19_专题七72等差数列（习题+十年高考）

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7.2　等差数列
考点一　等差数列及其前n项和
1.(2021北京,6,4分)已知{an}和{bn}是两个等差数列,且akbk(1≤k≤5)是常数,若a1=288,a5=96,b1=192,则b3的值为(　　)
A.64　　　　B.100　　　　C.128　　　　D.132
答案　C　命题意图:本题以定义新运算为出题背景,考查等差数列的性质,考查学生的运算求解能力,考查的核心素养是逻辑推理及数学运算,落实了应用性、综合性和创新性的考查要求.
解题思路:解法一:因为{an}是等差数列,所以2a3=a1+a5=288+96,所以a3=192,又因为当1≤k≤5时,akbk是常值,所以a3b3=a1b1,即192b3=288192,从而b3=128.
解法二:由题意可知a1b1=a5b5,则b5=64,又{bn}是等差数列,所以b3=b1+b52=192+642=128.
2.(2022新高考Ⅱ,3,5分)图1是中国古代建筑中的举架结构,AA',BB',CC',DD'是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图,其中DD1,CC1,BB1,AA1是举,OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步,相邻桁的举步之比分别为DD1OD1=0.5,CC1DC1=k1,BB1CB1=k2,AA1BA1=k3.已知k1,k2,k3成公差为0.1的等差数列,且直线OA的斜率为0.725,则k3=(　　)

图1

图2
A.0.75　　　　B.0.8　　　　C.0.85　　　　D.0.9
答案　D　令OD1=DC1=CB1=BA1=a,
则CC1=k1a,BB1=k2a,AA1=k3a,DD1=0.5a,
所以A的坐标为(4a,k1a+k2a+k3a+0.5a),
所以kOA=k1a+k2a+k3a+0.5a4a=k1+k2+k3+0.54=0.725,
所以k1+k2+k3+0.5=2.9.
因为k1,k2,k3成公差为0.1的等差数列,
所以k1+k2+k3+0.5=3k3-0.3+0.5=2.9,
所以k3=0.9,故选D.
3.(2020课标Ⅱ理,4,5分)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　)

A.3 699块　　　　B.3 474块　　　　C.3 402块　　　　D.3 339块
答案　C　由题意可设每层有n个环,则三层共有3n个环,∴每一环扇面形石板的块数构成以a1=9为首项,9为公差的等差数列{an},且项数为3n.不妨设上层扇面形石板总数为S1,中层总数为S2,下层总数为S3,∴S3-S2=9(2n+1)·n+n(n−1)2×9−9(n+1)·n+n(n−1)2×9=9n2=729,解得n=9(负值舍去).
则三层共有扇面形石板(不含天心石)27×9+27×262×9=27×9+27×13×9=27×14×9=3 402(块).故选C.

4.(2015课标Ⅱ文,5,5分)设Sn是等差数列{an}的前n项和.若a1+a3+a5=3,则S5=(　　)
A.5　　　B.7　　　C.9　　　D.11
答案　A　∵{an}为等差数列,∴a1+a5=2a3,
得3a3=3,则a3=1,
∴S5=5(a1+a5)2=5a3=5,故选A.
5.(2015课标Ⅰ文,7,5分)已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和.若S8=4S4,则a10=(　　)
A.172　　　B.192　　　C.10　　　D.12
答案　B　由S8=4S4得8a1+8×72×1=4×4a1+4×32×1,解得a1=12,∴a10=a1+9d=192,故选B.
评析　本题主要考查等差数列的前n项和,计算准确是解题关键,属容易题.
6.(2015浙江理,3,5分)已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn.若a3,a4,a8成等比数列,则(　　)
A.a1d>0,dS4>0　　　　　B.a1d