福建省宁德第一中学2022-2023学年高一上学期12月月考数学试题

宁德一中2022-2023学年（上）高一第二次月考

数学试卷

满分150分  考试时间：120分钟

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第Ⅰ卷（选择题）

一、单选题（本题共8小题，每小题5分．共40分）

1．集合，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

3．某同学求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示，则方程的近似解（精确度0.1）可取为（    ）

A．2.52 B．2.625 C．2.47 D．2.75

4．已知，败的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

5．已知，且，若对任意的恒成立，则实数的值不可能为（    ）

A． B． C． D．2

6．已知定义域区间的函数，则函数的解集是（    ）

A． B． C． D．

7．已知函数的最小正周期为，且时，函数取最小值，若函数在上单调递减，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

8．如图是一个近似扇形的湖面，其中，弧的长为．为了方便观光，欲在A，B两点之间修建一条笔直的走廊．若当时，，则的值约为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题（本题共4小题，每题5分，共20分，少选得2分，错选得0分）

9．下列结论正确的是（    ）

A．是第三象限角

B．若，则

C．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为

D．终边经过点的角的集合是

10．已知函数（，且），则下列结论正确的是（    ）

A．函数恒过定点

B．函数的值域为

C．函数在区间上单调递增

D．若直线与函数的图像有两个公共点，则实数的取值范围是

11．已知函数则下列命题是真命题的是（    ）

A．  B．

C．函数只有2个零点 D．直线与的图像有3个交点

12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称为取整函数，例如：，下列函数中，满足函数的值域中有且仅有两个元素的是（    ）

A． B．

C． D．

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分，16题第一个空2分，第二个空3分）

13．函数单调递增的区间是________．

14．在平面直角坐标系中，、是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆（圆心在坐标原点）于两点．已知点，将绕原点顺时针逆转到，则点的坐标为________．

15．若关于的方程无解，则的取值范围是________．

16．（1）若是三角形的内角，且，则的值为______；

（2）已知，且，则的值为________．

四、解答题（本题共6小题，共70分）

17．（10分）已知．

（1）求；

（2）若，求．

18．（12分）设函数．

（1）解方程；

（2）设不等式的解集为，求函数的值域．

19．（12分）已知

（1）化简；

（2）若角终边有一点，且，求的值；

（3）求函数的值域．

20．（12分）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．

（1）求函数的解析式，并指出函数在上的单调性（不需要证明）；

（2）解关于的不等式．

21．（12分）为保护环境，污水进入河流前都要进行净化处理，我市工业园区某工厂的污水先排入净化池，然后加入净化剂进行净化处理根据实验得出，在一定范围内，每放入1个单位的净化剂，在污水中释放的浓度（单位：毫克/立方米）随着时间（单位：小时）变化的函数关系式近似为．若多次加进净化剂，则某一时刻净化剂在污水中释放的浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所译放的浓度之和，由实验知，当净化剂在污水中释放的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化污水的作用

（1）若投放1个单位的净化剂4小时后，求净化剂在污水中释放的浓度

（2）若一次投放4个单位的净化剂并起到净化污水的作用，则净化的时间约达几小时？（结果精确到0.1，参考数据：）

（3）若第一次投放1个单位的净化剂，3小时后再投放2个单位的净化剂，设第二次投放小时后污水中净化剂浓度为（毫克/立方米），其中，求的表达式和浓度的最小值．

22．（12分）已知函数（，且）．

（1），求实数的取值范围；

（2）设，在（1）的条件下，是否存在，使在区间上的值域是？若存在，求实数的取值范围；若不存在，试说明理由．

参考答案：

1．C  2．C  3．A

4．A  由，所以．

5．B  由条件，得，

，

，即，得解得或；

6．C

所以由函数图像得的解集为

7．D  由题意，又，时，，

又在上单调递减，所以，即的最大值是．

8．D  令，则，则，

，

，

9．BC

10．BC  解：已知函数（，且），则

对于A，，函数恒过定点，故A错误；

对于B，，则，所以，函数的值域为，故B正确；

对于C，任取，则，当时，函数单调递增，则，当，则恒成立，所以；当时，函数单调递减，则，

当，则恒成立，所以，则恒成立，所以函数在区间上单调递增，故C正确；

对于D，的图象由的图象向下平移一个单位，再将轴下方的图象翻折到轴上方得到，分和两种情况分别作图，如图所示：

当时不合题意；时，需要，即，故D错误；

11．ABC  由已知图像如图所示

易知：的最小值为，故A正确．

如图所示：当时，成立，故B正确．

因为与图像只有两个交点，所以只有两个零点．故C正确．

直线与的图象有2个交点，故D错误．

故选：ABC

12．ACD  对A：当时，；当时，，故的值域为，满足题意；

对B：在单调递减，在单调递增，

又，故，则，

即的值域为，不满足题意；

对C：，则，故，

又，故，即的值域为，满足题意；

对D：，又，则，

即的值域为，则的值域为，满足题意．

13．

14．

15．因为，

所以由方程无解可得或，

因为指数函数在上单调递减，且恒成立，

所以由得，由可知，

综上：，则．

16．  

（1）由，得，将其代入，得，

，又，

故．

（2）且．

又．

17．（1），．

（2），则又

．

．

．

18．（1）

由得，解得或

所以或

所以方程的解是或；

（2）由得，即

解得．

，

令，所以

则为开口向上对称轴为的抛物线

因为，所以

所以函数的值域为．

19．（1）由题意可得

（2）（负值舍）

（3）因为，所以

，

因为，所以当时，，当时，

所以的值域为．

20．（1）解：函数是定义在上的奇函数，

又当时，，

设，则

又，

当时与均单调递增，所以在上单调递增，

所以在上也单调递曾．且当时，当时，

所以函数在上单调递增

（2）解：函数是定义域上的单调递增函数，

又，

即

1．当时，原不等式等价于，

原不等式的解集

2．当时，原不等式等价于，

1）当时，原不等式等价于，

原不等式的解集为

2）当时，原不等式等价于，

①当时，即时，原不等式的解集为

②当时，即时，原不等式的解集为

③当时，即时，原不等式的解集为．

综上所述：当时，原不等式的解集为，

当时，原不等式的解集为，

当时，原不等式的解集为，

当时，原不等式的解集为，

当时，原不等式的解集为

21．（1）解：由，

当时．

所以若投放1个单位的净化剂4小时后，净化剂在污水中释放的浓度为6毫克立方米；

（2）因为净化剂在污水中释放的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化污水的作用．

当时，令，得恒成立．

所以当时，起到净化污水的作用，

当时，令，得，则，

所以

综上所述当时，起到净化污水的作用

所以若一次投放4个单位的净化剂并起到净化污水的作用，则净化时间约达7.1小时

（3）因为第一次投入1个单位的净化剂，3小时后再投入2个单位净化剂，要计算的是第二次投放小时后污水中净化剂浓度为，所以

因为，所以

当且仅当，即时取等号

所以，

当时，取最小值12毫克/立方米

22．（1），即成立

又，

函数在上为增函数

①若，则，所以

即，则，解得或．又，所以

②若，则，所以

即，则，解得，又，所以

综上的取值范围为

（2）假设存在满足题意，由（1）知

所以在上是减函数，则所以

即是方程的大于的两个不等实根

设，其对称轴为，

由题意得，解得或

又，所以综上，不存在满足题意的实数