31_专题九95圆锥曲线的综合问题（习题+十年高考+检测）

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专题九　平面解析几何
一、单项选择题
1.(2022山西晋城重点中学4月月考,6)以(a,1)为圆心,且与两条直线2x-y+4=0与2x-y-6=0同时相切的圆的标准方程为(　　)
A.(x-1)2+(y-1)2=5
B.(x+1)2+(y+1)2=5
C.(x-1)2+y2=5
D.x2+(y-1)2=5
答案　A　由已知得圆心到两直线的距离d=|2a−1+4|5=|2a−1−6|5,解得a=1,d=5,所以半径r=5,所以圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=5.
2.(2023届广西桂林月考,11)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(4,0),过点F的直线交椭圆于A、B两点,若M(1,-1),且OA+OB=2OM,则E的方程为(　　)
A.x248+y232=1 B.x236+y220=1
C.x224+y28=1 D.x220+y24=1
答案　C　∵OA+OB=2OM,∴M为AB的中点.
∵过点F的直线交椭圆于A、B两点,且M(1,-1),∴kAB=kMF=−1−01−4=13.
设A(x1,y1),B(x2,y2),其中x1≠x2,则
x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,由点差法得-b2a2=y1−y2x1−x2·y1+y2x1+x2=kAB·−22,
∴b2a2=13,
又∵a2=b2+c2,c=4,
∴b2=8,a2=24,∴E的方程为x224+y28=1.故选C.
3.(2020课标Ⅲ,5,5分)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为(　　)
A.14,0 B.12,0 C.(1,0) D.(2,0)
答案　B　由抛物线的对称性不妨设D在x轴上方、E在x轴下方.由x=2,y2=2px得D(2,2p),E(2,-2p),∵OD⊥OE,∴OD·OE=4-4p=0,∴p=1,∴C的焦点坐标为12,0,故选B.
4.(2023届南宁三中摸底,10)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,点P(a,b)满足∠OBF=∠BPO(O是坐标原点),则椭圆C的离心率是(　　)
A.5+12 B.5−12 C.22 D.24
答案　B　依题意可得B(0,b),F(c,0),A(a,0),P(a,b),所以OB⊥BP,又∠OBF=∠BPO,∠BOF=∠OBP=90°,所以△OBF∽△BPO,所以OBBP=OFOB,即ba=cb,所以b2=ac,又b2=a2-c2,所以a2-c2=ac,所以1-e2=e,解得e=−1+52或e=−1−52(舍去).故选B.
5.(2023届山西大同调研一,12)已知F1,F2为双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点P在E上,∠F1PF2的平分线交x轴于点D,若∠F1PF2=π3,|PF1|+|PF2|=8,且PD=3,则双曲线的方程为(　　)
A.x22−y28=1 B.x28−y22=1
C.x26−y24=1 D.x24−y26=1
答案　B　不妨设点P在双曲线的右支上,设|PF1|=n,|PF2|=m,则n-m=2a,又m+n=8,所以n=a+4,m=4-a.
由∠F1PF2=π3,PD平分∠F1PF2,得∠F1PD=∠F2PD=π6,又PD=3,S△PF1F2=S△PF1D+S△PF2D,∴12·|PF1|·|PF2|·sinπ3=12|PF1|·|PD|·sinπ6+12|PF2|·|PD|·sinπ6,整理得m·n=m+n,即(4-a)(4+a)=8,解得a2=8.在△PF1F2中,由余弦定理得(2c)2=m2+n2-2mncosπ3=(m+n)2-3mn=40.∴c2=10,则b2=c2-a2=2,故所求的双曲线方程为x28−y22=1.故选B.
6.(2023届山西大学附中9月诊断,4)若直线x=4y+7与双曲线C:ax2-y2=1(a>0)的一条渐近线平行,则a的值为(　　)
A.116 B.14 C.4 D.16
答案　A　由题意可得双曲线C的渐近线方程为y=±ax,直线x=4y+7的斜率为14.
∵直线x=4y+7与双曲线C的一条渐近线平行,∴a=14,解得a=116.故选A.
7.(2023届河南洛阳期中,9)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,其准线与x轴的交点为A,点P在抛物线C上,且PA⊥PF,则|PF|=(　　)
A.5−12 B.5-2 C.5-1 D.3-5
答案　C　因为点P在抛物线C:y2=4x上,所以设Py024,y0.
由抛物线C:y2=4x可得焦点F(1,0),准线方程为x=-1,故A(-1,0).因为PA⊥PF,所以PA⊥PF.
因为PA=−1−y024,−y0,PF=1−y024,−y0,
所以PA·PF=y0416−1+y02=0,解得y02=45-8(舍负),所以P的横坐标为5-2.
由抛物线的定义可得|PF|=5−2+1=5-1.故选C.
8.(2022安徽安庆二模,4)抛物线y2=4x的焦点为F,点A在抛物线上.若|AF|=3,则直线AF的斜率为(　　)
A.±2 B.±22 C.2 D.22
答案　B　设点A(x0,y0),则|AF|=x0+1=3,故x0=2,所以y0=±22,故点A的坐标为(2,22)或(2,-22),又F(1,0),所以直线AF的斜率为±22.故选B.
一题多解:设直线AF的倾斜角为θ(0