云南省红河州蒙自市红河哈尼族彝族自治州第一中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题

红河州一中2022年秋季学期高一年级期末考试

数学  试卷

一、单选题（每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1.已知集合，，则（    ）

A.   B.   C.   D.

2.已知，则（    ）

A.3   B.5   C.7   D.9

3.已知角终边经过点，则（    ）

A.   B.   C.   D.

4.已知函数的零点为，那么所在的区间是（    ）

A.   B.   C.   D.

5.在下列函数中，与函数表示同一函数的是（    ）

A.   B.   C.   D.

6.已知，则（    ）

A.   B.

C.    D.

7.已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是（    ）

A.   B.   C.   D.

8.若，，，则，，的大小关系为（    ）

A.   B.   C.   D.

二、多选题（每小题5分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）

9.下列函数中最小正周期为，且为偶函数的是（    ）

A.    B.

C.  D.

10.下面命题为真命题的是（    ）

A.“”是“”的必要不充分条件

B.“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件

C.“”是“”的必要不充分条件

D.设全集为，若，则

11.已知函数，为了得到函数，可将函数（    ）

A.图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），再向左平移

B.图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），再向右平移

C.图像向右平移，再将所得图像上每一点的横坐标缩短为原来的2倍（纵坐标不变）

D.图像向右平移，再将所得图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变）

12.已知，令，则下列结论正确的有（    ）

A.若有1个零点，则   B.恒成立

C.若有3个零点，则  D.若有4个零点，则

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分计，共计20分。）

13.如果幂函数的图象过点，那么______.

14.求值：________.

15.已知某扇形的圆心角为3rad，周长为10cm，则该扇形的面积为________.

16.若函数的定义域为，则的取值范围是______.

四、解答题（本大题共6小题，共计70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）

17.（本小题10分）

计算：（1）

（2）

18.（本小题12分）

已知，其中且.

（1）判断的奇偶性并证明；

（2）解不等式：.

19.（本小题12分）

集合，，.

（1）求；

（2）请从①，②，③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围.

20.（本小题12分）

已知函数，的部分图象如图所示，其中的图象与轴的一个交点的横坐标为.

（1）求这个函数的解析式，并写出它的递增区间；

（2）求函数在区间上的最大值和最小值.

21.（本小题12分）

已知函数.

（1）求函数的单调递减区间；

（2）将函数图象上所有点向右平移个单位后得到函数的图象，求的解集.

22.（本小题12分）

已知定义域为的函数是奇函数.

（1）求的值；

（2）判断的单调性，并证明；

（3）若，求实数的取值范围.

红河州第一中学2022级高一上学期期末考

数学参考答案及评分标准

1.A

【分析】先计算集合里的不等式，将所代表的区间计算出来，再根据交集的定义计算即可.

【详解】不等式，即，，，，所以；

故选：A.

2.B

【分析】根据分段函数的定义计算函数值.

【详解】.

故选：B

3.D

【分析】直接利用三角函数的定义即可.

【详解】由三角函数定义，.

故选：D.

4.B

【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.

【详解】解：∵函数为增函数，

∴，，

所以函数在内存在零点，即所在的区间是，

故选：B.

5.C

【分析】由题意，判断函数是否相等，需对比定义域和对应关系，先求定义域，再整理解析式，可得答案.

【详解】由题意，函数，其定义域为，其解析式为，

对于A，函数，其定义域为，故A错误；

对于B，函数，其定义域为，对应法则不同，故B错误；

对于C，与题目中的函数一致，故C正确；

对于D，函数，其定义域为，故D错误，

故选：C.

6.D

【分析】利用换元法求解函数解析式.

【详解】令，则，；

所以.

故选：D.

7.D

【解析】根据分段函数单调性，可得关于的不等式组，解不等式组即可确定的取值范围.

【详解】函数在上为减函数

所以满足

解不等式组可得，.

故选：D

8.D

【分析】利用基本不等式和对数的运算法则得到，再利用指数函数单调性结合放缩法得到即可求解.

【详解】∵，

，，∴，

∵，∴，∴，

∵，

∴，∴，

故选：D.

9.AC

【分析】直接利用奇偶性的定义和周期的公式逐个分析判断即可

【详解】解：对于A，定义域为，因为，所以函数为偶函数，因为的图像是由的图像在轴下方的关于轴对称后与轴上方的图像共同组成，所以的最小正周期为，所以A正确，

对于B，定义域为，因为，所以函数为奇函数，所以B错误，

对于C，定义域为，，最小正周期为，因为，所以函数为偶函数，所以C正确，

对于D，定义域为，最小正周期为，所以D错误，

故选：AC

10.ABCD

【分析】利用充分条件，必要条件的定义，结合不等式与二次函数方程与集合的性质判断即

可.

【详解】对于A，不能推出，而，必有，“”是“”的必要不充分条件，A正确；

对于B，若，一元二次方程判别式，方程有二根，，

，即，一正一负，反之，一元二次方程有一正一负两个实根，，

则，有，所以“”是“一元二次方程有一正一负两个实根”的充要条件，B正确；

对于C，当时，若，有，当时，且，

因此“”是“”的必要不充分条件，C正确；

对于D，设全集为，若，则，D正确.

故选：ABCD

11.BD

【分析】利用三角函数的图象变换求解.

【详解】由函数，图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），得到，再向右平移，得到，故A错误，B正确；

由函数，图像向右平移，得到，再将所得图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），得到得到，故C错误，D正确，

故选：BD

12.AD

【分析】作出的图象，将的零点个数转化为函数与的图象的交点的个数，结合图象逐一判断即可.

【详解】解：，

作出的图象，如图所示：

因为，

所以的零点个数即为函数与的图象的交点的个数，

对于A：若有1个零点，则函数与的图象仅有一个公共点，由图象得，故A正确；

对于B：由图象得恒成立，故B错误；

对于C：若有3个零点，则函数与的图象有三个公共点，由图象得或者，故C错误；

对于D：若有4个零点，则函数与的图象有四个公共点，由图象得，故D正确.

故选：AD.

13.

【分析】设出幂函数解析式，由已知点坐标求得幂函数解析式，然后求函数值.

【详解】设，由已知，则，∴，.

故答案为：.

14.

【解析】，，用上诱导公式即可化简求值.

【详解】解：原式

故答案为：.

15.6

【分析】求出弧的半径和弧长后可得面积.

【详解】设扇形半径为，弧长为，

则，解得，

扇形面积为.

故答案为：6.

16.

【分析】对数式真数恒大于零，分和两种类型解的取值范围.

【详解】函数的定义域为，即恒成立，

当时，符合题意；

当时，有，解得.

综上可得的取值范围是.

故答案为：.

17.（1）

（2）1

【分析】（1）结合指数运算即可求解；（2）结合对数的运算法则和换底公式即可.

【详解】（1）原式，

（2）原式.

18.（1）奇函数，证明见解析

（2）当时，解集为；当时，解集为

【分析】（1）利用对数函数的定义求得函数的定义域，根据奇函数的定义判定函数为奇函数；

（2）利用对数函数的单调性，对底数进行分类讨论，转化求解不等式.

（1）为奇函数.证明如下：

要使函数有意义，则有，

∴的定义域为，（注：不求定义域扣2分）

∵，∴为奇函数.

（2），即，

当时，，即，

当时，，即，

综上：当时，解集为；当时，解集为.

19.（1）

（2）

【分析】（1）分别解二次不等式和分式不等式，求得集合，，进而求得；

（2）根据选取的不同的条件，利用集合交集的运算性质或者集合的真子集的意义，得到关于的不等式（组）求解即得.

（1），解得：，∴

，解得：，∴，

∴.

（2）选①：∵，∴

当，即时，满足题意；

当，即时，；满足，

∴综上：.

选②：当，即时，满足题意；

当，即时，或，解得或.

所以：或，

综上：.

选③：由题知：，

当，即时，满足题意；

当，即时，；满足，

∴综上：.

20.（1），

（2）最大值是，最小值是-2.

【分析】（1）由三角函数的图象与性质求解，

（2）由整体代换法求解，

【详解】（1）由图知，，∴，，

，，∴，

∴，

由得，

故的递增区间是.

（2）时，，，

∴在区间上的最大值是，最小值是-2.

21.（1），

（2）

【分析】（1）先将原函数利用三角恒等变换公式化简，再按复合函数的单调区间求法求解即可；（2）根据三角函数图像的变换规律，求出函数的解析式，然后求解三角不等式即可.

（1）

当单调递减时，，

解得，

即的单调递减区间为，.

（2）平移后可得，

∵，∴，

∴，

∴，

即的解集为.

22.（1）1（2）增函数，证明见解析（3）或

【分析】（1）由求出，再验证此时的为奇函数即可；

（2）将的解析式分离常数后可判断出单调性，再利用增函数的定义可证结论成立；

（3）利用奇函数性质化为，再利用增函数性质可求出结果.

【详解】（1）因为是上的奇函数，所以，即，

此时，，所以为奇函数，

故.

（2）由（1）知，为上的增函数，

证明：任取，且，

则，

因为，所以，即，又，

所以，即，

根据增函数的定义可得为上的增函数.

（3）由得，

因为为奇函数，所以，

因为为增函数，所以，即，

所以或.