称的两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数
∴点P（﹣3，5）关于x轴的对称点的坐标是（﹣8．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是关于坐标轴对称点的坐标特点，明确关于x轴对称的两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题的关键．
4．（4分）如图，△ABC≌△DCB，若AC＝8，则DE的长为（　　）

A．8 B．5 C．13． D．3
【分析】根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DCB，AC＝8，
∴AC＝BD＝8，
∵BD＝BE+DE，BE＝5，
∴DE＝3，
故选：D．
【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟记“全等三角形的对应边相等”是解题的关键．
5．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝55°，DE∥AB，则∠DEC等于（　　）

A．62° B．55° C．63° D．117°
【分析】利用三角形内角和定理求出∠A，再利用平行线的性质求解．
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣55°﹣62°＝63°，
∵DE∥AB，
∴∠DEC＝∠A＝63°，
故选：C．
【点评】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握三角形内角和定理，属于中考常考题型．
6．（4分）下列图形对称轴最多的是（　　）
A．正方形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．线段
【分析】根据轴对称图形的对称轴的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做轴对称图形的对称轴．
【解答】解：A、有4条对称轴；
B、有3条对称轴；
C、有4条对称轴；
D、有2条对称轴．
故选：A．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的定义，轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．这条直线是它的对称轴．
7．（4分）如图，用尺规作图作∠AOC＝∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，那么第二步的作图痕迹②的作法是（　　）

A．以点F为圆心，OE长为半径画弧
B．以点F为圆心，EF长为半径画弧
C．以点E为圆心，OE长为半径画弧
D．以点E为圆心，EF长为半径画弧
【分析】根据作一个角等于已知角的作法即可得出结论．
【解答】解：用尺规作图作∠AOC＝∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①、OB于点E、F，
第二步的作图痕迹②的作法是以点E为圆心，EF长为半径画弧．
故选：D．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知作一个角等于已知角的步骤是解答此题的关键．
8．（4分）如图，△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，P为MN上任一点（　　）

A．△AA′P是等腰三角形
B．MN垂直平分CC'
C．△ABC与△A'B'C'周长相等
D．直线AB、A'B'的交点不一定在MN上
【分析】由轴对称的性质可知△ABC≌△A'B'C'，AA'⊥MN，CC'⊥MN，即可求解．
【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，
∴△ABC≌△A'B'C'，AA'⊥MN，
∵P为MN上任一点，
∴AP＝A'P，
∴△AA'P是等腰三角形，
∴A选项不符合题意；
∵AP＝A'P，CP＝C'P，
∴MN垂直平分AA'、CC'，
∴B选项不符合题意；
∵△ABC≌△A'B'C'，
∴△ABC与△A'B'C'周长相等，
∴C选项不符合题意；
∵由轴对称的性质，可知直线AB，
∴D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查轴对称的性质，熟练掌握图形轴对称的性质、等腰三角形的性质、三角形全等的性质是解题的关键．
9．（4分）如图，△ABC的三边AB，BC，10，12，则S△ABO：S△BCO：S△ACO的比值为（　　）

A．1：1：1 B．2：3：4 C．4：5：6 D．2：3：5
【分析】过点O作OD⊥AC于点D，OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，由角平分线的性质等OE＝OF＝OD，再由三角形面积公式即可得出结论．
【解答】解：过点O作OD⊥AC于点D，OE⊥AB于点E，

∵点O是三条角平分线的交点，
∴OE＝OF＝OD，
∴S△ABO：S△BCO：S△AOC＝AB•OE：AC•OD＝AB：BC：AC＝8：10：12＝4：2：6，
故选：C．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质以及三角形面积，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
10．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC（1）分别以B，C为圆心，两弧交于点D；（2）连接DB、DA、DC，则下列结论中错误的是（　　）

A．AD垂直平分BC
B．若∠BAC＝120°，则DE＝4AE
C．S四边形ABDC＝AD•BC
D．若∠BAC＝60°，则BC垂直平分AD
【分析】由作图得DB＝DC＝BC，因为AB＝AC，DA＝DA，所以△ABD≌△ACD，则∠BDA＝∠CDA，所以AD垂直平分BC，可判断A正确；由等边三角形的性质得∠BDC＝60°，而∠BAC＝120°，则∠BDA＝∠CDA＝∠BDC＝30°，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝60°，所以∠ABD＝90°，则AB＝AD，因为∠AEB＝90°，∠ABE＝30°，所以AE＝AB＝AD，则AD＝4AE，可判断B错误；因为AD⊥BC，所以S四边形ABDC＝AD•BC，可判断C正确；因为AB＝AC，∠BAC＝60°，所以△ABC是等边三角形，则AB＝BC＝DB，所以BC垂直平分AD，可判断D正确，于是得到问题的答案．
【解答】解：由作图得DB＝DC＝BC，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BDA＝∠CDA，
∴AD垂直平分BC，
故A正确；
∵△DBC是等边三角形，
∴∠BDC＝60°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BDA＝∠CDA＝∠BDC＝30°∠BAC＝60°，
∴∠ABD＝180°﹣∠BDA﹣∠BAD＝90°，
∴AB＝AD，
∵∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣∠BAD＝30°，
∴AE＝AB＝×AD，
∴AD＝3AE，
∴DE＝3AE≠4AE，
故B错误；
∵AD⊥BC，
∴S四边形ABDC＝S△ABD+S△ACD＝AD•BE+AD•BC，
故C正确；
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，
∴AB＝DB，
∵BC⊥AD，
∴AE＝DE，
∴BC垂直平分AD，
故D正确，
故选：B．
【点评】此题重点考查尺规作图、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、线段的垂直平分线的性质等知识，证明△ABD≌△ACD是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分，请将答案填写在答题卡相应位置）
11．（4分）在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝4∠C　30°　．
【分析】根据三角形内角和定理得出∠B+∠C＝180°﹣∠A，再根据∠B＝4∠C，求出∠C即可．
【解答】解：∵∠A＝30°，∠B+∠C＝180°﹣∠A，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠A＝150°，
∵∠B＝4∠C，
∴5∠C＝150°，
∴∠C＝30°，
故答案为：30°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形的内角和等于180°．
12．（4分）如果一个正多边形的每一个内角度数都是120°，则该正多边形的边数为 　六　．
【分析】由多边形的每一个内角都是108°先求得它的每一个外角是72°，然后根据正多边形的外角和是360°求解即可．
【解答】解：∵一个正多边形的每一个内角都是120°，
∴这个正多边形的每一个外角都是180°﹣120°＝60°，
∴360°÷60°＝6．
故答案为：六．
【点评】本题主要考查的是正多边形与圆，多边形的内角与外角，明确正多边形的每个内角的度数×边数＝360°是解题的关键．
13．（4分）如图，已知∠1＝∠2，要使△ABD≌△ACD　AB＝AC（答案不唯一）　．（填写一个即可）

【分析】由全等三角形的判定，即可得到答案．
【解答】在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS）．
故答案为：AB＝AC（答案不唯一）．
【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．
14．（4分）如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2＝9cm，则△PMN的周长为　9　cm．

【分析】P点关于OA的对称是点P1，P点关于OB的对称点P2，故有PM＝P1M，PN＝P2N．
【解答】解：∵P点关于OA的对称是点P1，P点关于OB的对称点P2，
∴PM＝P3M，PN＝P2N．
∴△PMN的周长为PM+PN+MN＝MN+P1M+P4N＝P1P2＝2．
故答案为：9
【点评】本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
15．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，交AB于E，且BD平分∠ABC　72　度．

【分析】先根据AB＝AC，再由垂直平分线的性质和三角形内角和求出∠ABD的度数，再由三角形内角与外角的性质解答即可．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵DE垂直平分AB，
∴∠A＝∠ABD，
∵∠A+∠ABC+∠C＝5∠ABD＝180°，
∴∠ABD＝36°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°．
故答案为：72
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理、等腰三角形的性质，解答此题的关键是熟知线段垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
16．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AB＝13，若M，N为边BC，那么CN+MN的最小值为 　　．

【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值．
【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，
∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，
∴MN＝ME，
∴CE＝CM+ME＝CM+MN的最小值．
∵∠ACB＝90°，BC＝12，AB＝13，
∴AB•CE＝，
即13CE＝12×5，
∴CE＝．
即CM+MN的最小值为．
故答案为：．

【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
三、解答题（共9小题，满分86分）
17．（8分）已知一个多边形的边数为n．
（1）若n＝6，求这个多边形的内角和．
（2）若这个多边形的内角和的为300°，求n的值．
【分析】（1）直接根据多边形内角和公式为（n﹣2）×180°求解即可；
（2）根据多边形的外角和为360°，然后根据多边形内角和列方程求解即可．
【解答】解：（1）当n＝6时，（6﹣2）×180°＝720°，
所以这个多边形的内角和为720°；
（2）由题意得，×（n﹣7）×180°＝300°，
解得：n＝7，
所以n的值为7．
【点评】本题考查了多边形内角和与外角和，熟练掌握多边形内角和公式（n﹣2）×180°以及多边形的外角和为360°是解本题的关键．
18．（8分）如图，点C，E，F，B在同一直线上，D在BC异侧，AB∥CD，∠A＝∠D，求证：△ABE≌△DCF．

【分析】根据平行线的性质求出∠B＝∠C，根据AAS推出△ABE≌△DCF即可．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
∵CE＝BF，
∴CF＝BE，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（AAS）．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
19．（8分）如图，在△ABC中，以点B为圆心，交BC边于点D，连接AD．若∠B＝44°，求∠ADB和∠DAC的度数．
​

【分析】根据题意和等腰三角形的性质，可以求得∠BAD和∠BDA的度数，再根据三角形外角和内角的关系，即可求得∠DAC的度数．
【解答】解：

∵∠B＝44°，∠C＝54°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝82°，
由作图可知：BA＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣∠B）÷2＝68°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝14°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质、三角形外角和内角的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．（8分）如图，已知△ABC的三个顶点分别为A（2，6），B（3，3），C（﹣2，1）．
（1）请在图中画出△ABC关于x轴的轴对称图形△DEF．（点A，B，C的对应点分别是D，E，F），并直接写出D，E，F的坐标．
（2）已知，求四边形BCFE的周长．

【分析】（1）根据轴对称的性质即可在图中画出△ABC关于x轴的轴对称图形△DEF，进而写出D，E，F的坐标；
（2）根据，利用网格即可求四边形BCFE的周长．
【解答】解：（1）如图，△DEF即为所求；
D（2，﹣6），﹣7），1）；
（2）∵＝EF，BE＝6，
∴四边形BCFE的周长＝2+8．

【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
21．（8分）证明：如果两个三角形有两条边和其中一条边上的高分别相等，那么这两个三角形全等．（请根据图形，用符号语言表示出已知和求证，并写出证明过程．）

【分析】根据题意首先写出已知和求证，进而利用全等三角形的判定与性质得出Rt△ADB≌Rt△A′D′B′以及∠B＝∠B′进而得出△ABC≌△A′B′C′．
【解答】解：已知：如图，锐角△ABC与锐角△A′B′C′，AB＝A′B′，A′D′⊥B′C′，
求证：△ABC≌△A′B′C′．

证明：∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，
∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°，
在Rt△ADB和Rt△A′D′B′中，
，
∴Rt△ADB≌Rt△A′D′B′（HL），
∴∠B＝∠B′，
在△ABC与△A′B′C′中，
，
∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练应用全等三角形的判定方法是解题关键．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）用直尺和圆规在AC上作点P，连接BP，使得AP＝BP．（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）在（1）的条件下，若点P分别到AB和BC的距离相等

【分析】（1）作AB的垂直平分线即可；
（2）根据角平分线的判定定理、线段的垂直平分线的性质定理及三角形的内角和定理求解．
【解答】解：（1）点P即为所求；
（2）由（1）得：PD垂直平分AB，
∴AP＝BP，∠PDB＝90°，
∴∠A＝∠ABP，
∵点P分别到AB和BC的距离相等，∠ACB＝90°，
∴BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠CBP，
∴∠A＝∠ABP＝∠CBP，
∵∠A+∠ABP+∠CBP＝90°，
∴∠CBP＝30°．

【点评】本题考查了复杂作图，掌握角平分线的判定定理、线段的垂直平分线的性质定理及三角形的内角和定理是解题的关键．
23．（10分）如图，在△ABC中，AC＞BC，点D是AB边上一点，且CD＝CB，与AC交于点F，过点C作CG⊥BD
（1）求证：∠BCD＝2∠ABF；
（2）判断△BCF的形状，并说明理由．

【分析】（1）先利用等腰三角形的三线合一性质可得∠BCD＝2∠BCG＝2∠DCG，再根据垂直定义可得∠BED＝∠DGC＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠DCG+∠CDG＝90°，∠ABF+∠CDG＝90°，从而可得∠ABF＝∠DCG，即可解答；
（2）先利用直角三角形的两个锐角互余可得∠ACG＝45°，从而可得∠ACB＝45°+∠BCG，然后利用三角形的外角性质可得∠CFB＝45°+∠ABF，再利用（1）的结论可得∠ABF＝∠BCG，从而可得∠ACB＝∠CFB，最后根据等角对等边可得BC＝BF，即可解答．
【解答】（1）证明：∵CD＝CB，CG⊥BD，
∴∠BCD＝2∠BCG＝2∠DCG，
∵BF⊥CD，CG⊥AB，
∴∠BED＝∠DGC＝90°，
∴∠DCG+∠CDG＝90°，∠ABF+∠CDG＝90°，
∴∠ABF＝∠DCG，
∴∠BCD＝7∠ABF；
（2）△CBF是等腰三角形，
理由：∵∠DGC＝90°，∠A＝45°，
∴∠ACG＝90°﹣∠A＝45°，
∴∠ACB＝∠ACG+∠BCG＝45°+∠BCG，
∵∠CFB是△ABF的一个外角，
∴∠CFB＝∠A+∠ABF＝45°+∠ABF，
∵∠BCD＝2∠ABF，∠BCD＝2∠BCG，
∴∠ABF＝∠BCG，
∴∠ACB＝∠CFB，
∴BC＝BF，
∴△CBF是等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
24．（12分）在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是射线CB上的动点．
（1）如图1，当点E在线段CB的延长线上时，连接AE，AE＝AB＝BC，则∠BAD的度数为 　108°　．
（2）如图2，∠ABC＞∠ACB，点P在线段AD的延长线上，并证明．
（3）如图3，当∠DAE＝90°，∠BAC＝30°时，请求出∠ADB的度数．

【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和可求出∠ABC的度数；
（2）在AC上截取AH＝AB，利用SAS证明△PAB≌△PAH，得PH＝PB，在△CHP中，再利用三边关系即可得出结论；
（3）首先延长CA至点N，使得AN＝AB，连接EN；根据已知度数和角平分线等条件，得出∠BAE＝∠NAE＝75°；进而运用SAS证出△BAE≌△NAE（SAS）；再运用条件AB+AC＝EC等量代换后，得出EC＝NC，即∠CEN＝∠N；再设∠BEA＝∠NEA＝x，则∠CEN＝∠N＝2x，在△ANE中根据三角形内角和为180° 求出x的值；最后在△EAD中根据三角形内角和为180° 求出∠ADB的值．
【解答】解：（1）∵AE＝AD，
∴∠ADE＝∠E＝48°，
∵AD＝DC，
∴∠C＝∠DAC＝＝24°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝5∠DAC＝48°，
∴∠ABC＝180°﹣∠C﹣∠BAC＝180°﹣24°﹣48°＝108°，
故答案为：108°；
（2）AC+BP＞AB+CP，理由如下：
如图2，在AC上截取AH＝AB，

∵AD平分∠BAC，
∴∠PAB＝∠PAH，
又∵PA＝PA，
∴△PAB≌△PAH（SAS），
∴PH＝PB，
在△CHP中，CH+HP＞CP，
∴AH+CH+HP＞CP+AH，
∴AC+HP＞AH+CP，
∴AC+BP＞AB+CP；
（3）延长CA到N，使AN＝AB，如图3，

∵AD为△ABC的角平分线，
∴，
∵∠DAE＝90°，
∴∠BAE＝∠DAE﹣∠BAD°，
∴∠NAE＝180°﹣∠CAD﹣∠EAD＝180°﹣15°﹣90°＝75°，
∴∠BAE＝∠NAE，
在△BAE与△NAE中，
，
∴△BAE≌△NAE（SAS），
∴∠BEA＝∠NEA，AB＝AN，
∵AB+AC＝EC，
∴AN+AC＝EC，
又∵AN+AC＝NC，
∴EC＝NC，
∴∠CEN＝∠N，
设∠BEA＝∠NEA＝x，则：∠CEN＝∠N＝2x，
在△ANE中，∠NAE+∠NEA+∠N＝180°，
即75°+x+5x＝180°，
解得：x＝35°，
在△EAD 中，∠ADE＝180°﹣∠EAD＝180°﹣90°﹣35°＝55°，
即∠ADB＝55°．
【点评】本题是三角形的综合题，主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造三角形全等是解题的关键，有一定的难度．
25．（14分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，作点A关于直线CH的对称点D，连接AD，CD，其中BD交直线CH于点E（45°＜α＜90°）
（1）设△ABE，△ADE，△ABD的周长分别为m，n，k；（用m，n，k表示）
（2）试探究∠ADB的大小是否会随着α的改变而改变？如果改变，请用含α的式子表示其大小；如果不变；
（3）若CE＝4，试说明△ACE的面积和△BCE的面积满足S△ACE﹣S△BCE＝8．

【分析】（1）依题意得m＝AB+AE+BE，n＝AD+DE+AE，k＝AB+AB+BD，进而得m+n＝AB+BD+AD+2AE＝k+2AE，据此可求出AE；
（2）先根据轴对称的性质及已知得AC＝DC＝BC，进而得∠ADC＝∠DAC＝90°﹣α，∠CDB＝∠CBD，∠ACD＝2α，然后先求出∠BCD＝270°﹣2α，继而求出∠CDB＝α﹣45°，据此可得∠ABD的度数；
（3）设AD与CH交于点N，过点B作BM⊥CH于点M，先证△ANC和△MCB全等得AN＝CM，再证△BEN为等腰直角三角形得BM＝EM，设BM＝x，则EM＝x，CM＝AN＝4+x，然后分别求出S△ACE＝8+2x，S△BCE＝2x，据此即可得出结论．
【解答】解：（1）∵△ABE，△ADE，n，k，
∴m＝AB+AE+BE，n＝AD+DE+AE，
∴m+n＝（AB+AE+BE）+（AD+DE+AE），
即：m+n＝AB+BD+AD+2AE，
∴m+n＝k+2AE，
∴AE＝（m+n﹣k）；
（2）当α发生变化时，∠ADB得大小不变．
理由如下：
∵点A与点D关于直线CH对称，
∴CH为线段AB的垂直平分线，
∴AC＝DC，
又∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴AC＝DC＝BC，
∴∠ADC＝∠DAC＝90°﹣α，∠CDB＝∠CBD
∴∠ACD＝2α，
∴∠BCD＝360°﹣∠ACB﹣∠ACD＝360°﹣90°﹣7α＝270°﹣2α，
∴∠CDB＝∠CBD＝（180°﹣∠BCD）＝α﹣45°，
∴∠ABD＝∠ADC+∠CDB＝90°﹣α+α﹣45°＝45°．
（3）设AD与CH交于点N，过点B作BM⊥CH于点M
 
∴∠ANC＝∠CMB＝90°，
∵∠DAC＝90°﹣α，即∠NAC＝90°﹣α，
又∵∠MCB＝180°﹣∠ACB﹣∠ACH＝180°﹣90°﹣α＝90°﹣α，
∴∠NAC＝∠MCB，
在△ANC和△MCB中，
，
∴△ANC≌△MCB（AAS），
∴AN＝CM，
由（2）可知∠ADB＝45°，
∴△DNE为等腰直角三角形，
∴∠DEN＝45°，
∴∠BEM＝∠DEN＝45°，
∴△BEN为等腰直角三角形，
∴BM＝EM，
设BM＝x，则EM＝x，
∵CE＝4，
∴CM＝AN＝CE+EM＝4+x，
∴S△ACE＝CE•AN＝，S△BCE＝CE•BM＝，
∴S△ACE﹣S△BCE＝8+2x﹣2x＝8．
【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，轴对称图形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式等，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，轴对称图形的性质是解答此题的关键，正确的作出辅助线构造全等三角形是解答此题的难点之一．