高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.2.3 平面向量的坐标及其运算练习

第六章6.2.3　平面向量的坐标及其运算

A级 必备知识基础练

1.[探究点二]已知点A(1,0),B(3,2),则=(　　)

A.(0,-1) B.(1,-1) 

C.(2,2) D.(-1,0)

2.[探究点三·2023山西运城高二期末]已知向量a=(3,-4),b=(λ,8),且a∥b,则|a-b|=(　　)

A.15 B. C.16 D.225

3.[探究点二、三](多选题)[2023江西上饶高二]已知λ,μ∈R,=(λ,1),=(-1,1),=(1,μ),那么              (　　)

A.=(λ-1,1-μ)

B.若,则λ=2,μ=

C.若A是BD中点,则B,C两点重合

D.若点B,C,D共线,则μ=1

4.[探究点三]已知向量a=(3,-2),b=(x,y-1),且a∥b,若x,y为正数,则的最小值是(　　)

A. B. C.16 D.8

5.[探究点二]已知点M(4,-1),N(1,3),则=　　　　　,与同方向的单位向量为　　　　　. 

6.[探究点三]若A(1,2),B(a,-2),C(3,1-a)三个不同的点共线,则a=　　　　　. 

7.[探究点二]已知向量a=(x,2),b=(-1,1),若|a-b|=|a+b|,则x的值为　　　　　. 

8.[探究点一·北师大版教材习题]在平面内以点O的正东方向为x轴正方向,正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系.质点在平面内做直线运动,分别求下列位移向量的坐标:

(1)向量a表示沿北偏东60°移动了3个单位长度;

(2)向量b表示沿西北方向移动了4个单位长度;

(3)向量c表示沿南偏西30°移动了3个单位长度;

(4)向量d表示沿东南方向移动了4个单位长度.

9.[探究点二、三]设向量a=(-1,2),b=(1,-1),c=(4,-5).

(1)求|a+2b|;

(2)若c=λa+μb,λ,μ∈R,求λ+μ的值;

(3)若=a+b,=a-2b,=4a-2b,求证:A,C,D三点共线.

B级 关键能力提升练

10.[2023重庆开州高一]已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则2a+3b=(　　)

A.(-4,-8) B.(-8,-16) 

C.(4,8) D.(8,16)

11.已知向量a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d,那么(　　)

A.k=1,且c与d同向

B.k=1,且c与d反向

C.k=-1,且c与d同向

D.k=-1,且c与d反向

12.(多选题)已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0),(3,0),(1,-5),则第四个顶点的坐标是              (　　)

A.(1,5) B.(5,-5)

C.(-3,-5) D.(5,5)

13.已知a=(1,2m-1),b=(2-m,-2),若向量a,b不共线,则实数m的取值范围为　. 

14.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+4b与a-2b共线,则m的值为　　　　　. 

15.已知=(1,1),=(3,-1),=(a,b).

(1)若A,B,C三点共线,求a,b的关系;

(2)若=2,求点C的坐标.

16.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),回答下列问题:

(1)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k;

(2)设d=(x,y)满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|=1,求d.

17.已知向量a=(-3,2),b=(2,1),c=(3,-1),t∈R.

(1)求|a+tb|的最小值;

(2)若a-tb与c共线,求t的值.

C级 学科素养创新练

18.已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-x,-3-y).

(1)若点A,B,C不能构成三角形,求x,y应满足的条件;

(2)若=2,求x,y的值.

19.已知点O(0,0),A(1,2),B(3,4),+t.

(1)若点P在第二象限,求实数t的取值范围;

(2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由.

参考答案

6.2.3　平面向量的坐标及其运算

1.C　因为A(1,0),B(3,2),所以=(2,2).故选C.

2.A　因为a∥b,所以3×8-λ(-4)=0,解得λ=-6,

所以a-b=(3,-4)-(-6,8)=(9,-12),

则|a-b|==15.

故选A.

3.AC　=(λ,1)-(1,μ)=(λ-1,1-μ),故A正确;若,则λ·μ=1,故可取λ=3,μ=,故B错误;若A是BD的中点,则=-,即(λ,1)=(-1,-μ)⇒λ=μ=-1,所以=(-1,1),所以B,C两点重合,故C正确;因为B,C,D三点共线,所以=(-1,1)-(λ,1)=(-1-λ,0),=(1-λ,μ-1),则(-1-λ)×(μ-1)=0×(1-λ)⇒λ=-1或μ=1,故D错误.故选AC.

4.D　因为a∥b,所以3(y-1)=-2x,即2x+3y=3,那么(2x+3y)=12+≥12+2=8,当且仅当时,等号成立,又x,y为正数,所以解得所以原式的最小值为8.故选D.

5.(-3,4)　=(1-4,3+1)=(-3,4),所以与同方向的单位向量为(-3,4)=.

6.-3　依题意,得=(a-1,-4),=(2,-1-a).由,得(a-1)(-1-a)=(-4)×2,所以a2=9,解得a=±3,经检验知a=-3满足题意.

7.2　因为a=(x,2),b=(-1,1),所以a+b=(x-1,3),a-b=(x+1,1).因为|a-b|=|a+b|,所以有,解得x=2.

8.

解如图,a=,

b=(-2,2),

c=,

d=(2,-2).

9.(1)解a+2b=(-1,2)+(2,-2)=(1,0),|a+2b|==1.

(2)解(4,-5)=λ(-1,2)+μ(1,-1),所以解得所以λ+μ=2.

(3)证明因为=a+b+a-2b=2a-b,所以=4a-2b=2,所以A,C,D三点共线.

10.A　∵a∥b,∴1×m=2×(-2),∴m=-4,∴b=(-2,-4),

∴2a+3b=(2,4)+(-6,-12)=(-4,-8).故选A.

11.D　c=ka+b=(k,1),d=a-b=(1,-1),

∵c∥d,∴k=-1,c=(-1,1).

∴c与d反向.故选D.

12.ABC　设A(-1,0),B(3,0),C(1,-5),第四个顶点为D,①若这个平行四边形为▱ABCD,则,∴D(-3,-5);②若这个平行四边形为▱ACDB,则,∴D(5,-5);③若这个平行四边形为▱ACBD,则,∴D(1,5).综上所述,D点坐标为(1,5)或(5,-5)或(-3,-5).

13.(-∞,0)∪　∵向量a,b不共线,∴1×(-2)≠(2m-1)(2-m),解得m≠0,且m≠.

14.-2　ma+4b=m(2,3)+4(-1,2)=(2m-4,3m+8),a-2b=(2,3)-2(-1,2)=(4,-1).

∵向量ma+4b与a-2b共线,

∴-(2m-4)=4(3m+8),解得m=-2.

15.解由题意知,=(2,-2),=(a-1,b-1).

(1)∵A,B,C三点共线,∴,

∴2(b-1)-(-2)×(a-1)=0,∴a+b=2.

(2)∵=2,∴(a-1,b-1)=2(2,-2)=(4,-4),

∴解得∴点C的坐标为(5,-3).

16.解(1)∵(a+kc)∥(2b-a),

又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),

∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,∴k=-.

(2)∵d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),

又(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,

∴

解得

∴d=或d=.

17.解(1)∵a=(-3,2),b=(2,1),

∴a+tb=(2t-3,t+2),

∴|a+tb|=(t∈R),∴当t=时,|a+tb|的最小值为.

(2)∵a-tb=(-3-2t,2-t),c=(3,-1),a-tb与c共线,∴(-3-2t)×(-1)=3(2-t),∴t=.

18.解因为=(3,-4),=(6,-3),=(5-x,-3-y),

所以=(5-x,-3-y)-(3,-4)=(2-x,1-y),

=(5-x,-3-y)-(6,-3)=(-1-x,-y).

(1)因为点A,B,C不能构成三角形,

所以共线,

所以(2-x)(-y)=(1-y)(-1-x),

即x-3y+1=0,

所以x,y应满足的条件为x-3y+1=0.

(2)因为=2,

所以解得

19.解(1)+t=(1,2)+t(2,2)=(2t+1,2t+2),由题意,得解得-1<t<-,

即t的取值范围是.

(2)四边形OABP不能成为平行四边形.

理由:若四边形OABP是平行四边形,则,而=(2,2),=(2t+1,2t+2),因此需要但此方程组无实数解,所以四边形OABP不可能是平行四边形.