人教B版 (2019)必修 第二册4.4 幂函数课后作业题

第四章测评

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.函数y=的图象大致是(　　)

2.已知f(x)=a-x(a>0且a≠1),且f(-2)>f(-3),则实数a的取值范围是(　　)

A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,1) D.(0,1)

3.若函数f(x)=1+3-x的反函数为g(x),则g(10)=(　　)

A.2 B.-2 C.3 D.-1

4.函数f(x)=lo(2x-x2)的单调递减区间为(　　)

A.(0,2) B.(-∞,1]

C.[1,2) D.(0,1]

5.函数f(x)=ax-2+3(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,点P又在幂函数g(x)的图象上,则g(3)的值为(　　)

A.4 B.8 C.9 D.16

6.2021年10月16日,搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭,在酒泉卫星发射中心成功发射升空,载人飞船精准进入预定轨道,顺利将3名宇航员送入太空,发射取得圆满成功.已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下,可以用公式v=v0·ln计算火箭的最大速度v(单位:m/s),其中v0(单位:m/s)是喷流相对速度大小,m(单位:kg)是火箭(除推进剂外)的质量,M(单位:kg)是推进剂与火箭质量的总和,称为“总质比”.若某型火箭的喷流相对速度大小为1 000 m/s,当总质比为625时,该型火箭的最大速度约为(　　)(附:lg e≈0.434,lg 2≈0.301)

A.5 790 m/s B.6 219 m/s

C.6 442 m/s D.6 689 m/s

7.设a=log32,b=ln 2,c=,则(　　)

A.a<b<c B.b<c<a

C.c<a<b D.c<b<a

8.若对于任意x∈(-∞,-1],都有(3m-1)2x<1成立,则实数m的取值范围是(　　)

A. B.

C.(-∞,1) D.(-∞,1]

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.已知a>0,b>0,2a+b=1,则(　　)

A.log0.5a+log0.5b的最大值为3

B.4a+2b的最小值为2

C.a∈

D.a2+b2的最小值为

10.设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,则下列结论正确的是(　　)

A.ab+bc=2ac B.ab+bc=ac

C.4b·9b=4a·9c D.

11.已知函数f(x)=则关于x的方程[f(x)]2-3f(x)+2=0的解可以为(　　)

A.-4 B.0 C.-2 D.log26

12.关于函数f(x)=|ln|2-x||,下列描述正确的有 (　　)

A.f(x)在区间(1,2)内单调递增

B.y=f(x)的图象关于直线x=2对称

C.若x1≠x2,f(x1)=f(x2),则x1+x2=4

D.f(x)有且仅有两个零点

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.方程log3(3x-1)=log3(x-1)+log3(3+x)的解为x=　　　　　. 

14.函数y=x,-3≤x≤1的值域是　　　　. 

15.若loga<1,则实数a的取值范围是　　　　. 

16.已知函数f(x)=且函数g(x)=f(x)-m恰有两个不同的零点,则实数m的取值范围是　　　　　　　　. 

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)计算题:

(1)-(-9.6)0+.

(2)lg 4+2lg 5+log45·log5.

18.(12分)已知函数f(x)=log2.

(1)若函数f(x)是R上的奇函数,求实数a的值;

(2)若函数f(x)的定义域是R,求实数a的取值范围;

(3)若函数f(x)在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于2,求实数a的取值范围.

19.(12分)已知函数f(x)=lg(10x-1).

(1)求函数f(x)的定义域和值域;

(2)设函数g(x)=f(x)-lg(10x+1),若关于x的不等式g(x)<t恒成立,求实数t的取值范围.

20.(12分)在刚刷完漆的室内放置空气净化器,净化过程中有害气体含量P(单位:mg/L)与时间t(单位:h)的关系为:P=P0e-kt,其中P0,k是正常数,如果在前5 h消除了10%的有害气体,那么

(1)10 h后还剩百分之几的有害气体?

(2)有害气体减少50%需要花多少时间?(精确到1 h)(参考数据:ln 2≈0.693 1,ln 0.9≈-0.105 4)

21.(12分)已知a>0且a≠1,函数f(x)=loga.

(1)求f(x)的定义域及其零点;

(2)设g(x)=mx2-2mx+3,当a>1时,若对任意x1∈(-∞,-1],存在x2∈[3,4],使得f(x1)≤g(x2),求实数m的取值范围.

22.(12分)给出下面两个条件:①函数f(x)的图象与直线y=-1只有一个交点;②函数f(x)的两个零点的差的绝对值为2.在这两个条件中选择一个,将下面问题补充完整,使函数f(x)的解析式确定.

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(x+1)-f(x)=2x-1,且　　　　. 

(1)求f(x)的解析式;

(2)若对任意x∈,2f(log3x)+m≤0恒成立,求实数m的取值范围.

参考答案

第四章测评

1.B　函数y=的定义域为R,且此函数在定义域上是增函数,故排除选项A,C;当0<x<1时,<x,所以x∈(0,1)时,函数y=图象要在函数y=x图象的下方,排除选项D.故选B.

2.D

3.B　令y=1+3-x,得x=-log3(y-1),

∴g(x)=-log3(x-1)(x>1),

∴g(10)=-2.

4.D　记u(x)=2x-x2=-(x-1)2+1,u(x)的图象为抛物线,对称轴为x=1,且开口向下,令u(x)>0,解得x∈(0,2),①当x∈(0,1]时,u(x)单调递增,f(x)=lou(x)单调递减,即原函数的单调递减区间为(0,1];②当x∈[1,2)时,u(x)单调递减,f(x)=lou(x)单调递增,即原函数的单调递增区间为[1,2).故选D.

5.C　∵f(x)=ax-2+3,令x-2=0,得x=2,∴f(2)=a0+3=4,∴f(x)的图象恒过点(2,4).设g(x)=xa,把P(2,4)代入得2a=4,∴a=2,∴g(x)=x2,∴g(3)=32=9.故选C.

6.C　由题得v=v0·ln=1000×ln625=1000×=1000×≈6442m/s.故选C.

7.C　a=log32=,b=ln2=,而log23>log2e>1,所以a<b,c=,而>2=log24>log23,所以c<a,综上c<a<b.故选C.

8.C　∵2x>0,∴不等式(3m-1)2x<1(x∈(-∞,-1])恒成立等价于3m-1<对于任意x∈(-∞,-1]恒成立.∵x≤-1,∴=2,∴3m-1<2,解得m<1.∴实数m的取值范围是(-∞,1).故选C.

9.BC　a>0,b>0,2a+b=1⇒ab≤,则log0.5a+log0.5b=log0.5ab≥3,当且仅当a=,b=时,等号成立,故A错误;4a+2b=22a+2b≥2,当且仅当a=,b=时,等号成立,故B正确;a>0,b>0,2a+b=1⇒b=1-2a>0⇒0<a<,故C正确;a2+b2=a2+(1-2a)2=5a2-4a+1,0<a<,则当a=时,有最小值为,故D错误.

10.ACD　设4a=6b=9c=t,t>1,则a=log4t,b=log6t,c=log9t,所以=2,即=2,所以,所以,故D正确;由=2,所以ab+bc=2ac,故A正确,B错误;因为4a·9c=4a·4a=(4a)2,4b·9b=(4×9)b=(62)b=(6b)2.又4a=6b=9c,所以(4a)2=(6b)2,即4b·9b=4a·9c,故C正确.故选ACD.

11.AD　[f(x)]2-3f(x)+2=0,[f(x)-1][f(x)-2]=0,得f(x)=1或f(x)=2,当x≥0时,2x-4=1或2x-4=2,解得x=log25或x=log26;当x<0时,-x2-4x+1=1或-x2-4x+1=2,解得x=-4或x=-2±.故在选项中方程的解可以为AD.故选AD.

12.ABD　根据图象变换作出函数f(x)的大致图象,如图,

由图象知f(x)在区间(1,2)内单调递增,故A正确;函数图象关于直线x=2对称,故B正确;令f(x1)=f(x2)=k,则直线y=k与函数f(x)图象相交可能是4个交点,如图.如果最左边两个交点横坐标分别是x1,x2,则x1+x2=4不成立,故C错误;f(x)的图象与x轴仅有两个公共点,即函数仅有两个零点,故D正确.故选ABD.

13.2

14.　因为指数函数y=x在区间[-3,1]上单调递减,所以当x=-3时,函数有最大值为-3=8;当x=1时,函数有最小值为.所以函数y的值域为.

15.0,∪(1,+∞)　当a>1时,不等式为loga<logaa,∴a>,即a>1;当0<a<1时,不等式为loga<logaa,∴a<,即0<a<.综上所述,实数a的取值范围是0,∪(1,+∞).

16.(1,2]　由g(x)=0,得f(x)=m,即函数g(x)的零点是直线y=m与函数y=f(x)图象交点的横坐标.当x≤0时,f(x)=ex+1单调递增,其值域为(1,2];当x>0时,f(x)=lnx单调递增,其值域为R.

在坐标平面内作出函数y=f(x)的大致图象,如图.

由图可知,当1<m≤2时,直线y=m与函数y=f(x)图象有2个交点,即函数g(x)有2个零点,所以实数m的取值范围是(1,2].

17.解(1)原式=+1-1+e-=e.

(2)原式=lg4+lg25+log45·(-log54)=lg4×25-=lg102-1=2-1=1.

18.解(1)若函数f(x)是R上的奇函数,则f(0)=0,即log2=0,解得a=0.当a=0时,f(x)=-x=-f(-x),在R上为奇函数,所以a=0为所求.

(2)若函数f(x)的定义域是R,则+a>0恒成立,即a>-恒成立,由于-∈(-∞,0),故只要a≥0即可,即实数a的取值范围为[0,+∞).

(3)由题意,知函数f(x)在[0,1]上单调递减,故f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(0)=log2(1+a),最小值是f(1)=log2.由题意,得log2(1+a)-log2≥2,所以解得-<a≤-,

故实数a的取值范围为.

19.解(1)∵10x-1>0,∴10x>100,则x>0,∴f(x)的定义域为(0,+∞).又10x-1>0,∴f(x)的值域为R.

(2)g(x)=f(x)-lg(10x+1)=lg(10x-1)-lg(10x+1)=lg=lg.∵10x>0,∴10x+1>1,∴0<<2,∴-2<-<0,∴-1<1-<1.又1->0,∴0<1-<1.∴lg<0,∴g(x)的值域为(-∞,0).∵关于x的不等式g(x)<t恒成立,∴t≥0,即t的取值范围是[0,+∞).

20.解(1)根据题意得P=P0e-5k=P0(1-10%),则e-5k=90%,故当t=10时,P=P0e-10k=P0(e-5k)2=P0(90%)2=P081%,故10个小时后还剩81%的有害气体.

(2)根据题意得P0e-kt=P050%,即(e-5k,即=0.5,故t=5log0.90.5=5≈33,故有害气体减少50%需要花33小时.

21.解(1)由题意知,>0,1-x>0,解得x<1,所以函数f(x)的定义域为(-∞,1).令f(x)=0,得=1,解得x=-1,故函数f(x)的零点为-1.

(2)若对于任意x1∈(-∞,-1],存在x2∈[3,4],使得f(x1)≤g(x2)成立,只需f(x)max≤g(x)max,当a>1时,f(x)在(-∞,1]上单调递增,则f(x)max=f(-1)=0,当m=0时,g(x)=3,f(x1)≤g(x2)成立,当m>0时,g(x)在[3,4]上单调递增,g(x)max=g(4)=8m+3,由8m+3≥0,解得m≥-,∴m>0;当m<0时,g(x)在[3,4]上单调递减,g(x)max=g(3)=3m+3,由3m+3≥0,解得m≥-1,∴-1≤m<0.综上,满足条件的m的取值范围是m≥-1.即m∈[-1,+∞).

22.解(1)因为二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(x+1)-f(x)=2x-1,f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+c-ax2-bx-c=2ax+a+b=2x-1,所以解得所以f(x)=x2-2x+c.选①,因为函数f(x)的图象与直线y=-1只有一个交点,所以f(1)=1-2+c=-1,解得c=0,所以f(x)的解析式为f(x)=x2-2x.选②,设x1,x2是函数f(x)的两个零点,则|x1-x2|=2,且Δ=4-4c>0,可得c<1.由题可知x1+x2=2,x1x2=c,所以|x1-x2|==2,解得c=0,所以f(x)的解析式为f(sx)=x2-2x.

(2)由2f(log3x)+m≤0,得m≤-2f(log3x).当x∈,27时,log3x∈[-2,3].令h=log3x,则h∈[-2,3],所以对任意x∈,2f(log3x)+m≤0恒成立,等价于m≤-2f(h)在h∈[-2,3]上恒成立,所以m≤[-2f(h)]min.当h=-2时,取最小值,则-2f(-2)=-16,所以实数m的取值范围为(-∞,-16].