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新教材2023_2024学年高中数学第6章平面向量初步测评新人教B版必修第二册

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2023-09-22 21:32
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新教材2023_2024学年高中数学第6章平面向量初步测评新人教B版必修第二册

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这是一份新教材2023_2024学年高中数学第6章平面向量初步测评新人教B版必修第二册，共10页。

第六章测评

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.下列说法中,正确的是(　　)

①长度为0的向量都是零向量;②零向量的方向是确定的;③单位向量都是同方向的;④任意向量与零向量都共线.

A.①② B.②③

C.②④ D.①④

2.已知空间四边形ABCD中,=a,=b,=c,则等于(　　)

A.a+b-c B.-a-b+c

C.-a+b+c D.-a+b-c

3.河水的流速大小为2 m/s,一艘小船想沿垂直于河岸的方向驶向对岸,且速度大小为10 m/s,则小船在静水中的速度大小为(　　)

A.10 m/s B.2 m/s

C.4 m/s D.12 m/s

4.[2023广东茂名统考]在△ABC中,=c,=b,若点M满足=2,则=(　　)

A.b+c B.b-c

C.c-b D.b+c

5.已知平面内两个不共线向量i,j,且a=ki+3j,b=2i+(k-1)j,若向量a与b共线,则k=(　　)

A.3或-2 B.1或-6

C.-3或2 D.-1或6

6.点P是△ABC所在平面内一点,若,则△ABP与△ACP的面积之比是(　　)

A.3 B.2 C. D.

7.已知△ABC中,M是线段BC上靠近点B的三等分点,N是线段AC的中点,则=(　　)

A. B.

C.+2 D.+2

8.如图,在平行四边形ABCD中,E是CD的中点,F为线段BD上的一动点,若=x+y(x>0,y>0),则的最大值为(　　)

A. B. C.1 D.2

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.若向量a=(λ,-1)与b=(3,1)共线,则(　　)

A.λ=-3 B.|a-b|=

C.λ=3 D.|a-b|=2

10.下列各组向量中,可以组成基底的是(　　)

A.a=(-2,3),b=(4,6)

B.a=(2,3),b=(3,2)

C.a=(1,-2),b=(7,14)

D.a=(-3,2),b=(6,-4)

11.在等边三角形ABC中,=2,AD与BE交于点F,则下列结论正确的是(　　)

A.) B.

C. D.

12.如图,延长正方形ABCD的边CD至点E,使得DE=CD,动点P从点A出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A,若=λ+μ,则下列判断正确的是(　　)

A.满足λ+μ=2的点P必为BC的中点

B.满足λ+μ=1的点P有两个

C.满足λ+μ=3的点P有且只有一个

D.满足λ+μ=的点P有两个

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.若A(2,-1),B(4,2),C(1,5),则+2=　　　　　.

14.在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,若=λ+μ,则λ+μ=　　　　　.

15.已知向量a=(1,3),b=,若单位向量c与a-2b平行,则c=　　　　　.

16.设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,且||=4,||=||,则||=　　　　.

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)设a,b是两个不共线的向量,=2a-b,=a+b,=a-2b,求证:A,B,D三点共线.

18.(12分)计算:

(1)(a+2b)+(3a-2b)-(a-b);

(2)(3a+2b)-a-b-a+b+a.

19.(12分)如图,在矩形OACB中,E和F分别是边AC和BC上的点,满足AC=3AE,BC=3BF,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,求λ,μ的值.

20.(12分)平面内给定三个向量a=(3,9),b=(2,1),c=(-1,7).

(1)求满足a=mb+nc的实数m,n;

(2)若(a+c)∥(b+kc),求实数k.

21.(12分)如图,在△OCB中,点A在BC上,且点B关于点A的对称点是点C,OD=2DB,DC与OA交于点E,设=a,=b.

(1)用a,b表示向量;

(2)若=λ,求实数λ的值.

22.

(12分)[2023湖北十堰高一]某公园有三个警卫室A,B,C,互相之间均有直道相连,AB=2千米,AC=2千米,BC=4千米,保安甲沿CB从警卫室C出发前往警卫室B,同时保安乙沿BA从警卫室B出发前往警卫室A,甲的速度为2千米/时,乙的速度为1千米/时.

(1)保安甲从C出发1.5小时后达点D,若=x+y,求实数x,y的值;

(2)若甲、乙两人通过对讲机联系,对讲机在公园内的最大通话距离不超过2千米,试问有多长时间两人不能通话?

参考答案

第六章测评

1.D　2.C

3.B　设河水的流速为v1,小船在静水中的速度为v2,船的实际速度为v,则|v1|=2,|v|=10,v⊥v1,v=v1+v2,所以|v2|==2(m/s),即小船在静水中的速度大小为2m/s.故选B.

4.A　由题意可得)=b+c.故选A.

5.A　∵向量a与b共线,∴存在实数λ,使得a=λb,∴ki+3j=λ[2i+(k-1)j],化为(k-2λ)i+(3-λk+λ)j=0.

∵i,j是同一平面内两个不共线的向量,

∴解得故选A.

6.D　点P是△ABC所在平面内一点,过P作PE∥AC,PF∥AB,如图所示,由,故AE∶EB=2∶1=PC∶PB,所以△ABP与△ACP的面积之比为BP∶PC=1∶2.故选D.

7.C　不妨设△ABC为等腰直角三角形,其中∠BAC=90°,以线段BC所在直线为x轴,线段BC的垂直平分线AO为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.

设AC=3,故B(-3,0),N,故,M(-1,0),A(0,3),故=(-1,-3),,

设=x+y,则解得+2.故选C.

8.A　设BD,AE交于点O,

因为DE∥AB,所以△AOB∽△EOD,所以=2,所以AO=2OE,则,所以=x+y+y.因为O,F,B三点共线,所以x+y=1,即2-3x=2y,所以.因为x>0,y>0,所以4y+≥2=4,当且仅当4y=,且y>0,即y=时,等号成立,此时x=,所以.故选A.

9.AD　因为a∥b,所以λ×1=-1×3,即λ=-3.因为a-b=(-6,-2),所以|a-b|==2.故选AD.

10.ABC　由两向量共线的坐标表示知,ABC中的向量均不共线.对于D,a=(-3,2),b=(6,-4),即a=-b,所以a与b共线.故选ABC.

11.AC　∵,∴D为BC的中点,∴),故A正确;∵=2,∴),∴)=,故B错误;设=λ,且B,F,E三点共线,∴=1,解得λ=,∴,故C正确;)=,故D错误.故选AC.

12.BCD　如图,建立平面直角坐标系,取AB=1,

∵,∴=λ+μ=(λ-μ)+μ=(λ-μ)(1,0)+μ(0,1)=(λ-μ,μ).动点P从点A出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点A,当P∈AB时,有0≤λ-μ≤1且μ=0,∴0≤λ≤1,∴0≤λ+μ≤1;当P∈BC时,有λ-μ=1且0≤μ≤1,则λ=μ+1,∴1≤λ≤2,∴1≤λ+μ≤3;当P∈CD时,有0≤λ-μ≤1且μ=1,则μ≤λ≤μ+1,∴1≤λ≤2,∴2≤λ+μ≤3;当P∈AD时,有λ-μ=0且0≤μ≤1,则λ=μ,∴0≤λ≤1,∴0≤λ+μ≤2.综上,0≤λ+μ≤3.选项A,取λ=μ=1,满足λ+μ=2,此时,因此点P不一定是BC的中点,故A错误;选项B,当点P取点B或AD的中点时,均满足λ+μ=1,此时点P有两个,故B正确;选项C,当点P取点C时,λ-μ=1且μ=1,解得λ=2,λ+μ为3,故C正确;选项D,当点P为时,均满足λ+μ=,此时点P有两个,故D正确.故选BCD.