39_专题十二数系的扩充与复数的引入（习题+十年高考+检测）

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专题十二　数系的扩充与复数的引入一、单项选择题1.(2023届西南“三省三校”联考一,2)已知复数z满足i3z=1+i(i是虚数单位),则z的共轭复数是              (　　)A.-1-i    B.-1+iC.1-i        D.1+i答案　A　由题意可知z==-1+i,所以z的共轭复数为-1-i,故选A.2.(2023届陕西咸阳高新一中质检二,2)设a∈R,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a=              (　　)A.0 B.-1 C.1 D.答案　B　∵复数(1+i)(a+i)=(a-1)+(a+1)i在复平面内对应的点位于实轴上,∴a+1=0,即a=-1.故选B.3.(2023届广西北海模拟,2)已知复数z满足z=(a2-9)+(a+3)i(a∈R),若z为纯虚数,则a=              (　　)A.-3 B.±3 C.3 D.0答案　C　因为z=(a2-9)+(a+3)i(a∈R)为纯虚数,所以a2-9=0且a+3≠0,所以a=3.故选C.4.(2023届广西桂林七星田家炳中学月考,3)复数z=1-i,则|(z+i)|= (　　)A.2 B.4 C. D.答案　C　因为z=1-i,所以=1+i,所以(z+i)=(1+i)(1-i+i)=1+i,所以|(z+i)|=|1+i|=.故选C.5.(2023届河南洛阳六校联考,9)已知i为虚数单位,且复数z(1+2i)=i-i2 022,下面关于复数z的三个命题:①复数z的虚部为-i;②|z|=3;③复数z的共轭复数对应的点在第一象限.其中正确命题的个数为 (　　)A.0 B.2 C.3 D.1答案　D　因为z(1+2i)=i-i2 022=i-(i4)505·i2=1+i,所以z=i.复数z的虚部为-,故①错误;|z|=,故②错误;i,则复数z的共轭复数在第一象限,故③正确.故选D.6.(2022甘肃平凉二模,2)在复平面内,复数z1,z2对应的点分别是(0,2),(-1,1),则复数z1z2的虚部为              (　　)A.2i B.-2i C.2 D.-2答案　D　由题意可知z1=2i,z2=-1+i,所以z1z2=2i(-1+i)=-2-2i,则复数z1z2的虚部为-2.故选D.7.(2021河南信阳质检,2)已知复数z=i+i2 020,则|z|等于 (　　)A. B.1 C.0 D.2答案　A　∵z=i+i2 020=i+i4×505=i+1,∴|z|=,故选A.8.(2022陕西模拟,2)在复平面内,复数z对应的点为(3,4),则= (　　)A.i B.iC.1-2i D.1+2i答案　B　因为复数z对应的点为(3,4),所以z=3+4i,所以i,故选B.二、多项选择题9.(2022湖北八市联考,10)2022年1月,中国科学技术大学潘建伟团队和南方科技大学范靖云团队发表学术报告,分别独立通过实验验证了虚数i在量子力学中的必要性,再次说明了虚数i的重要性.对于方程x3=1,它的两个虚数根分别为(　　)A.              B.C. D.答案　CD　将方程x3=1移项、因式分解可得(x-1)(x2+x+1)=0,x=1为实数根,要求虚数根,则解方程x2+x+1=0,得x=.故选CD.10.(2022武汉2月调研,9)已知两个复数z1,z2满足z1z2=i,且z1=1-i,则下列说法正确的是              (　　)A.z2= B.|z1|=C.|z1+z2|≥2 D.=-i答案　ABD　∵z1z2=i,z1=1-i,∴z2=i,故A正确;∵z1z2=i,∴|z1·z2|=|z1|·|z2|=1,即|z1|=,故B正确;又z1+z2=i,∴|z1+z2|=≤2,故C错误;∵=1+i,,∴=(1+i)·=-i,故D正确.故选ABD.11.(2021广东湛江一模,9)若复数z=-i,则 (　　)A.|z|=2 　B.|z|=4C.z的共轭复数+i 　D.z2=4-2i答案　AC　依题意得|z|==2,故A选项正确,B选项错误;+i,C选项正确;z2=(-i)2=3-2i,D选项错误,故选AC.12.(2022湖南师大附中二模,9)设复数z=-i,则下列命题中正确的是 (　　)A.|z|2=z·B.z2=C.z的虚部是iD.若zn∈R,则正整数n的最小值是3答案　ABD　对于A,由于|z|==1,z·=1,所以|z|2=z·,A正确;对于B,由z2=-,知B正确;对于C,由z=-i,可得z的虚部是,C错误;对于D,由z=-i,可得z2=-i,z3=1,所以若zn∈R,则正整数n的最小值是3,D正确.故选ABD.三、填空题13.(2022福建龙岩一模,13)复数z1=cos x-isin x,z2=sin x-icos x,则|z1·z2|=　　　　. 答案　1解析　z1·z2=(cos x-isin x)(sin x-icos x)=-i(sin2x+cos 2x)=-i,故|z1·z2|=1.14.(2022辽宁鞍山二模,13)已知i为虚数单位,则=　　　　(写成最简形式). 答案　1+2i解析　=1+2i.15.(2022长沙雅礼中学等十六校二模,13)已知复数z1=-i,z2=,则=　　　　. 答案　-i解析　因为z1=-i,所以z2=i,则=-+i.