数学选择性必修 第二册3.3 二项式定理与杨辉三角第2课时精练

第三章第二课时　二项式系数的性质与杨辉三角

A级 必备知识基础练

1.[探究点二](多选题)满足+…+>1 000的偶数n可以为(　　)

A.8 B.10 C.12 D.14

2.[探究点二]二项展开式(2x-1)10中的奇次幂项的系数之和为(　　)

A. B.

C. D.-

3.[探究点一]将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,便可以得到如图的“0—1三角”.在“0—1三角”中,从第1行起,设第n(n∈N+)次出现全行为1时,1的个数为an,则a3等于(　　)

A.26 B.27 

C.7 D.8

4.[探究点二](1-ax+by)n展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243,不含y的项的系数绝对值的和为32,则a,b,n的值可能为(　　)

A.a=2,b=-1,n=5 

B.a=-1,b=2,n=6

C.a=-1,b=2,n=5 

D.a=-2,b=-1,n=6

5.[探究点二]已知(1+2x)n的展开式的二项式系数之和为16,则n=　　　　;各项系数之和为　　　　.(用数字作答) 

6.[探究点二]若(2x-1)4=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4,则-a0+a1-a2+a3-a4=　　　　. 

7.[探究点二](2-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,则的值为　　　　　. 

8.[探究点一]杨辉三角在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书记载.在欧洲,这个表叫做帕斯卡三角形,它出现要比杨辉三角迟393年.那么,第15行第13个数是　　　　.(用数字作答) 

B级 关键能力提升练

9.在x+n的展开式中,只有第六项的二项式系数最大,且所有项的系数和为0,则含x6的项的系数为(　　)

A.45 B.-45 C.120 D.-120

10.在关于sin x(x∈[0,π])的二项式(1+sin x)n的展开式中,末尾两项的二项式系数之和为7,且二项式系数最大的项的值为,则x=(　　)

A. B.

C. D.

11.若1717+a(a∈Z,0≤a<4)能被3整除,则a=(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

12.(多选题)设(2x-1)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7,则下列结论正确的是(　　)

A.a2+a5=588

B.a1+a2+…+a7=1

C.a1+a3+a5+a7=

D.|a1|+|a2|+…+|a7|=37-1

13.(多选题)已知二项式2x-n的展开式中共有8项,则下列说法正确的有(　　)

A.所有项的二项式系数和为128

B.所有项的系数和为1

C.二项式系数最大的项为第5项

D.有理项共3项

14.(多选题)已知-ax2n(a<2)的展开式中第3项的二项式系数为45,且展开式中各项系数和为1 024,则下列说法正确的是(　　)

A.a=1

B.展开式中偶数项的二项式系数和为512

C.展开式中第6项的系数最大

D.展开式中的常数项为45

15.(x2+2)2x-6的展开式中所有项的系数和为　　　　,常数项为　　　　. 

16.已知(2x-1)6=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a6(x-1)6,则a2=　　　　,a1+a2+a3+a4+a5+a6=　　　　. 

17.已知二项式(x+3x2)n.

(1)若它的二项式系数之和为128,求展开式中二项式系数最大的项;

(2)若x=3,n=2 016,求二项式的值被7除的余数.

C级 学科素养创新练

18.在二项式n的展开式中,　　　　.给出下列条件: 

①若展开式前三项的二项式系数的和等于46;

②所有奇数项的二项式系数的和为256;

③若展开式中第7项为常数项.

试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上,并且完成下列问题:

(1)求展开式中二项式系数最大的项;

(2)求展开式的常数项.

参考答案

第二课时　二项式系数的性质与杨辉三角

1.CD　2n-1>1000,解得n≥11,n∈N+.故选CD.

2.B　设(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10.

令x=1得,1=a0+a1+a2+…+a10, ①

再令x=-1得,310=a0-a1+a2-a3+…-a9+a10, ②

由①-②可得a1+a3+a5+a7+a9=.

3.D　第3次出现全行为1,这说明杨辉三角中这一行全是奇数,即(k=0,1,2,…,n)是奇数,经验证可知,第3次出现全行为1时,1的个数为8,即a3=8.

4.C　令x=0,得(1+by)n系数绝对值的和为243.

令y=0,得(1-ax)n系数绝对值的和为32.

经验证当a=-1,b=2,n=5时成立.

5.4　81　展开式中的二项式系数的和是2n=16,所以n=4,令x=1,则(1+2)4=81,即各项系数和为81.

6.-81　令x=-1,得(-3)4=a0-a1+a2-a3+a4,所以-a0+a1-a2+a3-a4=-81.

7.-　令x=1得a0+a2+a4+a1+a3+a5=1;

令x=-1得a0+a2+a4-(a1+a3+a5)=243.

由两式可解得a0+a2+a4=122,a1+a3+a5=-121,所以=-.

8.455　第1行:=1,=1,

第2行:=1,=2,=1,

第3行:=1,=3,=3,=1,

第4行:=1,=4,=6,=4,=1,…

观察可得第n行第r(1≤r≤n+1)个数为,

所以第15行第13个数为=455.

9.A　∵在x+n的展开式中,只有第六项的二项式系数最大,

∴x+n的展开式有11项,即n=10.

∵展开式的所有项的系数和为0,

令x=1,代入x+n=0,

即(1+a)10=0,∴a=-1.

∴x-10的展开式的项Tk+1=x10-k-k=(-1)kx10-2k,

要求含x6的项,只需10-2k=6,解得k=2,所以含x6的项的系数为(-1)2=45.故选A.

10.D　由题意知=n+1=7,解得n=6,∴展开式的第4项的二项式系数最大,∴sin3x=,即20sin3x=,∴sinx=,又x∈[0,π],∴x=.故选D.

11.B　因为1717+a=(18-1)17+a=1817-1816+…+18-1+a,由已知可得a=1.故选B.

12.ACD　因为(2x-1)7展开式的第k+1项为Tk+1=·(2x)7-k·(-1)k=·(-1)k·27-k·x7-k,

又(2x-1)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7,

所以a2=·(-1)5·27-5=-84,a5=·(-1)2·27-2=672,则a2+a5=588,故A正确;

令x=1,则(2-1)7=a0+a1+a2+…+a6+a7=1,

令x=0,则(0-1)7=a0=-1,

令x=-1,则(-2-1)7=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=-37,

故a1+a2+…+a7=1-a0=2,故B错误;

a1+a3+a5+a7=

=,故C正确;

|a1|+|a2|+…+|a7|=a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=-(a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7)+a0=37-1,故D正确.故选ACD.

13.AB　二项式2x-n的展开式中共有8项,则n=7,选项A:所有项的二项式系数和为27=128,故A正确;选项B:令x=1,则2×1-7=1,所以所有项的系数的和为1,故B正确;选项C:二项式系数最大的项为第4项和第5项,故C不正确;选项D:二项式的展开式的通项为Tr+1=(2x)7-r·-r=(-1)r27-r,当r=0,2,4,6时,二项式的展开式中对应的项均为有理项,所以有理项有4项,故D不正确.故选AB.

14.BCD　由题意,=45,所以n=10(负值舍去),又展开式中各项系数之和为1024,所以(1-a)10=1024,所以a=-1,故A错误;偶数项的二项式系数和为×210=×1024=512,故B正确;+x210展开式的二项式系数与对应项的系数相同,所以展开式中第6项的系数最大,故C正确;+x210的展开式的通项Tr+1=·x2r=,令-5=0,解得r=2,所以常数项为=45,故D正确.故选BCD.

15.3　-260　将x=1代入(x2+2)2x-6,得所有项的系数和为3.

因为2x-6的展开式中含的项为(2x)2·-4=,2x-6的展开式中含常数项(2x)3·-3=-160,所以(x2+2)2x-6的展开式中的常数项为60-320=-260.

16.60　728　(2x-1)6=[1+2(x-1)]6=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a6(x-1)6,所以通项公式为Tr+1=2r(x-1)r,故a2=22=15×4=60;令x=2,得36=a0+a1+a2+…+a6,其中a0=20=1,所以a1+a2+a3+a4+a5+a6=36-1=728.

17.解(1)∵2n=128,∴n=7.

∴展开式中二项式系数最大的项为第4,5项,

T4=x4(3x2)3=945x10,T5=x3(3x2)4=2835x11.

(2)302016=(28+2)2016=282016+·282015·2+…+·28·22015+22016=28m+22016(m∈Z),

转化为22016被7除的余数,22016=8672=(7+1)672=7k+1(k∈Z),即余数为1.

18.解选择①:=46,

即+n+1=46,

即n2+n-90=0,

即(n+10)(n-9)=0,

解得n=9或n=-10(舍去).

选择②:+…=256,即2n-1=256,解得n=9.

选择③:Tk+1=n-kx-(n-k)2k-n,若=0,则n=k.

因为展开式中第7项为常数项,即k=6,所以n=9.

(1)展开式中二项式系数最大的项为第5和第6项,

T5=5x-5x2=x-3,

T6=4x-4.

(2)展开式的通项公式为Tk+1=·2k-9,

令=0,则k=6,所以展开式中常数项为第7项,常数项为T7=×2-3=.