10_专题四41导数的概念及运算（习题+十年高考）

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专题四　导数及其应用
4.1　导数的概念及运算
考点　导数的概念和运算
1.(2016四川理,9,5分)设直线l1,l2分别是函数f(x)=−lnx,00,解得a>0或a0),∵函数y=1x的导函数为y'=-1x2,
∴曲线y=1x(x>0)在点P处的切线的斜率k2=-1x02,
则有k1k2=-1,即1·−1x02=-1,解得x02=1,又x0>0,
∴x0=1.又∵点P在曲线y=1x(x>0)上,∴y0=1,故点P的坐标为(1,1).
17.(2012课标文,13,5分)曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为　　　　. 
答案　y=4x-3
解析　y'=3ln x+1+x·3x=3ln x+4,k=y'|x=1=4,切线方程为y-1=4(x-1),即y=4x-3.
评析　本题考查了导数的几何意义,考查了运算求解能力.


18.(2020新高考Ⅰ,21,12分)
已知函数f(x)=aex-1-ln x+ln a.
(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.
解析　f(x)的定义域为(0,+∞),f '(x)=aex-1-1x.
(1)当a=e时,f(x)=ex-ln x+1,f '(1)=e-1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(e+1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2.
直线y=(e-1)x+2在x轴,y轴上的截距分别为−2e−1,2.
因此所求三角形的面积为2e−1.
(2)当00,得-130,g(x)单调递增.
①若a=0,显然不满足.
②若a>0,则当x∈(-1,1)时,h'(x)0,h(x)在(-1,1)上单调递增,当x∈(1,+∞)时,h'(x)