26_专题八85空间角与距离、空间向量及其应用（习题+十年高考+检测）

这是一份26_专题八85空间角与距离、空间向量及其应用（习题+十年高考+检测），文件包含1_85空间角与距离空间向量及其应用习题docx、8_08-专题八立体几何检测docx、1_85空间角与距离空间向量及其应用十年高考docx等3份试卷配套教学资源，其中试卷共135页， 欢迎下载使用。
8.5　空间角与距离、空间向量及其应用
基础篇
考点一　用向量法证明空间中的平行和垂直
1.(2021广东佛山月考,3)直线l∥α,且l的方向向量为(2,m,1),平面α的法向量为1,12,2,则m=(　　)
A.-4　　　　B.-6　　　　C.-8　　　　D.8
答案　C　
2.(2022福州一中质检,4)以下四组向量在同一平面的是(　　)
A.(1,1,0)、(0,1,1)、(1,0,1)
B.(3,0,0)、(1,1,2)、(2,2,4)
C.(1,2,3)、(1,3,2)、(2,3,1)
D.(1,0,0)、(0,0,2)、(0,3,0)
答案　B　
3.

(多选)(2022广东中山一中阶段测试,10)如图,两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直,设M,N分别是AC和AE的中点,那么下列结论正确的是(　　)
A.AD⊥MN　　　　B.MN∥平面CDE
C.MN∥CE　　　　D.MN,CE异面
答案　ABC　
4.(多选)(2021新高考Ⅰ,12,5分)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=1,点P满足BP=λBC+μBB1,其中λ∈[0,1],μ∈[0,1],则(　　)
A.当λ=1时,△AB1P的周长为定值
B.当μ=1时,三棱锥P-A1BC的体积为定值
C.当λ=12时,有且仅有一个点P,使得A1P⊥BP
D.当μ=12时,有且仅有一个点P,使得A1B⊥平面AB1P
答案　BD　
5.(2023届南京、镇江学情调查,19)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,侧棱SA⊥底面ABCD,AB垂直于AD和BC,SA=AB=BC=2,AD=1,M是棱SB的中点.
(1)求证:AM∥平面SCD;
(2)求平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值.

解析　因为SA⊥底面ABCD,AB垂直于AD,所以以点A为坐标原点,以向量AD,AB,AS的方向分别为x

轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图,则A(0,0,0),C(2,2,0),D(1,0,0),S(0,0,2),M(0,1,1),所以AM=(0,1,1),SD=(1,0,-2),CD=(-1,-2,0).
(1)证明:设平面SCD的法向量为n=(x,y,z),
则SD·n=0,CD·n=0,即x−2z=0,−x−2y=0,
令z=1,则x=2,y=-1,则n=(2,-1,1).
因此AM·n=-1+1=0,从而AM⊥n,又AM⊄平面SCD,所以AM∥平面SCD.
(2)易知平面SAB的一个法向量为n1=(1,0,0),
由(1)知平面SCD的一个法向量为n=(2,-1,1),
则cos=n·n1|n||n1|=26×1=63,所以平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值为63.
6.(2022南京一中期初测试,20)如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AB,点E在棱PD上,且2PE=ED,点F是棱PC上的动点(不含端点).
(1)若F是棱PC的中点,求证:PB∥平面AEF;
(2)求PA与平面AEF所成角的正弦值的最大值.

解析　因为四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PA⊥底面ABCD,

所以AB,AD,AP两两垂直.以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系Axyz,如图所示.
不妨设PA=AB=6,则B(6,0,0),P(0,0,6),E(0,2,4),C(6,6,0),D(0,6,0).
(1)证明:AE=(0,2,4),因为F是棱PC的中点,所以F(3,3,3),所以AF=(3,3,3).
设平面AEF的法向量为m=(x,y,z),则由m·AE=0,m·AF=0,
得2y+4z=0,3x+3y+3z=0,不妨令y=2,则x=-1,z=-1,
所以m=(-1,2,-1),又PB=(6,0,-6),所以m·PB=-6+0+6=0,即m⊥PB,
又PB⊄平面AEF,所以PB∥平面AEF.
(2)PC=(6,6,-6),设PA与平面AEF所成的角为θ,
PF=λPC=(6λ,6λ,-6λ),0