人教B版 (2019)必修 第二册4.4 幂函数课堂检测

第四章综合训练

一、单项选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.若函数f(x)的图象与函数g(x)=10x的图象关于直线y=x对称,则f(100)=(　　)

A.10 B.-1 

C.2 D.-2

2.若xlog23=1,则3x+3-x=(　　)

A. B. 

C. D.

3.若函数y=f(x)的定义域为(0,2),则函数y=f(3-3x)的定义域为(　　)

A.(0,1) B.(0,2) 

C.(1,3) D.(-6,2)

4.若函数y=ax+m-1(a>0)的图象经过第一、三、四象限,则(　　)

A.a>1且m>0 

B.0<a<1且m>0

C.a>1且m<0 

D.0<a<1

5.[2023北京门头沟高一]三个数a=log30.3,b=30.3,c=0.30.3的大小顺序是(　　)

A.a<b<c B.c<a<b 

C.a<c<b D.b<c<a

6.[2023河南安阳高一]设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(-∞,0)上单调递增,设a=30.3,b=-0.4,c=log40.3,则(　　)

A.f(c)>f(a)>f(b) 

B.f(a)>f(c)>f(b)

C.f(c)>f(b)>f(a) 

D.f(a)>f(b)>f(c)

7.在同一平面直角坐标系中,函数y=,y=logax+(a>0且a≠1)的图象可能是(　　)

8.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m恰有两个零点,则实数m不可能是 (　　)

A.-1 B.0 

C.1 D.2

二、多项选择题(在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求)

9.若a>b>0,0<c<1,则下列判断正确的是(　　)

A.logca<logcb B.ca>cb

C.ac>bc D.logc(a+b)>0

10.下列结论正确的是(　　)

A.函数y=2x-1是指数函数

B.函数y=ax2+1(a>1)的值域是[1,+∞)

C.若am>an(a>0,a≠1),则m>n

D.函数f(x)=ax-2-3(a>0,a≠1)的图象必过定点(2,-2)

11.已知实数a,b满足等式,则下列关系式可能成立的是(　　)

A.a>b>0 B.a<b<0 

C.0<a<b D.a=b

12.[2023湖南益阳高一]对于函数f(x)=logax(a>1),下列说法正确的有(　　)

A.∀x1,x2∈(0,+∞),都有f(x1)f(x2)=f(x1+x2)

B.函数|f(x)|-1有两个零点,且互为倒数

C.∃x0∈(0,+∞),使得(x0-1)f(x0)<0

D.∀x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,都有<f

三、填空题

13.+log525=　　　　　. 

14.已知函数f(x)=则 f(f(4))=　　　　　. 

15.函数f(x)=1+loga(x+2)(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,则点A的坐标为　　　　　;若f-<,则实数a的取值范围是　　　　　　　　　　. 

16.若max{a,b}=则函数M(x)=max{log2x,3-x}的最小值为　　　　. 

四、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.计算下列各式的值.

(1)+(1-)0+;

(2).

18.比较函数f(x)=2x与g(x)=x-1在区间[a-1,a](a<0)上的平均变化率的大小.

19.已知f(x)=其中a>0且a≠1.

(1)若f(x)在区间(-∞,+∞)上是单调函数,求实数a,b的取值范围;

(2)当a=2时,函数f(x)在区间(-∞,+∞)上只有一个零点,求实数b的取值范围.

20.已知函数f(x)=loga(1+x)-loga(1-x),其中a>0且a≠1.

(1)求函数f(x)的定义域;

(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由;

(3)若f=2,求使f(x)>0成立的x的集合.

21.某科研团队于元旦在湖中放入一些凤眼莲,这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,二月底测得凤眼莲覆盖面积为24 m2,三月底测得凤眼莲覆盖面积为36 m2,凤眼莲覆盖面积y(单位:m2)与月份x(单位:月)的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=p+q(p>0)可供选择.

(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式;

(2)求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份.(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)

22.设函数f(x)=k·2x-2-x是定义在R上的奇函数.

(1)求k的值;

(2)若不等式f(x)>a·2x-1有解,求实数a的取值范围;

(3)设g(x)=4x+4-x-4f(x),求g(x)在区间[1,+∞)上的最小值,并指出取得最小值时x的值.

参考答案

第四章综合训练

1.C　∵f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称,∴f(x)为g(x)的反函数,

∴f(x)=lgx,则有f(100)=lg100=2.

故选C.

2.A　由题得x==log32,

所以3x+3-x==2+.故选A.

3.A　由题意,需0<3-3x<2,即1<3x<3,所以0<x<1.

4.C　由题意可知,a>1且m-1<-1,所以a>1且m<0.

5.C　∵log30.3<log31=0,30.3>30=1,0<0.30.3<0.30=1,∴a<c<b.故选C.

6.A　∵|c|=|log40.3|==log4∈(0,1),a=30.3>1,b=30.4>30.3>1,∴b>a>1>|c|>0.

∵函数f(x)是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增,

∴f(x)在(0,+∞)上单调递减,

则f(|c|)>f(a)>f(b),即f(c)>f(a)>f(b).故选A.

7.D　当0<a<1时,函数y=ax的图象过定点(0,1)且单调递减,则函数y=的图象过定点(0,1)且单调递增,函数y=logax+的图象过定点,0且单调递减,D选项符合;当a>1时,函数y=ax的图象过定点(0,1)且单调递增,则函数y=的图象过定点(0,1)且单调递减,函数y=logax+的图象过定点,0且单调递增,各选项均不符合.故选D.

8.D　画出函数f(x)的大致图象如图所示,函数g(x)=f(x)-m有两个零点,即函数y=f(x)与函数y=m的图象有两个交点,由函数图象可得m≤0或m=1.故选D.

9.AC　因为0<c<1,所以y=logcx为定义域内的减函数,由a>b>0得logca<logcb,故A正确;因为0<c<1,所以y=cx为定义域内的减函数,由a>b>0,得ca<cb,故B错误;因为a>b>0,0<c<1,所以>1,所以ac>bc,故C正确;取c=,a+b=2,则logc(a+b)=2=-1<0,故D错误.

10.BD　选项A,根据指数函数的定义,可得y=2x-1不是指数函数,故A不正确.

选项B,当a>1时,y=ax2+1≥1,故B正确.

选项C,当0<a<1时,函数y=ax单调递减,由am>an,则m<n,故C不正确.

选项D,由f(2)=22-2-3=-2,可得f(x)的图象恒过点(2,-2),故D正确.

故选BD.

11.ABD　画出函数y=和y=的图象,借助图象分析a,b满足等式时的a,b大小关系,如图所示.

若a,b均为正数,则a>b>0;若a,b为负数,则a<b<0;若a=b=0,则=1.

12.BD　对于A,f(x1)f(x2)=(logax1)·(logax2),f(x1+x2)=loga(x1+x2),由对数运算法则知,A错误;

对于B,logax=±1,即x=a或x=,互为倒数,故B正确;

对于C,由f(x)的图象特征知,当x0>1时,x0-1>0,f(x0)>0,则(x0-1)f(x0)>0,同理可证当x0∈(0,1)时,(x0-1)f(x0)>0,当x0=1时,(x0-1)f(x0)=0,故C错误;

对于D,如图,为点B对应的纵坐标,f为点A对应的纵坐标,故<f,故D正确.故选BD.

13.6　+log525=1+log552=4+2=6.

14.-1　∵f(x)=

∴f(4)=log24-1=1,则f(f(4))=f(1)=1-2=-1.

15.(-1,1)　0,∪(1,+∞)　∵函数f(x)=1+loga(x+2)(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,

令x+2=1,得x=-1,f(-1)=1,可得它的图象经过定点(-1,1).

当0<a<1时,函数f(x)为减函数,

若f-<,则1+loga-+2<,

即loga,即,求得0<a<.

当a>1时,函数f(x)为增函数,

若f-<,则1+loga-+2<,

即loga,即,求得a>,

又a>1,∴a>1.

综上,实数a的取值范围为0,∪(1,+∞).

16.1　函数y=log2x,y=3-x的图象如图所示,且log22=3-2=1,所以M(x)在x=2时有最小值,即M(2)=1.

17.解(1)+(1-)0++1++1+.

(2)=1.

18.解f(x)=2x在区间[a-1,a](a<0)上的平均变化率为=2a-2a-1=2a-1.

g(x)=x-1在区间[a-1,a](a<0)上的平均变化率为.

∵a<0,∴a-1<-1.

∴2a-1<2-1=,

∴f(x)=2x在区间[a-1,a](a<0)上的平均变化率比g(x)=x-1在区间[a-1,a](a<0)上的平均变化率小.

19.解(1)由题易知f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,

又f(x)在区间(-∞,+∞)上是单调函数,

∴当x≥0时,f(x)也单调递增,∴a>1.

且f(0)=1+b≥-1,得b≥-2.

综上,a,b的取值范围分别是(1,+∞),[-2,+∞).

(2)∵当x<0时,f(x)<-1,

∴f(x)在区间(-∞,0)上无零点,

∴当x≥0时,f(x)=2x+b只有一个零点,

∵f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,且f(x)∈[1+b,+∞),∴f(0)=1+b≤0,∴b≤-1.

∴实数b的取值范围是(-∞,-1].

20.解(1)要使函数f(x)有意义,则解得-1<x<1,即函数f(x)的定义域为{x|-1<x<1}.

(2)f(x)是奇函数.理由如下:

由(1)知f(x)的定义域关于原点对称.

∵f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)=-[loga(x+1)-loga(1-x)]=-f(x),∴f(x)是奇函数.

(3)若f=2,

则loga-loga=loga4=2,解得a=2,

∴f(x)=log2(1+x)-log2(1-x).

若f(x)>0,则log2(x+1)>log2(1-x),

∴解得0<x<1,

故所求x的集合为{x|0<x<1}.

21.解(1)两个函数y=kax(k>0,a>1),y=p+q(p>0)在(0,+∞)上都是增函数,随着x的增加,函数y=kax(k>0,a>1)的值增加得越来越快,而函数y=p+q(p>0)的值增加得越来越慢.

因为凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,

所以函数模型y=kax(k>0,a>1)适合要求.

由题意可知,x=2时,y=24;x=3时,y=36,

所以解得

所以该函数模型的解析式是y=×x(x∈N*).

(2)当x=0时,y=×0=,

所以元旦放入凤眼莲的面积是m2.

由×x>10×,得x>10,

所以x>lo10=.

因为≈5.7,所以x≥6,

所以凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份.

22.解(1)因为f(x)=k·2x-2-x是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,所以k-1=0,解得k=1,

所以f(x)=2x-2-x,验证:

当k=1时,f(-x)=2-x-2x=-f(x),

所以f(x)为奇函数,故k=1.

(2)f(x)>a·2x-1有解,所以a<-+1有解,所以只需a<,

因为-+1=-(当x=1时,等号成立),所以a<.

即a的取值范围是.

(3)因为g(x)=4x+4-x-4f(x),

所以g(x)=4x+4-x-4(2x-2-x).

可令t=2x-2-x,可得函数t在[1,+∞)上单调递增,即t≥,则t2=4x+4-x-2,可得函数g(x)=h(t)=t2-4t+2,t≥,由h(t)为开口向上,对称轴为直线t=2>的抛物线,

所以当t=2时,h(t)取得最小值-2,

此时2=2x-2-x,解得x=log2(1+),

所以g(x)在区间[1,+∞)上的最小值为-2,此时x=log2(1+).