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新教材2023_2024学年高中数学第5章统计与概率综合训练新人教B版必修第二册
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这是一份新教材2023_2024学年高中数学第5章统计与概率综合训练新人教B版必修第二册，共15页。
第五章综合训练
一、单项选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.现要完成下列3项抽样调查:
①从15种疫苗中抽取5种检测是否合格;
②某科研院所共有480名科研人员,其中具有高级职称的有48名,具有中级职称的有360名,具有初级职称的有72名.为了解该科研院所科研人员的创新能力,拟抽取一个样本容量为20的样本;
③在中秋节前,某食品监督局从某品牌的10盒月饼中随机抽取3盒进行食品卫生检查.
较为合理的抽样方法是( )
A.①③简单随机抽样,②分层抽样
B.①②简单随机抽样,③分层抽样
C.②③简单随机抽样,①分层抽样
D.①简单随机抽样,②③分层抽样
2.[2023福建福州高一校联考期末]下列叙述正确的是 ( )
A.互斥事件一定不是对立事件,但是对立事件一定是互斥事件
B.若事件A发生的概率为P(A),则0≤P(A)≤1
C.频率是稳定的,概率是随机的
D.5张奖券中有一张有奖,甲先抽,乙后抽,那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小
3.某班有34位同学,座位号记为01,02,…,34.用下面的随机数表选取5组数作为参加青年志愿者活动的五位同学的座号.选取方法是从随机数表第一行的第6个数字开始,由左到右依次选取两个数字,则选出来的第4个志愿者的座位号是( )
49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20
96 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 77
04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06
A.23 B.09 C.02 D.16
4.在5件产品中,有3件一等品和2件二等品,从中任取2件,以为概率的事件是( )
A.恰有1件一等品
B.至少有一件一等品
C.至多有一件一等品
D.都不是一等品
5.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计,得到整个互联网行业从业者年龄分布扇形图、90后从事互联网行业岗位分布条形图,则下列结论中不一定正确的是 ( )
注:90后指1990年及以后出生,80后指1980~1989年出生,80前指1979年及以前出生.
A.互联网行业从业人员中90后占一半以上
B.互联网行业中90后从事技术岗位的人数超过总人数的20%
C.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
D.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80后多
6.在某个小程序上进行的抢红包活动中,若所发红包的总金额为8元,被随机分配为1.72元,1.83元,2.28元,1.55元,0.62元,共5份供甲、乙等5人抢,每人只能抢一次,则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率是( )
A. B. C. D.
7.如图,开关K1,K2被称为双联开关,K1可以与a,b点相连,概率分别为,K2可以与c,d点相连,概率分别为,普通开关K3要么与e点相连(闭合),要么悬空(断开),概率也分别为.若各开关之间的连接情况相互独立,则电灯L1不亮的概率是( )
A. B. C. D.
8.某公司为了解用户对其产品的满意度,从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户,根据用户对产品的满意度评分,分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图.
甲地区
乙地区
若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为m1,m2;平均数分别为x1,x2,则下面结论正确的是( )(同组数据用该组区间的中点值代替)
A.m1>m2,x1>x2 B.m1>m2,x1x2
二、多项选择题(在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求)
9.某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团,该校共有3 000名同学,每名同学依据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个,各个社团的人数比例的扇形图如图所示,其中参加舞蹈社团的同学有75名,参加合唱社团的有90名,则下列说法正确的是( )
A.这五个社团的总人数为300名
B.合唱社团的人数占五个社团总人数的30%
C.这五个社团总人数占该校学生人数的10%
D.从这五个社团中任选一人,其来自太极拳社团或舞蹈社团的概率为0.35
10.小华在校运会上有意向报名“100米”与“跳远”两个项目,事件A表示“他只报100米”,事件B表示“他至少报其中一个项目”,事件C表示“他至多报其中一个项目”,事件D表示“他不报100米”,事件E表示“他一个项目也不报”,则( )
A.A与C是互斥事件
B.A与D是互斥事件,但不是对立事件
C.B与D不是互斥事件
D.B与E是互斥事件,也是对立事件
11.[2023广西河池高一阶段练习]下面是2017年至2021年各年国内电影票房前十名影片中,国产影片(含合拍片)与进口影片数量统计图,则下列说法中正确的是( )
A.2017年至2021年各年国内电影票房前十名影片中,国产影片数量占比不低于50%
B.2017年至2021年各年国内电影票房前十名影片中,国产影片数量占比逐年提高
C.2017年至2021年各年国内电影票房前十名影片中,国产影片数量的平均数大于进口影片数量的平均数
D.2017年至2021年各年国内电影票房前十名影片中,国产影片数量的方差等于进口影片数量的方差
12.从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,从两袋中各摸出一个球,则( )
A.2个球都是红球的概率为
B.2个球中恰有1个红球的概率为
C.2个球中至多有一个红球的概率为
D.2个球中至少有1个红球的概率为
三、填空题
13.同时抛掷两枚质地均匀的硬币,记事件A={(正,反)},写出事件A的一个互斥事件 .(用集合表示,写出一个即可)
14.某电子商务公司对10 000名网络购物者在2021年度的消费情况进行统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间[0.3,0.9]内,其频率分布直方图如图所示.
(1)a= ;
(2)在这些购物者中,消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为 .
15.一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213,134等),若a,b,c∈{1,2,3,4},且a,b,c互不相同,则这个三位数为“有缘数”的概率是 .
16.某单位年初有两辆车参加某种事故保险,对在当年内发生此种事故的每辆车,单位均可获赔(假设每辆车最多只获一次赔偿).设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为,且各车是否发生事故相互独立,则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为 (结果用最简分数表示).
四、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.已知n是一个三位正整数,若n的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n为“三位递增数”(如135,256,345等).
现要从甲、乙两名同学中,选出一个参加某市组织的数学竞赛,选取的规则如下:从由1,2,3,4,5,6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数,且只抽取1次,若抽取的“三位递增数”是偶数,则甲参加数学竞赛;否则,乙参加数学竞赛.
(1)由1,2,3,4,5,6可组成多少“三位递增数”?并一一列举出来.
(2)这种选取规则对甲、乙两名学生公平吗?并说明理由.
18.甲、乙两人进行羽毛球比赛,采取“三局两胜”制,即两人比赛过程中,谁先胜两局即结束比赛.根据以往的数据分析,每局比赛甲胜乙的概率均为,甲、乙比赛没有平局,且每局比赛是相互独立的.
(1)求比赛恰进行两局就结束的概率;
(2)求这场比赛甲获胜的概率.
19.雾霾天气的形成与PM2.5有关,PM2.5日均值越小,空气质量越好.为加强生态文明建设,我国环保部发布了《环境空气质量标准》,见下表:
PM2.5日均值k/(μg·m-3)
空气质量等级
k≤35
一级
35
k>75
污染
某环保部门为了了解甲、乙两城市的空气质量状况,在某月中分别随机抽取了甲、乙两城市6天的PM2.5日均值作为样本,样本数据绘制的茎叶图如图所示(十位为茎,个位为叶).
(1)分别求甲、乙两城市PM2.5日均值的样本平均数,据此判断该月中哪个城市的空气质量较好;
(2)若从甲城市这6天的样本数据中随机抽取2天的数据,求恰有1天的空气质量等级为一级的概率.
20.[2023湖北华中师大一附中高一期末]某地为了解居民可支配收入情况,随机抽取100人,经统计,这100人去年可支配收入(单位:万元)均在区间[4.5,10.5]内,按[4.5,5.5),[5.5,6.5),[6.5,7.5),[7.5,8.5),[8.5,9.5),[9.5,10.5]分成6组,频率分布直方图如图所示,若上述居民可支配收入数据的60%分位数为8.1.
(1)求a,b的值,并估计这100位居民可支配收入的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)用样本的频率估计概率,从该地居民中抽取甲、乙、丙3人,若每次抽取的结果互不影响,求抽取的3人中至少有两人去年可支配收入在[7.5,8.5)内的概率.
21.甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为,乙每次投篮投中的概率为,且各次投篮互不影响.
(1)求乙获胜的概率;
(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率.
22.某地举办水果观光采摘节,并推出配套旅游项目,统计了4月份100名游客购买水果的情况,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)若将消费金额不低于80元的游客称为“水果达人”,现用分层抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人,求这5人中消费金额不低于100元的人数;
(2)从(1)中的5人中抽取2人作为幸运客户免费参加配套旅游项目,请列出所有的可能结果,并求这2人中至少有1人购买金额不低于100元的概率;
(3)为吸引顾客,该地特推出两种促销方案,
方案一:每满80元可立减8元;
方案二:金额超过50元但又不超过80元的部分打9折,金额超过80元但又不超过100元的部分打8折,金额超过100元的部分打7折.
若水果的价格为11元/千克,某游客要购买10千克,应该选择哪种方案?
参考答案
第五章综合训练
1.A ①③中总体容量较少,且个体没有明显差别,适合用简单随机抽样;②中总体是由有明显差异的几部分组成的,适合用分层抽样.故选A.
2.B 对于A,互斥事件不一定是对立事件,但是对立事件一定是互斥事件,故A错误;对于B,事件A发生的概率为P(A),则0≤P(A)≤1,故B正确;对于C,概率是稳定的,频率是随机的,故C错误;对于D,5张奖券中有一张有奖,甲先抽,乙后抽,那么乙与甲抽到有奖奖券的可能性都为,故D错误.故选B.
3.D 选取的编号依次为21,32,09,16,17,则第4个志愿者的座位号为16.故选D.
4.C 将3件一等品编号为1,2,3,2件二等品编号为4,5,从中任取2件,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},共包含10个样本点.记A:恰有1件一等品,则A={(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)},共包含6个样本点.
故恰有1件一等品的概率为P(A)=.
记B:恰有2件一等品,则B={(1,2),(1,3),(2,3)},共包含3个样本点.
故恰有2件一等品的概率为P(B)=,其对立事件是“至多有一件一等品”,概率为P=1-P(B)=1-.
5.D 对于选项A,互联网行业从业人员中90后占56%,占一半以上,所以该选项正确;
对于选项B,互联网行业中90后从事技术岗位的人数占总人数的39.6%×56%=22.176%,超过总人数的20%,所以该选项正确;
对于选项C,互联网行业中从事运营岗位的人数90后占总人数的56%×17%=9.52%,比80前多,所以该选项正确;
对于选项D,互联网行业中从事运营岗位的人数90后占总人数的9.52%,80后占互联网行业从业者总人数的41%,所以互联网行业中从事运营岗位的人数90后不一定比80后多.所以该选项不一定正确.
6.D 由题意可知,样本空间Ω={(1.72,1.83),(1.72,2.28),(1.72,1.55),(1.72,0.62),(1.83,2.28),(1.83,1.55),(1.83,0.62),(2.28,1.55),(2.28,0.62),(1.55,0.62)},共包含10个样本点.记A:甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元,则A={(1.72,1.83),(1.72,2.28),(1.72,1.55),(1.83,2.28),(1.83,1.55),(2.28,1.55)},共包含6个样本点,所以甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率为P(A)=.
7.C 先考虑对立事件“电灯L1亮”:首先需要“K3与e点相连”,同时满足“K1与a点相连且K2与c点相连”或“K1与b点相连且K2与d点相连”,因此电灯L1亮的概率P=×=,故电灯L1不亮的概率为1-.
故选C.
8.C 由频率分布直方图得,
甲地区[40,60)的频率为(0.015+0.020)×10=0.35,
[60,70)的频率为0.025×10=0.25,
所以甲地区用户满意度评分的中位数m1=60+×10=66,
甲地区的平均数x1=45×0.015×10+55×0.020×10+65×0.025×10+75×0.020×10+85×0.010×10+95×0.010×10=67.
乙地区[50,70)的频率为(0.005+0.020)×10=0.25,
[70,80)的频率为0.035×10=0.35,
所以乙地区用户满意度评分的中位数m2=70+×10≈77.1,
乙地区的平均数x2=55×0.005×10+65×0.020×10+75×0.035×10+85×0.025×10+95×0.015×10=77.5.
所以m1
9.ABC 由于参加舞蹈社团的同学有75名,该社团人数占比为25%,故社团总人数为75÷25%=300,故A正确;
因为参加合唱社团的有90名,合唱社团的人数占五个社团总人数的=30%,故B正确;
这五个社团总人数占该校学生人数的=10%,故C正确;
由题可得参加朗诵、脱口秀社团的学生人数为300×30%=90,故太极拳社团或舞蹈社团的人数为300-90-90=120,所以从这五个社团中任选一人,其来自太极拳社团或舞蹈社团的概率为=0.4,故D错误.
故选ABC.
10.BCD 事件A={只报100米},事件B={只报100米,只报跳远,100米与跳远都报},事件C={只报100米,只报跳远,都不报},事件D={只报跳远,都不报},事件E={都不报}.
由A⊆C,即A与C不是互斥事件,则A错误;
由A∩D=⌀,A∪D≠Ω,即A与D是互斥事件,但不是对立事件,则B正确;
由B∩D≠⌀,即B与D不是互斥事件,则C正确;
由B∪E=Ω,且B∩E=⌀,即B与E是互斥事件,也是对立事件,则D正确.
故选BCD.
11.ACD 对于A,2017年至2021年各年国内电影票房前十名影片中,每年的国产影片数量均大于等于5部,故国产影片数量每年的占比都不低于50%,故A正确;对于B,2020年国产影片占比为100%,2021年国产影片占比为80%,故国产影片数量占比并非逐年提高,故B错误;对于C,2017年至2021年各年国内电影票房前十名影片中,国产影片数量平均数为=7.4,进口影片数量平均数为=2.6,故C正确;对于D,2017年至2021年各年国内电影票房前十名影片中,国产影片数量的方差为×[(5-7.4)2+(6-7.4)2+(8-7.4)2+(10-7.4)2+(8-7.4)2]=3.04;进口影片数量的方差为×[(5-2.6)2+(4-2.6)2+(2-2.6)2+(0-2.6)2+(2-2.6)2]=3.04,故D正确.故选ACD.
12.AB 记从甲袋中摸出一个红球的事件为A,从乙袋中摸出一个红球的事件为B,则P(A)=,P(B)=,A,B相互独立,
2个球都是红球的事件为AB,则有P(AB)=P(A)·P(B)=,故A正确;
2个球中恰有1个红球的事件为AB,则P(AB)=P(A)+P(B)=,故B正确;
2个球中至多有一个红球的事件的对立事件为AB,故2个球中至多有一个红球的概率为1-,故C错误;
至少有1个红球的事件的对立事件是,则P()=P()P()=,所以至少有1个红球的概率为,故D错误.
故选AB.
13.{(正,正)}(答案不唯一)
14.(1)3 (2)6 000 (1)由频率分布直方图及频率和等于1可得0.2×0.1+0.8×0.1+1.5×0.1+2×0.1+2.5×0.1+a×0.1=1,解得a=3.
(2)消费金额在区间[0.5,0.9]内的频率为0.2×0.1+0.8×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6,所以消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10000=6000.
15. 由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321,共6个;
同理由1,2,4组成的三位自然数共6个;
由1,3,4组成的三位自然数也是6个;
由2,3,4组成的三位自然数也是6个.
所以共有6+6+6+6=24个.
由1,2,3组成的三位自然数,共6个“有缘数”,
由1,3,4组成的三位自然数,共6个“有缘数”.
所以三位数为“有缘数”的概率P=.
16. 因为这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为,所以这两辆车在一年内不发生此种事故的概率分别为,两辆车在一年内都不发生此种事故的概率为,根据对立事件的概率公式可得一年内该单位在此种保险中获赔的概率为1-.
17.解(1)由题意知,所有由1,2,3,4,5,6组成的“三位递增数”共有20个.
分别是123,124,125,126,134,135,136,145,146,156,234,235,236,245,246,256,345,346,356,456.
(2)不公平.由(1)知,所有由1,2,3,4,5,6组成的“三位递增数”有20个,记“甲参加数学竞赛”为事件A,记“乙参加数学竞赛”为事件B,则A={124,134,234,126,136,146,156,236,246,256,346,356,456},共13个样本点.
则P(A)=.
又事件A与B对立,
所以P(B)=1-P(A)=1-,
所以P(A)>P(B).
故选取规则对甲、乙两名学生不公平.
18.解(1)比赛恰进行两局就结束对应的事件A有两种可能,
事件A1:甲胜乙,事件A2:乙胜甲.
则P(A1)=,P(A2)=,
P(A)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=.
(2)这场比赛甲获胜对应的事件B有两种可能,事件B1:比赛两局结束且甲获胜;事件B2:比赛三局结束且甲获胜.
P(B1)=,P(B2)=,
∴P(B)=P(B1+B2)=.
19.解(1)甲城市抽取的样本数据分别是32,34,45,56,63,70;乙城市抽取的样本数据为33,46,47,51,64,71.
=50,
=52.
因为,所以甲城市的空气质量较好.
(2)由茎叶图,知甲城市这6天中有2天的空气质量等级为一级,有4天的空气质量等级为二级,记空气质量等级为二级的这4天的数据分别为a,b,c,d,空气质量等级为一级的这2天的数据分别为m,n,则从这6天中抽取2天,这个试验的样本空间Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(a,m),(a,n),(b,c),(b,d),(b,m),(b,n),(c,d),(c,m),(c,n),(d,m),(d,n),(m,n)},共有15个样本点,且这15个样本点出现的可能性相等.
记“恰有1天的空气质量等级为一级”为事件A,则A={(a,m),(b,m),(c,m),(d,m),(a,n),(b,n),(c,n),(d,n)},共包含8个样本点.
所以P(A)=,即恰有1天的空气质量等级为一级的概率为.
20.解(1)由频率分布直方图,可得(0.05+0.12+a+b+0.2+0.08)×1=1,则a+b=0.55.①
因为居民收入数据的60%分位数为8.1,
所以0.05+0.12+a+(8.1-7.5)×b=0.6,
则a+0.6b=0.43.②
联立①②,解得
所以平均值为0.05×5+0.12×6+0.25×7+0.3×8+0.2×9+0.08×10=7.72.
(2)根据题意,设事件A,B,C分别为甲、乙、丙去年可支配收入在[7.5,8.5)内,则P(A)=P(B)=P(C)=0.3.
①“抽取3人中有2人在[7.5,8.5)内”=AB∪AC∪BC,且AB,AC,BC互斥,则P1=P(AB∪AC∪BC)=0.3×0.3×(1-0.3)+0.3×(1-0.3)×0.3+(1-0.3)×0.3×0.3=0.189.
②“抽取3人中有3人在[7.5,8.5)内”=ABC,则P2=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.3×0.3×0.3=0.027.
所以抽取的3人中至少有两人去年可支配收入在[7.5,8.5)内的概率为P1+P2=0.189+0.027=0.216.
21.解设Ak,Bk分别表示甲、乙在第k次投篮时投中,
则P(Ak)=,P(Bk)=,k=1,2,3.
(1)记“乙获胜”为事件C,则P(C)=P(B1)+P(B2)+P(B3)=P()P(B1)+P()P()P()P(B2)+P()P()P()P()·P()P(B3)=.
(2)记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D,
则P(D)=P(B2)+P(A3)=P()·P()P()P(B2)+P()P()P()P()P(A3)=.
22.解(1)样本中“水果达人”的频率为(0.0075+0.005)×20=0.25,所以样本中“水果达人”人数为100×0.25=25.
由图可知,消费金额在[80,100)与[100,120]的人数比为3∶2,所以消费金额不低于100元的人数为25×=10,所以,抽取的这5人中消费金额不低于100元的人数为2.
(2)抽取的5人中消费金额低于100元的有3人,记为A,B,C,消费金额不低于100元的有2人,记为a,b,则样本空间Ω={(A,B),(A,C),(A,a),(A,b),(B,C),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(a,b)},共10个样本点,其中满足题意的有7个样本点,所以所求概率为.
(3)未优惠前的总价为11×10=110(元).
方案一:需支付11×10-8=102(元).
方案二:需支付50+(80-50)×0.9+(100-80)×0.8+(110-100)×0.7=100(元).
所以选择方案二更优惠.
第五章综合训练
一、单项选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.现要完成下列3项抽样调查:
①从15种疫苗中抽取5种检测是否合格;
②某科研院所共有480名科研人员,其中具有高级职称的有48名,具有中级职称的有360名,具有初级职称的有72名.为了解该科研院所科研人员的创新能力,拟抽取一个样本容量为20的样本;
③在中秋节前,某食品监督局从某品牌的10盒月饼中随机抽取3盒进行食品卫生检查.
较为合理的抽样方法是( )
A.①③简单随机抽样,②分层抽样
B.①②简单随机抽样,③分层抽样
C.②③简单随机抽样,①分层抽样
D.①简单随机抽样,②③分层抽样
2.[2023福建福州高一校联考期末]下列叙述正确的是 ( )
A.互斥事件一定不是对立事件,但是对立事件一定是互斥事件
B.若事件A发生的概率为P(A),则0≤P(A)≤1
C.频率是稳定的,概率是随机的
D.5张奖券中有一张有奖,甲先抽,乙后抽,那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小
3.某班有34位同学,座位号记为01,02,…,34.用下面的随机数表选取5组数作为参加青年志愿者活动的五位同学的座号.选取方法是从随机数表第一行的第6个数字开始,由左到右依次选取两个数字,则选出来的第4个志愿者的座位号是( )
49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20
96 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 77
04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06
A.23 B.09 C.02 D.16
4.在5件产品中,有3件一等品和2件二等品,从中任取2件,以为概率的事件是( )
A.恰有1件一等品
B.至少有一件一等品
C.至多有一件一等品
D.都不是一等品
5.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计,得到整个互联网行业从业者年龄分布扇形图、90后从事互联网行业岗位分布条形图,则下列结论中不一定正确的是 ( )
注:90后指1990年及以后出生,80后指1980~1989年出生,80前指1979年及以前出生.
A.互联网行业从业人员中90后占一半以上
B.互联网行业中90后从事技术岗位的人数超过总人数的20%
C.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
D.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80后多
6.在某个小程序上进行的抢红包活动中,若所发红包的总金额为8元,被随机分配为1.72元,1.83元,2.28元,1.55元,0.62元,共5份供甲、乙等5人抢,每人只能抢一次,则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率是( )
A. B. C. D.
7.如图,开关K1,K2被称为双联开关,K1可以与a,b点相连,概率分别为,K2可以与c,d点相连,概率分别为,普通开关K3要么与e点相连(闭合),要么悬空(断开),概率也分别为.若各开关之间的连接情况相互独立,则电灯L1不亮的概率是( )
A. B. C. D.
8.某公司为了解用户对其产品的满意度,从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户,根据用户对产品的满意度评分,分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图.
甲地区
乙地区
若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为m1,m2;平均数分别为x1,x2,则下面结论正确的是( )(同组数据用该组区间的中点值代替)
A.m1>m2,x1>x2 B.m1>m2,x1
二、多项选择题(在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求)
9.某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团,该校共有3 000名同学,每名同学依据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个,各个社团的人数比例的扇形图如图所示,其中参加舞蹈社团的同学有75名,参加合唱社团的有90名,则下列说法正确的是( )
A.这五个社团的总人数为300名
B.合唱社团的人数占五个社团总人数的30%
C.这五个社团总人数占该校学生人数的10%
D.从这五个社团中任选一人,其来自太极拳社团或舞蹈社团的概率为0.35
10.小华在校运会上有意向报名“100米”与“跳远”两个项目,事件A表示“他只报100米”,事件B表示“他至少报其中一个项目”,事件C表示“他至多报其中一个项目”,事件D表示“他不报100米”,事件E表示“他一个项目也不报”,则( )
A.A与C是互斥事件
B.A与D是互斥事件,但不是对立事件
C.B与D不是互斥事件
D.B与E是互斥事件,也是对立事件
11.[2023广西河池高一阶段练习]下面是2017年至2021年各年国内电影票房前十名影片中,国产影片(含合拍片)与进口影片数量统计图,则下列说法中正确的是( )
A.2017年至2021年各年国内电影票房前十名影片中,国产影片数量占比不低于50%
B.2017年至2021年各年国内电影票房前十名影片中,国产影片数量占比逐年提高
C.2017年至2021年各年国内电影票房前十名影片中,国产影片数量的平均数大于进口影片数量的平均数
D.2017年至2021年各年国内电影票房前十名影片中,国产影片数量的方差等于进口影片数量的方差
12.从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,从两袋中各摸出一个球,则( )
A.2个球都是红球的概率为
B.2个球中恰有1个红球的概率为
C.2个球中至多有一个红球的概率为
D.2个球中至少有1个红球的概率为
三、填空题
13.同时抛掷两枚质地均匀的硬币,记事件A={(正,反)},写出事件A的一个互斥事件 .(用集合表示,写出一个即可)
14.某电子商务公司对10 000名网络购物者在2021年度的消费情况进行统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间[0.3,0.9]内,其频率分布直方图如图所示.
(1)a= ;
(2)在这些购物者中,消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为 .
15.一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213,134等),若a,b,c∈{1,2,3,4},且a,b,c互不相同,则这个三位数为“有缘数”的概率是 .
16.某单位年初有两辆车参加某种事故保险,对在当年内发生此种事故的每辆车,单位均可获赔(假设每辆车最多只获一次赔偿).设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为,且各车是否发生事故相互独立,则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为 (结果用最简分数表示).
四、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.已知n是一个三位正整数,若n的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n为“三位递增数”(如135,256,345等).
现要从甲、乙两名同学中,选出一个参加某市组织的数学竞赛,选取的规则如下:从由1,2,3,4,5,6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数,且只抽取1次,若抽取的“三位递增数”是偶数,则甲参加数学竞赛;否则,乙参加数学竞赛.
(1)由1,2,3,4,5,6可组成多少“三位递增数”?并一一列举出来.
(2)这种选取规则对甲、乙两名学生公平吗?并说明理由.
18.甲、乙两人进行羽毛球比赛,采取“三局两胜”制,即两人比赛过程中,谁先胜两局即结束比赛.根据以往的数据分析,每局比赛甲胜乙的概率均为,甲、乙比赛没有平局,且每局比赛是相互独立的.
(1)求比赛恰进行两局就结束的概率;
(2)求这场比赛甲获胜的概率.
19.雾霾天气的形成与PM2.5有关,PM2.5日均值越小,空气质量越好.为加强生态文明建设,我国环保部发布了《环境空气质量标准》,见下表:
PM2.5日均值k/(μg·m-3)
空气质量等级
k≤35
一级
35
k>75
污染
某环保部门为了了解甲、乙两城市的空气质量状况,在某月中分别随机抽取了甲、乙两城市6天的PM2.5日均值作为样本,样本数据绘制的茎叶图如图所示(十位为茎,个位为叶).
(1)分别求甲、乙两城市PM2.5日均值的样本平均数,据此判断该月中哪个城市的空气质量较好;
(2)若从甲城市这6天的样本数据中随机抽取2天的数据,求恰有1天的空气质量等级为一级的概率.
20.[2023湖北华中师大一附中高一期末]某地为了解居民可支配收入情况,随机抽取100人,经统计,这100人去年可支配收入(单位:万元)均在区间[4.5,10.5]内,按[4.5,5.5),[5.5,6.5),[6.5,7.5),[7.5,8.5),[8.5,9.5),[9.5,10.5]分成6组,频率分布直方图如图所示,若上述居民可支配收入数据的60%分位数为8.1.
(1)求a,b的值,并估计这100位居民可支配收入的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)用样本的频率估计概率,从该地居民中抽取甲、乙、丙3人,若每次抽取的结果互不影响,求抽取的3人中至少有两人去年可支配收入在[7.5,8.5)内的概率.
21.甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为,乙每次投篮投中的概率为,且各次投篮互不影响.
(1)求乙获胜的概率;
(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率.
22.某地举办水果观光采摘节,并推出配套旅游项目,统计了4月份100名游客购买水果的情况,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)若将消费金额不低于80元的游客称为“水果达人”,现用分层抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人,求这5人中消费金额不低于100元的人数;
(2)从(1)中的5人中抽取2人作为幸运客户免费参加配套旅游项目,请列出所有的可能结果,并求这2人中至少有1人购买金额不低于100元的概率;
(3)为吸引顾客,该地特推出两种促销方案,
方案一:每满80元可立减8元;
方案二:金额超过50元但又不超过80元的部分打9折,金额超过80元但又不超过100元的部分打8折,金额超过100元的部分打7折.
若水果的价格为11元/千克,某游客要购买10千克,应该选择哪种方案?
参考答案
第五章综合训练
1.A ①③中总体容量较少,且个体没有明显差别,适合用简单随机抽样;②中总体是由有明显差异的几部分组成的,适合用分层抽样.故选A.
2.B 对于A,互斥事件不一定是对立事件,但是对立事件一定是互斥事件,故A错误;对于B,事件A发生的概率为P(A),则0≤P(A)≤1,故B正确;对于C,概率是稳定的,频率是随机的,故C错误;对于D,5张奖券中有一张有奖,甲先抽,乙后抽,那么乙与甲抽到有奖奖券的可能性都为,故D错误.故选B.
3.D 选取的编号依次为21,32,09,16,17,则第4个志愿者的座位号为16.故选D.
4.C 将3件一等品编号为1,2,3,2件二等品编号为4,5,从中任取2件,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},共包含10个样本点.记A:恰有1件一等品,则A={(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)},共包含6个样本点.
故恰有1件一等品的概率为P(A)=.
记B:恰有2件一等品,则B={(1,2),(1,3),(2,3)},共包含3个样本点.
故恰有2件一等品的概率为P(B)=,其对立事件是“至多有一件一等品”,概率为P=1-P(B)=1-.
5.D 对于选项A,互联网行业从业人员中90后占56%,占一半以上,所以该选项正确;
对于选项B,互联网行业中90后从事技术岗位的人数占总人数的39.6%×56%=22.176%,超过总人数的20%,所以该选项正确;
对于选项C,互联网行业中从事运营岗位的人数90后占总人数的56%×17%=9.52%,比80前多,所以该选项正确;
对于选项D,互联网行业中从事运营岗位的人数90后占总人数的9.52%,80后占互联网行业从业者总人数的41%,所以互联网行业中从事运营岗位的人数90后不一定比80后多.所以该选项不一定正确.
6.D 由题意可知,样本空间Ω={(1.72,1.83),(1.72,2.28),(1.72,1.55),(1.72,0.62),(1.83,2.28),(1.83,1.55),(1.83,0.62),(2.28,1.55),(2.28,0.62),(1.55,0.62)},共包含10个样本点.记A:甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元,则A={(1.72,1.83),(1.72,2.28),(1.72,1.55),(1.83,2.28),(1.83,1.55),(2.28,1.55)},共包含6个样本点,所以甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率为P(A)=.
7.C 先考虑对立事件“电灯L1亮”:首先需要“K3与e点相连”,同时满足“K1与a点相连且K2与c点相连”或“K1与b点相连且K2与d点相连”,因此电灯L1亮的概率P=×=,故电灯L1不亮的概率为1-.
故选C.
8.C 由频率分布直方图得,
甲地区[40,60)的频率为(0.015+0.020)×10=0.35,
[60,70)的频率为0.025×10=0.25,
所以甲地区用户满意度评分的中位数m1=60+×10=66,
甲地区的平均数x1=45×0.015×10+55×0.020×10+65×0.025×10+75×0.020×10+85×0.010×10+95×0.010×10=67.
乙地区[50,70)的频率为(0.005+0.020)×10=0.25,
[70,80)的频率为0.035×10=0.35,
所以乙地区用户满意度评分的中位数m2=70+×10≈77.1,
乙地区的平均数x2=55×0.005×10+65×0.020×10+75×0.035×10+85×0.025×10+95×0.015×10=77.5.
所以m1
9.ABC 由于参加舞蹈社团的同学有75名,该社团人数占比为25%,故社团总人数为75÷25%=300,故A正确;
因为参加合唱社团的有90名,合唱社团的人数占五个社团总人数的=30%,故B正确;
这五个社团总人数占该校学生人数的=10%,故C正确;
由题可得参加朗诵、脱口秀社团的学生人数为300×30%=90,故太极拳社团或舞蹈社团的人数为300-90-90=120,所以从这五个社团中任选一人,其来自太极拳社团或舞蹈社团的概率为=0.4,故D错误.
故选ABC.
10.BCD 事件A={只报100米},事件B={只报100米,只报跳远,100米与跳远都报},事件C={只报100米,只报跳远,都不报},事件D={只报跳远,都不报},事件E={都不报}.
由A⊆C,即A与C不是互斥事件,则A错误;
由A∩D=⌀,A∪D≠Ω,即A与D是互斥事件,但不是对立事件,则B正确;
由B∩D≠⌀,即B与D不是互斥事件,则C正确;
由B∪E=Ω,且B∩E=⌀,即B与E是互斥事件,也是对立事件,则D正确.
故选BCD.
11.ACD 对于A,2017年至2021年各年国内电影票房前十名影片中,每年的国产影片数量均大于等于5部,故国产影片数量每年的占比都不低于50%,故A正确;对于B,2020年国产影片占比为100%,2021年国产影片占比为80%,故国产影片数量占比并非逐年提高,故B错误;对于C,2017年至2021年各年国内电影票房前十名影片中,国产影片数量平均数为=7.4,进口影片数量平均数为=2.6,故C正确;对于D,2017年至2021年各年国内电影票房前十名影片中,国产影片数量的方差为×[(5-7.4)2+(6-7.4)2+(8-7.4)2+(10-7.4)2+(8-7.4)2]=3.04;进口影片数量的方差为×[(5-2.6)2+(4-2.6)2+(2-2.6)2+(0-2.6)2+(2-2.6)2]=3.04,故D正确.故选ACD.
12.AB 记从甲袋中摸出一个红球的事件为A,从乙袋中摸出一个红球的事件为B,则P(A)=,P(B)=,A,B相互独立,
2个球都是红球的事件为AB,则有P(AB)=P(A)·P(B)=,故A正确;
2个球中恰有1个红球的事件为AB,则P(AB)=P(A)+P(B)=,故B正确;
2个球中至多有一个红球的事件的对立事件为AB,故2个球中至多有一个红球的概率为1-,故C错误;
至少有1个红球的事件的对立事件是,则P()=P()P()=,所以至少有1个红球的概率为,故D错误.
故选AB.
13.{(正,正)}(答案不唯一)
14.(1)3 (2)6 000 (1)由频率分布直方图及频率和等于1可得0.2×0.1+0.8×0.1+1.5×0.1+2×0.1+2.5×0.1+a×0.1=1,解得a=3.
(2)消费金额在区间[0.5,0.9]内的频率为0.2×0.1+0.8×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6,所以消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10000=6000.
15. 由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321,共6个;
同理由1,2,4组成的三位自然数共6个;
由1,3,4组成的三位自然数也是6个;
由2,3,4组成的三位自然数也是6个.
所以共有6+6+6+6=24个.
由1,2,3组成的三位自然数,共6个“有缘数”,
由1,3,4组成的三位自然数,共6个“有缘数”.
所以三位数为“有缘数”的概率P=.
16. 因为这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为,所以这两辆车在一年内不发生此种事故的概率分别为,两辆车在一年内都不发生此种事故的概率为,根据对立事件的概率公式可得一年内该单位在此种保险中获赔的概率为1-.
17.解(1)由题意知,所有由1,2,3,4,5,6组成的“三位递增数”共有20个.
分别是123,124,125,126,134,135,136,145,146,156,234,235,236,245,246,256,345,346,356,456.
(2)不公平.由(1)知,所有由1,2,3,4,5,6组成的“三位递增数”有20个,记“甲参加数学竞赛”为事件A,记“乙参加数学竞赛”为事件B,则A={124,134,234,126,136,146,156,236,246,256,346,356,456},共13个样本点.
则P(A)=.
又事件A与B对立,
所以P(B)=1-P(A)=1-,
所以P(A)>P(B).
故选取规则对甲、乙两名学生不公平.
18.解(1)比赛恰进行两局就结束对应的事件A有两种可能,
事件A1:甲胜乙,事件A2:乙胜甲.
则P(A1)=,P(A2)=,
P(A)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=.
(2)这场比赛甲获胜对应的事件B有两种可能,事件B1:比赛两局结束且甲获胜;事件B2:比赛三局结束且甲获胜.
P(B1)=,P(B2)=,
∴P(B)=P(B1+B2)=.
19.解(1)甲城市抽取的样本数据分别是32,34,45,56,63,70;乙城市抽取的样本数据为33,46,47,51,64,71.
=50,
=52.
因为,所以甲城市的空气质量较好.
(2)由茎叶图,知甲城市这6天中有2天的空气质量等级为一级,有4天的空气质量等级为二级,记空气质量等级为二级的这4天的数据分别为a,b,c,d,空气质量等级为一级的这2天的数据分别为m,n,则从这6天中抽取2天,这个试验的样本空间Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(a,m),(a,n),(b,c),(b,d),(b,m),(b,n),(c,d),(c,m),(c,n),(d,m),(d,n),(m,n)},共有15个样本点,且这15个样本点出现的可能性相等.
记“恰有1天的空气质量等级为一级”为事件A,则A={(a,m),(b,m),(c,m),(d,m),(a,n),(b,n),(c,n),(d,n)},共包含8个样本点.
所以P(A)=,即恰有1天的空气质量等级为一级的概率为.
20.解(1)由频率分布直方图,可得(0.05+0.12+a+b+0.2+0.08)×1=1,则a+b=0.55.①
因为居民收入数据的60%分位数为8.1,
所以0.05+0.12+a+(8.1-7.5)×b=0.6,
则a+0.6b=0.43.②
联立①②,解得
所以平均值为0.05×5+0.12×6+0.25×7+0.3×8+0.2×9+0.08×10=7.72.
(2)根据题意,设事件A,B,C分别为甲、乙、丙去年可支配收入在[7.5,8.5)内,则P(A)=P(B)=P(C)=0.3.
①“抽取3人中有2人在[7.5,8.5)内”=AB∪AC∪BC,且AB,AC,BC互斥,则P1=P(AB∪AC∪BC)=0.3×0.3×(1-0.3)+0.3×(1-0.3)×0.3+(1-0.3)×0.3×0.3=0.189.
②“抽取3人中有3人在[7.5,8.5)内”=ABC,则P2=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.3×0.3×0.3=0.027.
所以抽取的3人中至少有两人去年可支配收入在[7.5,8.5)内的概率为P1+P2=0.189+0.027=0.216.
21.解设Ak,Bk分别表示甲、乙在第k次投篮时投中,
则P(Ak)=,P(Bk)=,k=1,2,3.
(1)记“乙获胜”为事件C,则P(C)=P(B1)+P(B2)+P(B3)=P()P(B1)+P()P()P()P(B2)+P()P()P()P()·P()P(B3)=.
(2)记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D,
则P(D)=P(B2)+P(A3)=P()·P()P()P(B2)+P()P()P()P()P(A3)=.
22.解(1)样本中“水果达人”的频率为(0.0075+0.005)×20=0.25,所以样本中“水果达人”人数为100×0.25=25.
由图可知,消费金额在[80,100)与[100,120]的人数比为3∶2,所以消费金额不低于100元的人数为25×=10,所以,抽取的这5人中消费金额不低于100元的人数为2.
(2)抽取的5人中消费金额低于100元的有3人,记为A,B,C,消费金额不低于100元的有2人,记为a,b,则样本空间Ω={(A,B),(A,C),(A,a),(A,b),(B,C),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(a,b)},共10个样本点,其中满足题意的有7个样本点,所以所求概率为.
(3)未优惠前的总价为11×10=110(元).
方案一:需支付11×10-8=102(元).
方案二:需支付50+(80-50)×0.9+(100-80)×0.8+(110-100)×0.7=100(元).
所以选择方案二更优惠.
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